機床主軸熱誤差通用型溫度敏感點組合選取

（1. 西南交通大學機械工程學院，四川 成都 610031；2. 浙江大學流體動力與機電系統國家重點實驗室，浙江 杭州 310027；3. 四川大學機械工程學院，四川 成都 610065；4. 重慶遨博智能科技研究院有限公司，重慶 400050；5. 衢州學院浙江省空氣動力裝備技術重點實驗室，浙江 衢州 324000）

1 引 言

機床作為制造業生產的“母機”，其發展程度直接影響著國家工業的發展水平［1］。提高機床的加工精度，對發展高精密數控加工技術和制造業具有重要意義。影響機床加工精度的因素主要有以下幾方面：由機床本身設計缺陷或零部件相對運動引起的幾何誤差、機床受熱變形影響導致的熱誤差、加工過程中切削力變化導致的切削力誤差以及其它誤差［2］。在這些誤差中，熱誤差是導致機械零部件幾何誤差的主要原因，約占總誤差的40%～70%［3-5］。

熱誤差補償法是提高機床加工精度的經濟有效的手段，其核心在于建立具有強魯棒性和高預測性能的熱誤差模型對熱誤差進行預測和補償［6-9］。熱誤差模型以溫度敏感點處測得的溫度變量為輸入，以熱變形量為輸出，其中溫度敏感點組合的選取直接影響著模型的訓練精度和預測效果。溫度變量過多，會加大實驗成本與工作量，同時溫度變量間的耦合現象會影響建模精度；溫度變量過少，則會由于缺乏引起熱誤差的關鍵信息而削弱模型的魯棒性、降低模型的預測性能。因此，在熱誤差建模之前進行溫度敏感點的選取是至關重要的一步［10］。

多種方法可用于溫度敏感點的選取，Abdulshahed 等［11］基于灰色模型和模糊C-均值聚類算法，采用一種像素的局部平均模式從熱圖像中識別不同組的溫度敏感點，從而提高模型輸入的質量。Longstaff 等［12］采用自適應神經模糊推理系統將溫度數據空間劃分為多個矩形子空間，并根據灰色理論得出所有的溫度傳感器對熱誤差的影響排序，然后基于模糊C-均值聚類方法對各溫度的影響權重進行分類。Tsai 等［13］首先采用奇異值分解方法過濾各溫度測點，消除溫度測點之間共線性的影響。然后根據主成分分析方法計算的溫度點和熱誤差之間的相關系數進行排序和篩選得到溫度敏感點組合。Tan 等［14］提出一種最小絕對收縮算子選擇法直接選取溫度敏感點集合。Liu 等［15］使用相關系數法選取溫度敏感點組合，提升了熱誤差模型的魯棒性與預測精度。

近年來，神經網絡建模方法以其良好的非線性映射能力與較強的計算能力被廣泛應用于熱誤差建模研究中，多種參數優化算法與神經網絡相結合的熱誤差建模方法應運而生［16］。Ma 等［17］結合模糊聚類和相關分析對典型溫度變量進行了分組優化，采用遺傳算法和粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）對反向傳播（Back Propagation，BP）神經網絡參數進行優化。Santos 等［7］使用變分模式將誤差數據分解為幾個固有的模態函數組件，并使用灰狼算法對長短時記憶神經網絡的超參數進行優化，經驗證，提出的VMD-GW-LSTM 熱誤差模型具有較強的魯棒性和較優的泛化能力；此外，Liu 等［18］利用遺傳算法優化小波層數和乘積層數以及自回歸小波神經網絡的權值。Yin 等［19］人將物理模型與數據驅動模型相結合，從預測的溫度場出發，設計了一種人工神經網絡算法，以提高主軸熱誤差預測的精度。Liu 等［20］提出了使用深度信念網絡和蒙特卡羅方法計算模型可靠性的方法，使用深度信念網絡替代了隱函數，確定了單參數、多參數波動模型的可靠性和殘差預測，并通過實驗驗證了模型的魯棒性和所提出的可靠性計算方法的準確性。

