基于用野列舉法求概率冶的項目式教學實踐

王國芳 陳海烽

[摘要]為了實現由“講堂”向“學堂”的轉變，構建新型的課堂，文章以“求田忌賽馬的勝率”為項目任務，從項目任務的確定、項目規劃的制訂以及項目管理三個方面對項目教學進行了探索.

[關鍵詞]項目教學;問題;探究與交流;學生成果

項目教學是指以“問題”為教學載體，教師引導學生對問題進行探究的教學活動，由項目任務、項目規劃、項目管理三個要素構成.素養時代的項目學習指對知識的深度理解，創建真實的驅動性問題和成果，用高階學習帶動低階學習，將素養轉化為持續的學習實踐[1].筆者基于“列舉法求概率”的教學實例對項目式教學進行探索.

項目任務的確定

選題是項目教學的首要環節，一個好的選題能夠激發不同學習水平的學生的探索欲望，激發他們通過查閱資料、分析推理、動手實踐、運用學科知識和技能進行研究.統計與概率內容極具情境性，考慮到初中生好勝、求趣的心理特征，故選取2021年福建省中考試卷第23題“求田忌賽馬的勝率”為本文的項目任務，期望學生利用教材等課程資源經歷“求田忌賽馬勝率”的數學活動，會用列舉法求等可能隨機事件的概率，由此深化學生對概率意義的認識，進一步培養他們的隨機觀念，發展他們數據分析的數學素養.

項目規劃的制訂

成功的項目教學案例，是真正實現了課堂從教師“教”到學生“學”的轉變，它需要教師做好嚴謹的項目規劃.

（一）教學策略

田忌賽馬不僅是小學語文的教學內容，也是小學數學教材“對策問題”的內容，還能考查高中獨立事件并集的概率轉化為概率和，它既是小升初的銜接點，也是初升高的銜接點.

田忌賽馬是一個經典的博弈問題，完成這個任務的關鍵是建構數學模型（古典概型的概率）.本題屬于策略開放式的探究題，考查了學生閱讀、思考、表達的能力，學生在熟悉的情境下，面對新的拓展問題，需要運用類比思維模仿題干中的數學符號語言，建構數學表達模型.田忌賽馬是三局兩勝制，學生在用樹狀圖解題時錯誤地變成了田忌、齊王各出一匹馬相互較量定輸贏.對于復雜的概率問題，如何才能將涉及兩個或兩個以上因素試驗的所有可能的結果不重不漏地列舉出來，是本次任務的關鍵點.

教師給出項目任務后，將全班學生分為八個小組，每組六人，在分組時，要考慮性別與數學水平層次不同.學生通過閱讀教材，觀看微課視頻等課程資源獲取學科知識并對選題進行自主探究后，以小組為單位進行交流和展示個人成果，在探究過程中，教師提供必要的學科知識幫助學生辨析錯誤.綜上所述，本次項目教學的策略為以學代教，以小課題帶大任務.

（二）教學過程

1.項目導入：播放田忌賽馬故事視頻（時間1分50秒）.

設計意圖：以數學文化為素材的試題是近年中高考試卷中的創新題和熱點題，田忌賽馬的故事憑借孫臏的計謀創造了以弱勝強的經典案例，體現了古代先賢的智慧，本項目的導入意在告訴學生，生活處處皆數學.

2.第一輪探究與交流

閱讀2021年福建中考第23題的題干，回答問題：

“田忌賽馬”的故事閃爍著我國古代先賢的智慧光芒.該故事的大意是：齊王有上、中、下三匹馬A₁，B₁，C₁，田忌也有上、中、下三匹馬A₂，B₂，C₂，且這六匹馬在比賽中的勝負可用不等式表示為A₁>A₂>B₁>B₂>C₁>C₂（注：A>B表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝）.一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場比賽的勝利.面對劣勢，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序為上馬、中馬、下馬，并采用孫臏的策略：分別用下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對陣（C₂A_l，A₂B₁，B₂C₁）獲得了整場比賽的勝利，創造了以弱勝強的經典案例.

問題1：請用文字語言表述原題中的不等式A₁>A₂>B₁>B₂>C₁>C₂及C₂A_l的含義.

設計意圖：閱讀是獲取信息的重要方式，從某種意義上講，閱讀教學的成功與否決定了教學的成敗，數學學科的閱讀教學是教會學生進行文字語言、圖形語言、數學符號語言的轉化.

3.第二輪探究與交流

假設齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：

問題2：如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，他首局應出哪種馬才可能獲得整場比賽的勝利？求其獲勝的概率.

說明：可以利用桌子上的撲克牌，（紅牌8，6，4;黑牌，7，5，3）模擬齊王、田忌的馬匹進行探究.

學生成果展示：

分析：

設計意圖：讓數學抽象能力較弱的學生借助棋牌（3張紅牌與3張黑牌分別代表齊王和田忌的上中下三匹馬）進行探究，讓他們通過自身的實踐提高數學素養.

