飛行器結構布局與尺寸混合優化方法

胡嘉欣，芮姝，高瑞朝，茍建軍，龔春林,*

1. 西北工業大學 航天學院，陜西省空天飛行器設計重點實驗室，西安 710072

2. 北京空天技術研究所，北京 100074

輕量化是飛行器結構設計的重要目標，其本質是實現材料的高效利用，而結構優化技術是實現這一目標的主要手段，根據設計變量的類型，一般分為3個層面：拓撲優化、形狀優化、尺寸優化。隨著優化技術的發展，優化工具逐漸融入了產品的整個設計流程，對于飛行器設計，一般在初步設計階段通過拓撲優化技術確定其布局形式，在詳細設計階段通過尺寸和形狀優化技術獲得更合理的結構形式。

然而，飛行器布局和尺寸的優化設計之間存在較強的相關性，拓撲設計需要考慮結構部件的承載能力，而這正是由部件的尺寸所決定的，因此有必要對二者的混合優化問題展開研究。

針對包含布局與尺寸設計變量的混合優化問題，工程上主要有分級優化策略、整體求解方法2種處理方法。分級優化策略將2種變量分離求解，在布局優化設計的基礎上完成位置和尺寸優化，但對于2種變量的耦合關系考慮不足，會導致結構陷入局部最優，精度較低；整體求解方法可以得到優化問題的全局最優解，但在處理多種變量時，不易收斂且耗時較多。

Stanford研究了氣動彈性約束下翼盒的形狀、尺寸與拓撲優化，使用了一種兩級嵌套優化策略，對連續變量使用基于梯度的優化方法，對離散的拓撲變量使用貝葉斯填充方法，并通過代理模型提升計算效率。Qin等以混合動力履帶車輛為對象，提出了一種拓撲、能量管理和參數匹配相結合的協同優化方法，并使用了遞進迭代方法進行求解，其研究對象與傳統結構優化不同，但均包含了拓撲和尺寸設計的概念。An和Huang針對框架式結構的拓撲和尺寸優化問題，提出了一種兩級多點逼近策略，首先采用遺傳算法對離散變量進行優化，在計算適應度時，使用對偶法求解二級近似問題，完成對梁的截面優化。

Savsani等針對桁架結構在靜力和動力約束下的拓撲和尺寸同時優化問題，對比了4類元啟發式算法的優化結果，并提出了一種基于隨機變異的改進元啟發式算法。Assimi和Jamali提出了一種混合遺傳規劃算法，用于解決包含動靜約束的拓撲和尺寸優化問題，并引入了Nelder-Mead局部搜索算子，以提高收斂速度。Fernandez等利用水平集函數描述結構的形狀與拓撲信息，并考慮了材料屬性的影響，提出了一種形狀、拓撲和材料同時優化方法。

雖然分層優化策略通過將結構優化分解為不同層次的優化問題，降低了問題的復雜程度，但是對布局和尺寸變量間的耦合性考慮不足，導致結構優化的可行域減小，降低了優化效果，且層次達到三級或以上時，計算量也會大幅提升。因此，建立結構布局與尺寸混合優化方法對進一步提升結構優化效果、提高結構承載效率具有重要意義。

本文提出一種結構布局與尺寸混合優化方法，在基結構法(Ground Structure Method)的基礎上引入尺寸變量，選用遺傳算法進行尋優，并在優化過程中使用神經網絡代理模型以提高混合優化的效率。

1 結構布局與尺寸混合優化模型

結構布局和尺寸對結構質量有著重要的影響，且二者在結構設計與優化中存在一定的相關性，因此將二者單獨進行優化顯然是不合適的，而目前常用的分層優化策略對二者的耦合關系考慮得不夠充分，可能導致優化的可行域減小。為提升結構優化效果，本文建立結構布局與尺寸混合優化模型，綜合考慮二者之間的耦合關系對優化結果的影響。