上述溫度敏感點選取方法普遍將溫度變量優化至10 個以內，有效地精簡了溫度敏感點數量，提高了建模效率與預測精度。但其中溫度敏感點數目皆憑借研究者的工程經驗直接指定，難以自動確定。針對上述問題，本文以VMC850 五軸立式數控加工中心為對象進行熱誤差實驗以及溫度場與熱誤差的測量；提出一種通用性溫度敏感點組合選取方法，從一系列包含不同聚類數目的溫度變量組合中自動選取適用于熱誤差預測的最優的溫度敏感點組合。經過驗證，選取的最優溫度敏感點同時適用于不同工況下主軸各項熱誤差的預測，且在不同的熱誤差模型中具有良好的通用性。首先介紹了溫度敏感點組合選取的相關理論以及機床溫度場和主軸熱誤差的測量實驗，包括測量儀器的安裝和數據的獲取；其次提出了基于數目自動確定的通用型溫度敏感點組合選取方法，并以某一工況下的實驗數據為例選取最優溫度敏感點組合；然后對最優溫度敏感點組合在不同工況下主軸各項熱誤差的預測中的有效性進行驗證，并建立RBF、SVM 與MLR 熱誤差模型，對最優溫度敏感點在不同類型的熱誤差模型中的通用性進行驗證。

2 溫度敏感點選取相關理論與熱誤差實驗

2.1 溫度敏感點選取相關理論

2.1.1 K-Means 聚類算法

傳統的K-Means 聚類算法因其在數據處理中的高效性而被廣泛應用于數據聚類中，但該算法隨機選取初始聚類中心的方式會導致聚類結果不穩定。針對這一情況，Arthur 等［21］首次提出一種改進的K-Means++聚類算法。相比于K均值算法，其最大的特點是初始聚類中心的選取方式不同：首先確定聚類數目K并隨機選取一個數據點作為第一個初始聚類中心；其余初始聚類中心由剩余數據點與當前已有初始聚類中心的歐式距離決定，距離越遠者被選作下一聚類中心的概率越大。這一改進有效提升了聚類結果的穩定性。本文采用K-Means++算法對溫度測點進行聚類，主要步驟如下：

（1）指定聚類數目K并隨機選取一個溫度變量作為第一個初始聚類中心I1；

（2）計算每個溫度變量離當前聚類中心的最遠距離，用D（Xi，Ij）表示；采用輪盤法選取下一個聚類中心，D（Xi，Ij）越大，該溫度變量越容易被選擇為下一個聚類中心；

其中：Xit為溫度變量，Ijt為當前距X最近的初始聚類中心，m為溫度數據的樣本數，i=1，2…29，j=1，2…k。

（3）重復（2），直至選出K個初始聚類中心｛I1，I2，…Ik｝。

（4）剩余算法步驟與標準的K-Means 算法一致。

2.1.2 相關性分析

相關系數反映了變量間的相關程度。本文采用皮爾遜（Pearson）相關系數來衡量各溫度變量與熱誤差的相關程度。兩個連續變量的皮爾遜相關系數等于它們之間的協方差除以它們各自標準差的乘積。系數的取值總是在-1 到1 之間，其絕對值越接近1，變量間的相關性越強。Pearson 相關系數的計算公式如下：

其中：RXY表示樣本的Pearson 相關系數，SXY表示X與Y之間的協方差；SX表示溫度樣本X的樣本標準差，SY表示熱變形量樣本Y的樣本標準差，N為樣本數量，Xˉ表示各溫度變量的平均值，Yˉ表示各熱誤差變量的平均值。