4.第三輪探究與交流

問題3：如果齊王的“出馬”順序依

次為上中下，求田忌獲勝的概率.

學生成果展示：

解：如果齊王的“出馬”順序依次為上中下時，他們的所有可能的對陣情況如表1.

設計意圖：此問題在原命題中并沒有，添加這一任務是為了完成下一個任務，為學生搭建一個腳手架，讓學生的分析能力在最鄰近的發展區獲得發展.

5.第四輪探究與交流

問題4：如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，他是否必敗無疑？若是，請說明理由;若不是，請列出田忌獲得整場比賽勝利的所有對陣情況，并求其獲勝的概率.

學生成果1展示：

如表2.

學生成果2展示：

解：

設計意圖：引導學生在涉及兩（多）個因素試驗的所有可能的結果能不重不漏地列舉出來，掌握不同形式的列舉法求隨機事件的概率問題.

6.第五輪探究與交流

問題5：甲、乙、丙三位好友決定抓閹來決定誰得到僅有的一張冬奧門票，他們準備了一個不透明的盒子，里面裝了一個紅球，兩個白球，這些球除顏色外無其他差別.抓中紅球的人才能得到門票，剛要抓閹，甲問：“誰先抓？先抓的人會不會抓中的機會比別人大？”你認為他的懷疑有沒有道理？談談你的想法和理由.

學生成果展示：

解：甲的懷疑沒有道理，先抓后抓抓中的機會是一樣的，我們用樹狀圖來列舉結果.

設計意圖：此題運用類比的思想與“田忌賽馬”相聯系，把三個人抓閹的順序想象成田忌出馬的順序，把球的顏色想象成齊王出馬的順序，就可用問題4中學生展示的成果模型予以解決.設計此題，意在讓學生在合作學習的過程中將所探究出來的技能通過拓展性問題往能力上過渡，培養學生遷移學習與深度思考的能力.

7.反思與交流

在同學們探究問題4時，有部分同學畫出如下樹狀圖，請你們思考是否正確，并說明理由.如果是錯誤的，請你根據此樹狀圖命制題目，使之成為正確的解答.

設計意圖：這種樹形圖刻畫的是田忌和齊王各出一匹馬較量定勝負，比賽只進行了一輪，并非題意的三局兩勝制，整個賽馬過程還需兩輪且每輪出場的每對賽馬不同.設置這一任務是為了幫助學生變誤為悟，讓學生命制題目是為學生提出問題提供機會、搭建平臺、學會逆向思維.

項目管理

（一）教學時間與教學空間管理

在進行該項項目教學的前一天，要求學生閱讀教材和利用網上視頻學習“用列舉法求概率”的內容，完成教材中的兩道練習題并發布到班級群，為第二天田忌賽馬的任務做好知識儲備，項目教學完成后，要求學生上網查找概率論的相關史料，每位同學解決古文化（或游戲問題）中有關概率的問題各兩道，體會概率在采取決策，解決現實問題中的作用.因此，本課題雖然在課內時間僅為一課時，但需要開放的教學時間.學生交流的平臺是以課堂為主，班級QQ群或微信群為輔.

（二）評價表

1.參與學習活動評價表（表3）.

2.學習效果評價表（表4）.

總結與反思

1.選題應基于課程標準

與傳統教學相比，項目式教學能更有效地提升學生解決實際問題的能力，但并非所有的課程內容都適合項目式教學法，統計概率、函數（方程）的應用，平面幾何等相關內容可以采用項目式教學法，但實數的運算就不適合項目式教學法，從學科素養上來看，幾何直觀、數據分析、數學運算適宜項目式教學，數學抽象、數學運算、邏輯推理并不適應項目式教學，選題的難度設計應符合初中生，任務太容易完成激發不起學生的挑戰欲望和學習的積極性，但若選題太難，學生就有可能達不成任務.

2.個性化學習與合作學習相結合

項目式教學是一個以學生學習為中心的課堂教學.在學習形式上，學生自學、互學、群學相結合.自學可以培養學生獨立學習能力，互學使每一個學生深入學習，一部分學生針對不會的內容提出問題，另一部分學生針對這些問題予以解決，在互學的過程中，學生不僅參與了學，也參與了教，學生之間的相互辯論，激活了學生的思維.

3.充分發揮教師的促進者的角色

作用

在項目化學習中，不可盲目尊重學生的獨特體驗，使課堂教學成為放羊式教學，教師主導性的缺失，會導致學生主體性的發揮受到自身水平的限制，使他們的認知水平降低.學生自主化學習，只有在教師正確的引領下，才能保證學習的方向性和有效性.

參考文獻：

[1]夏雪梅.素養時代的項目化學習如何設計[J].理論研究，2019（05）：7-11.