拓撲優化是確定結構布局的主要優化手段，主要分為連續體拓撲優化和離散體拓撲優化。連續體拓撲優化結果通常為邊界不光滑的結構，很難與尺寸優化結合；而離散體拓撲優化以結構部件為基本單元，如Herbert等于1964年提出的基結構法，主要應用于桁架結構的優化設計，其優化結果更接近工程應用方案，且容易與尺寸優化相結合。

基結構法在飛行器設計領域有較多應用，Sleesongsom和Wang等基于部分拓撲優化方法，分別以變體飛行器機翼的方形翼盒和蒙皮骨架式機翼為研究對象，完成了結構布局的優化。

本文按照基結構法的思路，用0-1型離散變量表示結構部件是否保留，變量值為0時表示相應的部件被刪除，1則表示部件被保留；用連續的實數變量表示結構部件的尺寸，則結構布局與尺寸的混合優化數學模型可以表示為

find,

min(,)

(1)

式中：為結構部件的拓撲變量，取值為0或1；為結構部件的尺寸變量，維數與相同；(,)為飛行器結構質量；為結構優化的約束條件；為當前模型中有效的部件數量；為基結構模型中總的部件數量；、分別為結構尺寸變量的下界和上界。本文只考慮結構強度約束條件，即=max-[]，max為第個部件上的最大米塞斯應力，[]為其許用應力。

式(1)中優化變量有拓撲變量和尺寸變量兩部分，取值為0或1，為連續的實數變量，因此，該優化問題為混合優化問題。另外，式(1)中與同時作為優化變量，導致優化問題的維數較大，形成了高維優化問題。

對于該混合優化問題，優化變量的類型包括連續變量和離散變量，難點在于離散變量的處理。離散變量的優化問題屬于組合優化問題，當優化變量過多時，會出現NP(Non-deterministic Polynomial)難題，導致問題無法求解。目前解決混合優化問題的算法主要有圓整法、分支定界法、啟發類的算法(如遺傳算法、模擬退火算法)等。其中遺傳算法原理相對簡單、易于針對具體的問題做出相應的改進，因此，本文采用遺傳算法求解式(1) 的混合優化問題。為提高優化效率，本文還使用神經網絡代理模型，最終建立相對高效的結構布局與尺寸混合優化流程。

2 基于遺傳算法的高效混合優化方法

2.1 針對混合優化問題的遺傳算法改進

遺傳算法一般包括5大關鍵因素：① 染色體編碼；② 種群初始化；③ 適應度函數設計；④ 遺傳算子操作；⑤ 控制參數設定。本文根據混合優化問題的特點，對染色體編碼和遺傳算子操作方式進行改進，并完成原問題的去約束化和適應度函數的設計。

2.1.1 染色體編碼方式改進

將染色體分為拓撲變量部分和尺寸變量部分，使用二進制數串表示，見式(2)，并且拓撲變量與尺寸變量一一對應，即T、S分別為第個結構部件的拓撲取值、尺寸取值。拓撲變量的取值為0或1，在計算目標函數和約束函數時，不必對拓撲變量部分進行相應的解碼；而尺寸變量部分則需要對相應的二進制數串進行解碼，獲得實際尺寸數值。

,,…,T|,,…,S

式中：T為結構部件的拓撲變量，取值為0或1；S為結構部件的尺寸，其形式為組成的二進制數串；為結構部件數；為S的編碼寬度。

陳秀等在使用遺傳算法進行混合優化設計時，直接將同一部件所對應的離散和連續變量配對編碼，并未改變其表達形式。而本文則將連續變量轉換為了二進制數串，統一了表達形式，提升了后續的遺傳算子操作效率。在遺傳算法的優化過程中，自然二進制碼在連續整數間可能出現較大的Hamming距離，對于高精度問題表現不穩定，局部搜索能力差。格雷碼對二進制編碼進行了改進，使連續的2個整數所對應的編碼值之間只有一個碼位不同，方便交叉和變異，提升了算法的局部搜索能力，因此本文采用格雷碼對染色體進行編碼。