2.1.3 BP 神經網絡

BP 神經網絡是一種按誤差反向傳播訓練的多層神經網絡。近年來，由于其具有任意復雜的模式分類能力和優良的多維函數映射能力在機床主軸熱誤差建模中應用廣泛且效果較好［22-24］。從結構上來看，BP 神經網絡由輸入層、隱藏層和輸出層組成。從算法本質上講，BP 算法以誤差為目標函數、采用梯度下降法來計算目標函數的最小值。本文將使用具有一層輸入層，一層隱含層和一層輸出層的BP 神經網絡熱誤差模型進行最優溫度敏感點的選取與最優溫度敏感點組合有效性的驗證，其網絡結構如圖1 所示，將敏感點溫度數據和各項熱誤差作為輸入X1，X2，…，Xn，經BP 神經網絡訓練，測試得到各項熱誤差預測結果Y1，Y2，…，Yk。

圖1 反向傳播神經網絡結構圖Fig.1 Structure diagram of BP neural network

2.2 熱誤差實驗

熱誤差測量是熱誤差建模的前提和基礎。本文的熱誤差測量實驗在VMC850 五軸立式數控加工中心進行，參照ISO 230-3 中的五點法［25］進行測量儀器的布置安裝與數據采集。圖2 為VMC850 數控加工中心實驗現場圖。

圖2 VMC850 加工中心實驗現場Fig.2 VMC850 machining center test site

2.2.1 實驗儀器布置

實驗器材選用標準均按照ISO 230-3 國際標準中的熱誤差實驗部分設定。采用PT100 溫度傳感器和DAM-PT16 溫度采集板卡獲取機床溫度。為了完整地獲取機床溫度場信息，實驗中將29 個溫度傳感器分布在機床的各個溫度場區域，包括主軸區域、主軸箱區域、工作臺區域與箱體區域，具體分布如表1 和圖3（a）所示：T1、T2 與T4、T6 對稱安裝在主軸左右兩邊的上部與下部，T3 和T5 安裝在主軸前后的中部；T7、T9～T13、T20～T22、T27 分布在主軸箱區域；T15、T17、T24 布置在箱體的后側；T23、T28 安裝在機床箱體左右兩側；T14、T16、T18、T19、T25、T26、T29 布置在工作臺上的不同部位；T8 用于測量實驗場地的環境溫度。位移傳感器采用Lion Precision 電容式位移傳感器，安裝位置如圖3（b）所示。

圖3 傳感器布置Fig.3 Sensor location

表1 溫度傳感器具體分布Tab.1 Specific distribution of temperature sensors

2.2.2 實驗數據獲取

機床熱特性試驗中主軸轉速類型可分為主軸轉速變化圖譜形式和與最大轉速成一定比例的恒定轉速形式［14］。為獲取機床在多種工況下的熱誤差數據，實驗按照設定轉速進行熱誤差測量，實驗工況設計如表2 所示。測量實驗共分為四組，在主軸空轉的狀態下分別按照恒定轉速2 000 r/min、2 500 r/min、3 000 r/min與5 000 r/min進行。在實驗過程中溫度測量值與主軸熱變形量實時同步采集，采集時間從機床冷態開始至機床達到熱平衡狀態結束，采樣間隔設置為5 s。本文主要針對實驗中機床溫升階段進行研究。

表2 熱誤差實驗工況設計Tab.2 Design of thermal error experimental conditions

圖4（a）為2 500 r/min 轉速下采集的某組數據的部分溫度測量值變化趨勢，圖像呈現了機床在前210 min 內從冷態開始的溫度升高階段的部分溫度傳感器的數據，不同曲線代表不同區域的溫度變化趨勢。圖4（b）為同轉速下與溫度數據同步采集的主軸5 項熱變形數據。從圖中可以看出，在開始測量的前210 min 內，主軸五項熱誤差都隨著溫度的升高而增大，其中Y2 和Z方向的熱誤差變化最明顯。

圖4 2 500 r/min 轉速下的部分溫度數據與熱變形Fig.4 Partial temperature data and thermal deformation at 2 500 r/min

3 基于數量自動確定的通用溫度敏感點組合選取方法

本節詳細介紹基于數量自動確定的通用溫度敏感點組合選取方法，通過建立基于BP 熱誤差模型的絕對均方根誤差與絕對殘差均值評價指標從一系列不同數量的溫度敏感點組合中自動選取性能最優的組合。以2 500 r/min 轉速下采集的溫度數據與Z向熱誤差數據為例對最優溫度敏感點進行選取。

通用型溫度敏感點組合自動選取法流程圖如圖5 所示。具體步驟如下：

圖5 最優溫度敏感點綜合選取法流程圖Fig.5 Flow chart of comprehensive selection method for optimal temperature sensitive points

（1）建立各溫度變量與所有熱誤差項的絕對平均相關系數。

每個溫度變量與五項熱誤差均存在一定相關性。若僅僅考慮溫度變量與某一項熱誤差的相關性，可能會降低后期熱誤差模型預測性能的泛化性，故在進行相關性分析時應綜合考慮各溫度變量與五項熱誤差的相關程度。本文建立絕對平均相關系數（AR），即溫度變量與五項熱誤差的皮爾遜相關系數的平均值表示該溫度變量與五項熱誤差的相關程度。計算公式如式（3）所示。

其中：Rm，X1，Rm，X2，Rm，Y1，Rm，Y2，Rm，Z分別代表第m個溫度變量與五項熱誤差的皮爾遜相關系數值，在本實驗中m=1，2，3，…，29。

表3 所示為2 500 r/min 轉速下29 個溫度變量與五項熱變形量的絕對平均相關系數計算結果。如表所示，在實驗所布置的29 個溫度傳感器中，絕對平均相關系數最大值對應的溫度變量為離加工區域較近的溫度傳感器T26，最小值對應箱體左側區域的T23 傳感器。

表3 2 500 r/min 轉速下溫度與熱誤差的絕對平均相關系數Tab.3 Absolute average correlation coefficient of temperature and thermal error data at 2 500 r/min speed

（2）設置溫度傳感器聚類數目范圍［Kmin，Kmax］，根據絕對平均相關系數選取首個初始聚類中心，獲取一系列K-Means++溫度聚類組合。

根據機床機構特性的不同，參考ISO 230-7中熱誤差實驗部分對溫度傳感器進行布置。為避免模型出現欠擬合現象，聚類數目不能過少；為有效消除溫度傳感器間的耦合現象以保證模型預測精度，聚類數目不能過多。本文根據實驗中機床的溫度場分布特性以及傳感器布置情況，將最小聚類數設置為3，即Kmin=3。最大聚類數目分以下兩種情況：當溫度測點n的取值范圍為（3，9）時，Kmax=n；當溫度測點不小于9 個時，選取個位數最大值9 與（n/4）向下取整結果中的最大值為最大聚類數目，即Kmax=max｛9，E（n/4）｝。這一方式能夠對最大聚類數進行合理取值。綜上，本文K的取值范圍如式（4）所示。

測量實驗中布置了29 個溫度傳感器，因此K=［3，9］。

在設置好聚類數目K值范圍后，使用KMeans++算法對溫度變量進行聚類，得到一系列K值對應的溫度變量初始聚類中心；在此過程中，由于K-Means++聚類算法中，首個初始聚類中心為隨機方式選取，因此聚類結果會受到影響。為提高聚類結果的穩定性和有效性，選取絕對平均相關系數指標最大的溫度變量作為首個初始聚類中心，此溫度變量與五項熱誤差的平均相關性在所有溫度變量中最大。結合表3 可知首個初始聚類中心I1=T26。表4 為2 500 r/min 轉速下聚類數目K值為［3，9］對應的溫度變量聚類結果。

表4 不同K 值對應的溫度變量聚類結果Tab.4 Clustering results of temperature variables corresponding to different K values