2.1.2 遺傳算子操作方式改進

遺傳算法的操作算子主要有選擇、雜交、變異，在優化過程中通過對個體染色體的改變，淘汰種群中的劣勢個體，保留優良的基因。

本文設計的混合優化流程中，染色體分為拓撲變量和尺寸變量兩部分，為避免兩者相互干擾，對染色體的拓撲變量和尺寸變量部分采用單點雜交(Single-point Crossover)方式。具體的雜交過程如圖1所示。

圖1 雜交算子操作過程Fig.1 Genetic crossover operator

上述雜交算子不僅實現了雜交算子重新生成子代染色體的過程，還避免了在運用交叉算子過程中破壞染色體的構成。

而遺傳算法中變異算子和選擇算子與染色體的構成無關，因此選擇常用的基本位變異法(Simple Mutation)和隨機遍歷采樣法(Stochastic Universal Sampling)。

2.1.3 基于罰函數法的去約束化設計

結構布局與尺寸混合優化問題為約束優化問題，用遺傳算法處理前需要去約束化，一般可使用外罰函數法，對于式(1)的混合優化問題，可構造含懲罰項的增廣目標函數

(3)

為了減少約束的計算次數，提高遺傳算法的優化效率，將式(3)改寫為

(4)

在計算(,)時，需要根據、的取值建立相應結構的有限元模型，例如部件數為6時，解碼后的染色體如圖2所示。

圖2 染色體解碼Fig.2 Genetic decoding

根據圖2，拓撲變量與尺寸變量的相應關系，可以分為下列4種情況：

拓撲變量取1，尺寸變量不為0的情況，如部件 ②。

拓撲變量取0，尺寸變量不為0的情況，如部件 ③。

拓撲變量取1，尺寸變量為0的情況，如部件 ⑥。

拓撲變量取0，尺寸變量為0的情況，如部件 ①。

情況2、3所對應的結構布局是不存在的，因此需要將情況2、3所對應的結構部件從基結構中移除，并建立相應的有限元模型，計算時直接將相應的拓撲變量和尺寸變量相乘即可。

2.1.4 適應度函數設計

適應度函數是評價種群個體的主要指標，將直接影響個體被選擇的概率和收斂速度。辛馡和朱鰲鑫對適應度函數進行了研究，提出了5種選取原則：① 規范性；② 單值、連續；③ 合理性；④ 計算量；⑤ 通用性。適應度函數可通過將目標函數映射成求最大值的形式獲得，最簡單的形式即為目標函數本身(求最大值問題)或其相反數(求最小值問題)，也可使用比例化等方法，構造較為復雜的映射。

由于本文的優化目標是最小化結構質量，則適應度函數應是與目標負相關的形式。使用基于排序的適應度分配，相比于直接對目標函數進行縮放映射，排序的方法可通過選擇壓力(Selective Pressure, SP)參數控制種群多樣性，避免“超級個體”導致種群早熟的問題。

本文基于Whitley和Chipperfield等的相關研究，對計算得到的目標函數值進行降序排列，獲得個體的排序位置后，構造值域為[0, 2]的適應度函數

(5)

式中：為選擇壓力，取值范圍為[1, 2]；為降序排列下個體的位置序號；為種群內個體數。其中，= 1時選擇壓力最小，每個個體適應度均為1；= 2時選擇壓力最大，最優個體適應度為2，最差個體適應度為0。