（3）根據絕對平均相關系數確定各聚類中關鍵溫度敏感點，獲取一系列溫度敏感點組合。

根據表3 中溫度與熱誤差的絕對平均相關系數計算結果，將表格4 中各K值包含的K組聚類中絕對平均相關系數最大值對應的溫度變量作為該類的溫度敏感點，得到不同聚類數目對應的包含相同數目溫度變量的溫度敏感點組合，如表5 所示，K=3 對應的3 個溫度敏感點精簡為T26，T25，T15，以此類推。由于T26 作為K-Means 算法的首個初始聚類中心，與五項熱誤差的相關性最大，表格5 中每組溫度敏感點組合均包含了溫度點T26。

表5 2 500 r/min轉速下不同K值對應的溫度敏感點組合Tab.5 Combination of temperature sensitive points corresponding to different K values at 2 500 r/min speed

為綜合評估模型對五項熱誤差的預測性能，提高最優溫度敏感點組合的通用性，建立絕對均方根差AM與絕對殘差均值AS評估指標即各項熱誤差預測結果的均方根差平均值與殘差平均值，用于評價不同溫度敏感點組合對應熱誤差模型的預測性能。AM與AS計算公式如下：

其中：N表示預測樣本總樣本數量；Pi和Mi分別表示第i個樣本的熱誤差預測值與實際測量值；S表示熱誤差預測值與測量值的殘差均值；M表示熱誤差預測值與測量值的均方根差，下標對應熱誤差項；AS為絕對均方根差，AM表示絕對殘差均值。

（5）計算評估指標，選取預測性能最優模型對應的溫度敏感點組合作為最優組合。

以表5 中不同K值對應的溫度敏感點作為輸入，對應五項熱誤差為輸出建立BP 神經網絡對熱誤差進行訓練和預測。其中訓練集為計算絕對平均相關系數所用的某組2 500 r/min 數據的前80%數據，預測集為后20%數據。不同溫度敏感點組合對應BP 熱誤差模型的預測性能評估指標計算結果如表6 所示。其中AS的范圍為2.642～2.796 μm，AM的范圍為2.677～2.855 μm，K=4 時兩者最小，表示此時的熱誤差模型預測性能最優。為避免圖像中曲線過多顯得繁瑣復雜，同時在保證不影響圖像分析結果的前提下，文中的圖像均只展示包含最優K值在內的均方根差與殘差均值評估結果相差不大的部分K值對應的殘差或預測曲線。圖6 所示為K=3，4，5，6，7，8，9 對應的溫度敏感點組合作為輸入時各模型對隨機選取的X2 項熱誤差預測的殘差曲線。其中K=4 對應的殘差曲線整體更接近于0，表明該曲線對應的預測效果最佳。最終選取K=4時包含的T1，T15，T25，T26 為最優溫度敏感點組合。

表6 絕對殘差與絕對均方根差計算結果Tab.6 Absolute residual and absolute root mean square deviation calculation results（μm）

圖6 2 500 r/min 轉速下不同K 值對應的X2 項熱誤差殘差曲線Fig.6 Thermal error residual curve of X2 corresponding to different K values at 2 500 r/min

4 最優溫度敏感點組合有效性驗證

4.1 相同工況下不同誤差項有效性驗證

使用最優敏感點組合選取所用的相同工況下采集的2 500 r/min 轉速數據對最優溫度敏感點組合進行相同工況不同誤差項的有效性驗證。以表5 中不同K值對應的溫度敏感點組合作為輸入，建立BP 熱誤差模型對X1、X2、Y1、Y2 項熱誤差項進行預測。均方根差M與殘差均值S用于評估不同溫度敏感點組合對應模型的預測性能。圖7（a）～7（d）分別展示了不同溫度敏感點組合對應的BP 模型對X1、X2、Y1、Y2 項熱誤差的預測評估結果。如圖所示，在對各方向熱誤差的預測性能評估結果中，柱形圖均在K=4 時達到最低點。表明在不同溫度敏感點組合中，K=4 代表的溫度敏感點組合對應的熱誤差模型對各項熱誤差的預測性能最優。

圖7 BP 模型對各項熱誤差的預測性能評估結果Fig.7 Prediction performance evaluation results of various thermal errors of BP model

表7 詳細展示了圖7（a）中不同溫度變量組合對應的X1 項熱誤差的預測性能評估值計算結果。如表所示，均方根差M的最小值為0.088 μm，最大值為0.227 μm；殘差均值S的最小值為0.075 μm，最大值為0.162 μm。其中M與S最小值對應的輸入均為K值為4 對應的溫度敏感點組合。圖8 描述了K=3，4，5，6 時，對X1方向熱誤差的預測殘差。從圖中可以看出，K=4代表的殘差曲線相較于其他三條曲線整體更收斂接近于0，此時的熱誤差模型預測性能相對更優。以上表明選取的溫度敏感點組合在相同工況不同誤差項中同樣有效。

表7 X1 項熱誤差的預測性能評估結果Tab.7 Prediction performance evaluation results of thermal error of X1（μm）

圖8 2 500 r/min 轉速下部分K 值對應X1 項熱誤差預測殘差Fig.8 Thermal error prediction residual of X1 corresponding to part of K values at 2 500 r/min

4.2 不同工況下同一誤差項有效性驗證

在機床實際加工工程中往往包含多種工況，本節驗證最優溫度敏感點組合在不同工況下同一熱誤差項中的有效性。分別以表5 中不同溫度敏感點組合對應的三組不同工況下的采集數據作為輸入，建立BP 熱誤差模型對Z向熱誤差進行預測。同樣，均方根誤差M與殘差均值S用于評估不同溫度敏感點組合對應模型的預測效果。

4.2.1 2 000 r/min 轉速下有效性驗證

首先，對2 000 r/min 轉速下的熱誤差數據的最優溫度敏感點組合進行有效性驗證。按照表5中不同溫度敏感點組合在2 000 r/min 轉速下采集的前80%數據作為BP 模型的輸入，相應的Z向熱誤差數據作為輸出進行訓練，預測后20%的Z向熱誤差。不同K值溫度敏感點組合對應的BP 熱誤差模型預測性能評估結果如表8 所示。

法國強調藝術與文化教育的公平性，認為不應該讓藝術與文化教育成為只是為社會中部分階層孩子服務的“奢侈品”，而是所有孩子都能學習的基礎內容之一。家庭文化藝術教育的政策應該確保所有的孩子，包括身體殘疾、住院醫療，以及家庭條件差的孩子。特別是社會困難階層的孩子，由于父母文化知識的局限，缺乏文化生活習慣，往往使其子女遠離藝術文化環境。由于資源本身的平等性（如免費政策）并不能保證資源獲取的平等性，法國更強調要保證100%的孩子能夠“平等”地獲得藝術與文化教育資源。

表8 2 000 r/min 轉速下Z項熱誤差的不同K值評估結果Tab.8 Evaluation results of different K values of thermal error of Z at 2 000 r/min（μm）

從表8 中可以看出，在不同溫度敏感點組合對應的評估結果中，M的最小值為0.149 μm，最大值為1.844 μm；S的最小值為0.122 μm，最大值為1.615 μm。其最小值對應的K值均為4。圖9 展示了2 000 r/min 轉速下，K=3，4，5，6，7，8，9 時對應的Z向熱變形值的殘差曲線。觀察圖9 可知，在所有殘差曲線中K=4 的對應的殘差曲線整體更加平緩與收斂，預測結果相對于其他曲線更優，表明最優溫度敏感點組合在2 000 r/min轉速熱誤差數據有效性良好。

圖9 2 000 r/min 轉速下不同溫度敏感點組合對應Z 項熱誤差預測結果Fig.9 Thermal error prediction result of Z corresponding to the combination of different temperature sensitive points at 2 000 r/min