該適應度函數顯然滿足辛馡和朱鰲鑫提出的選擇原則前3條，此外僅進行排序操作，沒有復雜的縮放映射，計算量較少，并具有通用性。

2.2 代理模型在優化流程中的應用

結構布局與尺寸混合優化問題十分復雜且求解非常耗時，對于高維問題更是難以求解，在工程應用中，常使用代理模型技術進行簡化。目前，應用最為廣泛的代理模型為多項式響應面模型、Kriging模型和神經網絡模型等。Adeli和Yeh率先將神經網絡近似技術應用到結構設計領域中，為結構設計提供了一種新的智能分析方法。王偉、周丹發等分別使用神經網絡模型和響應面模型完成了機翼結構的優化設計，在提高求解效率的同時獲得了較好的優化結果。

2.2.1 插值徑向基神經網絡代理模型

本文利用代理模型預先評估種群個體的優劣，刪除一定比例的劣勢種群個體以減少種群規模，之后采用精確模型計算剩余優勢種群個體的適應度，以減少精確模型的計算次數，提高優化效率。

神經網絡代理模型對真實模型的變量維數不太敏感，對于高維優化問題的近似，具有精度較高、計算速度較快的優點。因此，本文采用插值型徑向基神經網絡，對結構布局與尺寸優化問題進行近似模擬。

(6)

(7)

對于給定的個樣本點，插值徑向基神經網絡模型即表示為

(8)

將式(7)和式(8)聯立，并寫成如式(9)的矩陣形式：

·=[(),(),…,()]

(9)

式中：

=

(10)

對于一組給定的形狀參數(1≤≤)，式(9)為一個線性方程組。若神經元的徑向基函數中心點互不相同，則系數矩陣正定可逆，權重系數向量可由式(9)求得。

2.2.2 種群規模的縮減

采用神經網絡代理模型代替真實模型計算子代種群的適應度函數，并以近似適應度函數預先評估種群個體的優劣，淘汰適應度函數較差的個體，以達到縮減種群規模的目的。

假定父代種群和子代種群分別為

={,,…,}

(11)

={,,…,}

(12)

式中：為父代個體；為子代個體；為每代種群的個體數。

為了快速計算子代個體的適應度函數，本文先通過試驗設計產生初始樣本點，并利用神經網絡建立代理模型：

(13)

式中：為優化變量；為種群個體近似適應度。

(14)

(15)

(16)

′={,,…,-}

(17)

至此，種群規模的縮減已完成。之后將父代種群與子代種群合并，而原父代個體的精確適應度函數已在上一輪計算過，因此只對′中的個體計算精確的適應度函數值，再通過選擇算子選擇出個適應度函數較優的個體，形成新的種群，進行后續的操作。

2.3 結構布局與尺寸混合優化流程

結構模型在結構布局與尺寸混合優化過程中不斷發生變化，采用固定的結構模型或利用解析方法求解是不現實的。為此，本文提出了如圖3所示的結構布局與尺寸混合優化流程。

圖3 結構布局與尺寸混合優化流程Fig.3 Flow chart of hybrid layout-size optimization

該優化流程主要分為3部分：

1) 遺傳算子操作：初始化種群個體，將個體染色體拆分成拓撲變量和尺寸變量，并使用遺傳算子分別進行操作，產生子代個體。同時，在遺傳算子操作階段，通過試驗設計產生代理模型的初始樣本點。

2) 代理模型評估：根據初始樣本點建立關于適應度函數的代理模型，以代理模型估算子代個體的近似適應度函數值，“淘汰”適應度較低的個體，縮減種群規模。

3) 收斂判斷：使用精確模型計算縮減后的子代種群的適應度函數值，并將之與父代種群按適應度合并形成新一代種群，再判斷是否收斂。從新一代種群中選擇出適應度函數值近似誤差最大的個體，將其加入到樣本點數據庫后更新代理模型，以獲得更為精確的估算結果。

3 算例分析

針對飛行器機翼等相對成熟的結構，基結構的形式容易預先給定，而拓撲優化后的結構布局形式相對簡單，易與尺寸優化結合，進行布局與尺寸的混合優化，最終獲得更好的優化效果。因此，以某型高超聲速飛行器的機翼為研究對象，進行結構布局與尺寸混合優化，具體的建模和仿真分析使用腳本控制Hypermesh和MSC.Nastran軟件自動進行。