4.2.2 3 000 r/min 轉速下最優溫度敏感點組合有效性驗證

同樣，使用3 000 r/min 轉速下采集的實驗數據，以不同溫度敏感點組合數據為輸入，對應的Z向熱誤差數據為輸出建立BP 模型，驗證最優K值溫度敏感點組合的有效性。數據的前80%用于訓練，后20%用于預測。不同K值溫度敏感點組合對應的BP 神經網絡熱誤差模型的預測評估結果如表9 所示。分析表9 內容可知，在不同K值溫度變量組合對應的熱誤差模型預測性能評估結果中，評估值M與S在K=4 處最低，分別為0.129 μm 與0.107 μm；在K=8 處最高，分別為0.268 μm 與0.247 μm。同時，圖10 展示了K=3，4，5，6 對應的BP 模型的預測殘差曲線。如圖所示，K=4 代表的殘差曲線整體更靠近零，表明此時對應的熱誤差模型的總體預測性能相對最優。最優溫度敏感點組合在3 000 r/min 轉速下采集的數據中同樣適用。

圖10 3 000 r/min 轉速下部分溫度敏感點組合對應Z 項熱誤差的預測殘差Fig.10 Prediction residual of thermal error of Z corresponding to part temperature sensitive points combination at 3 000 r/min

表9 3 000 r/min 轉速Z 向熱誤差不同K 值評估結果Tab.9 Evaluation results of different K values of Z directions at 3 000 r/min（μm）

4.2.3 5 000 r/min 轉速下最優溫度敏感點組合有效性驗證

驗證最優溫度敏感點組合在5 000 r/min 轉速下的有效性。本組數據的采集樣本數為2 334，采集時間約為3.2 h。以不同K值溫度敏感點組合對應的溫度數據作為輸入，Z向熱誤差作為輸出建立BP 熱誤差模型。數據的前80%作為訓練集，后20%作為測試集。5 000 r/min 轉速下不同K值對應的Z向熱誤差預測結果評估結果如表10 所示。其中均方根差M的最小值為0.157 μm，殘差均值的最小值為0.137 μm，對應的K值均為4。圖11 為不同K值對應的BP 神經網絡預測Z向熱誤差的殘差曲線。從圖中可以看出，K=3 與K=4 對應的殘差曲線整體更接近于0，預測效果較其他組合更優。結合表10 中的評估指標與圖10 中不同溫度敏感點組合對應的殘差曲線，可知K=4 對應的溫度敏感點組合預測效果最優。最優溫度敏感點組合在5 000 r/min 轉速下仍然有效。

圖11 5 000 r/min 轉速不同溫度敏感點組合對應Z 項熱誤差預測殘差Fig.11 Prediction residual of part temperature sensitive point combination corresponding to thermal error of Z at 5 000 r/min

表10 5 000 r/min 轉速下Z 項熱誤差不同K 值評估結果Tab.10 Evaluation results of different K values of thermal error of Z at 5 000 r/min（μm）

綜上所述，使用由本文提出的最優溫度敏感點綜合選取法在2 500 r/min 工況下選取的最優溫度敏感點組合在相同工況下不同誤差項以及不同工況下同一誤差項中同樣有效。

5 最優溫度敏感點組合通用性驗證

驗證最優溫度敏感點組合在不同熱誤差模型中的通用性。使用2 500 r/min 轉速下采集的數據，以表格5 中不同K值對應的溫度敏感點組合作為輸入，以變化最明顯的Z方向的熱誤差數據作為輸出，分別建立RBF 神經網絡、SVM 模型與MLR 熱誤差模型。數據的前80%用于模型的訓練，后20%用于預測。均方根誤差M與殘差均值S用于評估不同溫度敏感點組合對應的熱誤差模型對Z向熱誤差的預測效果。為更方便地對比以及分析不同溫度敏感點組合對應模型的預測效果，圖12～14 僅呈現了K=4，5，6，7 對應的部分殘差曲線或預測值曲線，由于其它K值的均方根誤差與殘差均值評估結果與這四組結果相差較大，故不在圖中呈現。