3.1 機翼的數值及優化模型

圖4為機翼的幾何模型，采用菱形翼以提高超聲速氣動性能，由于機翼相對厚度較小，采用平行多腹板式結構布局形式。結構材料為鋁合金，其彈性模量=73.1 GPa，泊松比=0.324，密度=2 760 kg/m，強度極限約360 MPa。機翼載荷選擇飛行器在30 km、馬赫數為4、3°攻角狀態下飛行時所受的氣動載荷，最大壓強在前緣處，約40 kPa，機翼大面積區域壓強約20 kPa。

圖4 機翼的幾何模型Fig.4 Geometry model of wing

機翼基結構布局如圖5所示，其平面形狀為直角梯形，沿展向布置20根翼肋、沿弦向布置35根翼梁。對于工字梁等復雜截面梁，設計變量較多，而本算例僅用于驗證方法，故以最簡單的矩形梁為研究對象，其尺寸變量一般包括厚度、高度、長度，針對本文研究的機翼模型，當基結構的分布確定后，梁的高度和厚度由機翼外形所決定，則尺寸變量僅剩下了一維的厚度值。

圖5 機翼的基結構布局Fig.5 Ground structure of wing

構建有限元模型時，蒙皮、翼梁和翼肋均采用殼單元模擬，單元總數約為2萬；蒙皮厚度為3 mm，且與翼肋、翼梁固連；在翼梁的根部位置施加固支邊界條件，即忽略機身彈性的影響。

根據機翼的數值模型，建立布局與尺寸混合優化的數學模型：

find,,,

min(,,,)

式中：、為翼肋、翼梁的布局變量，取值為0或1；、分別為翼梁和翼肋的厚度，為結構部件的尺寸變量，mm。

3.2 混合優化方法可行性驗證

利用本文所提出的結構布局與尺寸混合優化方法求解式(18)，為比較種群規模對優化結果的影響，將遺傳算法的種群規模分別設置為30、50、70、90，并將交叉概率和變異概率均設為0.7，進化代數設置為60代。得到機翼結構質量與應力約束隨種群代數的變化曲線如圖6所示。可以發現，當種群規模大于70時，優化效果幾乎不隨著種群規模的增大而得到改善。經過30代的進化后，結構質量逐漸收斂，最優值為5.765 t，機翼結構應力約束值在35代后收斂于-0.050 MPa，并且趨于0，表明機翼結構應力接近材料的強度極限，即提高了材料的利用效率。

圖6 結構質量和應力約束迭代歷史Fig.6 Objective and constraint iteration histories

當種群規模=70，進化代數=1, 20, 40, 60時的結構布局如圖7所示。對優化前后的機翼結構進行靜力分析，結果如圖8所示。優化前后，機翼結構最大米塞斯應力分別為94.1、218.0 MPa。從應力的空間分布可以看出，結構優化以減少翼梁或翼肋的數量和改變機翼結構尺寸的方式，提高了機翼結構的整體應力水平，使其逼近結構材料的許用強度，提高了結構的承載效率。

圖7 G=1，20，40，60時的結構布局Fig.7 Structural layouts in different generations (G=1，20，40，60)

圖8 優化前后機翼結構應力分布Fig.8 Stress distributions of initial and optimal wings

結構布局與尺寸的混合優化與單純的結構布局優化相比，由于考慮了布局與尺寸的耦合，得到的優化結果一般更好。為說明這一點，對上述機翼結構利用基結構法進行布局優化，而機翼翼梁和翼肋的厚度尺寸均取為30 mm，優化結果如圖9 所示。

不考慮尺寸參數時，結構布局優化的結構質量為6.637 t，而結構布局與尺寸混合優化的結構質量為5.765 t，相對減少了13.1%。對比圖7、圖9可以看出，結構尺寸對結構布局具有明顯的影響：只進行布局拓撲優化時，機翼翼梁的數目為15根，進行布局與尺寸混合優化時則為12根；此外，2種優化結果中翼梁和翼肋的位置具有較大的差別。由此可以看出尺寸參數對機翼結構布局優化有一定的影響，且布局與尺寸混合優化得到的結果更優。

圖9 僅使用基結構法的優化結果Fig.9 Optimization result of ground structure method

3.3 代理模型對優化效率的影響

3.2節的分析證明了布局與尺寸混合優化方法的可行性，而本文在2.2節提出了一種使用神經網絡代理模型縮減種群規模，提高優化效率的方法，為了研究代理模型的具體影響，構造了3個算例進行對比分析。

算例1即為3.2節中種群規模=70的情況，僅使用真實模型(即有限元模型)，作為原始組；算例3根據圖3的流程構造，同時使用真實模型和代理模型，作為實驗組；算例2僅使用真實模型，計算次數與算例1相同，進化代數與算例3相同，作為對照組，排除種群規模和代數的影響。具體設計參數如表1所示。

表1 設計參數對比Table 1 Comparison of design parameters

算例3中淘汰數=35指每代使用代理模型估算適應度函數后，刪除掉35個表現較差的個體，并與原父代個體合并選擇70個個體組成新的種群。

相比于真實模型，代理模型的計算成本很低，在比較優化效率時可以忽略，則計算成本可由(-)來近似表示。具體的優化結果如表2所示，結構質量和應力約束的優化歷史如圖10所示。

圖10 結構質量和應力約束優化歷史Fig.10 Objective and constraint optimization histories

表2 優化結果對比Table 2 Comparison of optimization results

可以發現，在計算成本相同的情況下，算例3得到的結果總是最優的。另一方面，算例3中結構質量在第60代就優化到了5.765 t，此時計算成本為2 100次，僅為算例1中結構質量達到5.765 t 時所需計算成本(4 200次)的1/2。

對比算例1、2,在計算成本相同的情況下,算例1種群規模例更大,算例2的進化代數更多,而算例1得到的結果更好,可見,優化結果對種群規模更加敏感;對比算例2、3,也可證明,在優化代數相同的情況下,引入代理模型增加種群規模后,可獲得更好的優化效果。因此,通過代理模型增大種群規模是獲得更好優化結果的關鍵。

以上對比分析說明，使用代理模型的優化流程與原始流程相比，在相同的計算成本下，可以得到更優的結果；且在獲得相同的優化結果時，代理模型大約節省了50%的計算成本。

4 結 論

針對飛行器輕量化設計中，結構布局與尺寸因相互耦合而導致優化效果較差的問題，本文提出了一種高效的布局與尺寸混合優化方法，在傳統基結構優化方法中引入尺寸變量，建立了結構布局與尺寸混合優化模型，并設計了基于遺傳算法的求解流程，此外引入了神經網絡代理模型以提高計算效率。最終得到了以下結論：

1) 飛行器結構優化設計中，離散型布局變量和連續型尺寸變量可以通過合理設計染色體編碼形式來統一描述，進而使用遺傳算法完成結構布局變量與尺寸變量的混合優化。

2) 結構的尺寸參數對布局設計有一定影響，進行混合優化可以得到更好的結果，對于本文算例，混合優化方法比單一基結構法更有效，優化結果進一步減重約13%。

3) 代理模型的引入提升了優化效率，在計算成本相同的情況下，包含代理模型的優化流程可以更快地獲得良好的優化結果；獲得相同優化結果時，代理模型的引入節省了約50%的計算成本。

4) 相比于傳統的飛行器結構優化設計方法，本文提出的布局與尺寸混合優化方法設計效率更高，獲得的結構質量更輕。