圖12 2 500 r/min 轉速下部分溫度敏感點組合對應RBF 模型的Z 項熱誤差預測結果Fig.12 Thermal error predictive results of thermal error of Z of RBF model corresponding to part of sensitive temperature points at 2 500 r/min

圖12（a）展示了K=4，5，6，7 對應的RBF 模型對Z向熱誤差的預測結果，其中K=4 對應的Z向熱誤差預測曲線與實驗測量曲線整體更為接近；圖12（b）為圖12（a）中預測結果對應的殘差曲線，其中K=4 對應的殘差曲線相對于其余三條曲線整體更靠近0。表11 所示為不同K值溫度敏感點組合作為輸入對應的RBF 模型預測性能評估結果，其中M與S的最小值分別為0.357 μm 與0.323 μm，對應的K值為4；最大值分別為1.824 μm 與1.625 μm，對應的K值為3。結合圖12 與表11 可以看出K=4 代表的溫度敏感點組合對應的RBF 熱誤差模型預測效果最佳。

表11 2 500 r/min 轉速下不同K 值對應RBF 模型預測性能評估結果Tab.11 Evaluation results of RBF model prediction performance corresponding to different K values at 2 500 r/min（μm）

表12 與圖13，表13 與圖14 分別展示了不同K值對應的溫度敏感點組合作為輸入時SVM 與MLR 熱誤差模型的評估結果。同理分析，K=4對應的M與S在不同的熱誤差模型中均為最小，對應的模型預測性能仍為最優。表明本文選取的最優溫度敏感點組合對熱誤差模型的依賴性較弱，在不同的熱誤差模型中具有良好的通用性。

圖13 2 500 r/min 轉速下部分溫度敏感點組合對應SVM 模型的Z 項熱誤差預測結果Fig.13 Thermal error predictive results of thermal error of Z of SVM model corresponding to part of sensitive temperature points at 2 500 r/min

圖14 2 500 r/min 轉速下部分溫度敏感點組合對應MLR 熱誤差模型Z 項熱誤差預測結果Fig.14 Thermal error predictive results of thermal error of Z of MLR model corresponding to part of sensitive temperature points at 2 500 r/min

表12 2 500 r/min 轉速下不同K 值對應SVM 模型預測性能評估結果Tab.12 Evaluation results of SVM model prediction performance corresponding to different K values at 2 500 r/min（μm）

表13 2 500 r/min 轉速下不同K 值對應MLR 模型預測性能評估結果Tab.13 Evaluation results of SVM model prediction performance corresponding to different K values at 2 500 r/min（μm）

6 結 論

本文提出了一種數量自動確定的熱誤差通用型溫度敏感點組合選取方法。所選擇的最優敏感點組合適用于不同工況下的熱誤差預測且對模型的依賴性不大，在不同熱誤差模型中的通用性良好。

首先，計算各溫度變量與五項熱誤差之間的絕對均相關系數。其次，選取絕對均相關系數最大的溫度點作為K-Means++算法的首個初始聚類中心并設置K值的范圍對各溫度變量進行聚類。選擇各聚類中絕對相關系數最大的關鍵溫度變量，得到對應不同聚類數目的溫度敏感點組合。然后，建立BP 神經網絡熱誤差模型，并提出絕對均方根誤差與絕對殘差均值評估指標來獲取預測性能最優的溫度敏感點組合。

最后，在VMC850 數控機床上對本文所提的方法進行驗證。通過對不同工況相同誤差項和相同工況不同誤差項的預測驗證了最優溫度敏感點組合的有效性；通過建立三種熱誤差模型驗證了最優溫度敏感點組合在不同熱誤差模型中的通用性。