高雷諾數條件非線性彈簧下PTC圓柱流致振動數值模擬

樊天慧，周詩博，孫海，陳超核*

1 華南理工大學 土木與交通學院，廣東 廣州 510641

2 哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001

3 密歇根大學安娜堡分校 海洋可再生能源實驗室，美國密歇根州 安娜堡 48109-2145

0 引 言

當一定流速的流體流過鈍體時，流體會在鈍體的兩側形成交替脫落的旋渦，若鈍體在橫向和流向上受到彈性約束，則旋渦作用在鈍體上的流體力會使鈍體發生振動，這種現象就是流致振動（flow-induced vibration，FIV）[1]。鈍體的流致振動現象會對鈍體的結構安全造成嚴重危害；不過，若利用得當，也可以使海洋流成為一種安全、清潔、高效的能源。因此，流致振動現象在許多領域都是研究熱點，如海洋平臺、橋梁結構、高層建筑，可再生能源等領域[2-5]。

最為常見的流致振動現象是渦激振動（vortexinduced vibration，VIV），其振動響應有自限性。Feng[6]在空氣介質中進行了光滑圓柱橫向振動實驗，發現光滑圓柱的渦激振動存在初始分支和下部分支2 個分支，并且圓柱在一定的雷諾數范圍內出現鎖定狀態。Williamson 等[7]對低質量比的圓柱渦激振動進行了大量實驗研究，發現低質量比圓柱的橫向振幅曲線會出現初始分支、上端分支和下端分支，并指出了各個分支所對應的渦脫模式，有2S 和2P 模式，S 表示單個旋渦脫落，P 表示一對旋轉方向相反的旋渦脫落。Bearman[8]從雷諾數、振動方式、自由度和柱體數量等方面對渦激振動研究成果進行了綜述。另一種常見的流致振動現象是馳振（Galloping），有著低頻率、高振幅的失穩特性，振動響應隨著流速的增加不斷增強直至結構破損，比渦激振動更具有破壞性[9]。馳振的產生通常跟柱體的截面形狀有關，對于光滑圓柱一般發生渦激振動而不會發生馳振，可以通過在圓柱表面或周圍增加附屬物的方式使之發生馳振，這種通過改變柱體表面結構控制振動響應的方法稱為被動湍流控制（passive turbulence control，PTC）。Nakamura 等[10]通過實驗發現無論柱體截面形狀是否光滑，只要在柱體尾部增加一段長分隔板，都可以使柱體發生馳振。Park 等[11]通過在光滑圓柱表面上添加粗糙帶的形式進行了流致振動物理模型實驗，發現PTC 圓柱發生了馳振，振幅達到2.9 倍的圓柱直徑，并且還可以在更大的流速范圍內發生振動響應，從而提高了流致振動的能量轉換效率。Sun 等[12]研究了質量比、阻尼比和剛度對PTC 圓柱流致振動能量轉換效率的影響，發現能量轉換效率隨著質量比和阻尼比的增大而增大，而使圓柱發生起始振動的流速隨著彈簧剛度的增大而增大。Wu 等[13]使用OpenFOAM 開源軟件結合Spalart-Allmaras 湍流模型對PTC 圓柱進行了二維數值模擬，并與實驗結果進行對比；結果表明模擬的振幅比曲線捕捉到了初始分支、上部分支和馳振分支，與實驗結果相同。Zhang 等[14]采用FLUENT 軟件模擬了不對稱PTC 圓柱的流致振動，也成功得到4 個振動分支，并發現帶有粗糙帶一側的振幅值偏小。

多數學者所研究的流致振動模型主要是將其簡化為線性彈簧的質量?彈簧?阻尼線性系統，而非線性彈簧下的流致振動響應和線性彈簧下相比有所不同，主要表現在振幅響應、頻率響應和鎖定區間等方面。Gammaitoni 等[15]證明了合適的非線性模型裝置可以有效提高能量產生效率。Mackowski 等[16]通過實驗證明，和線性彈簧相比，非線性彈簧可以改變結構的固有頻率，擴大VIV的鎖定區間。Huynh 等[17]對非線性彈簧下的渦激振動進行了實驗和數值模擬研究，得到的數值模擬的結果和實驗值吻合得很好。Sun 等[18]和Ma等[19]在2 400≤Re≤12 000 高雷諾數下進行了分段彈簧支撐的PTC 圓柱流致振動實驗，發現分段彈簧的回復力可以提高實驗裝置的能量轉換效率。同時，Ma 等[20]通過實驗研究了分段彈簧對串聯雙圓柱的影響，發現使圓柱初始振動的流速比單個圓柱要高。Li 等[21]進行了高雷諾數下三次方彈簧支撐的光滑圓柱渦激振動模型實驗研究，發現三次方彈簧可以有效地擴大渦激振動的上部分支。Wang 等[22]應用重疊網格技術對低雷諾數下硬化彈簧剛度的光滑圓柱渦激振動進行了二維數值模擬研究，發現硬化彈簧的非線性越大，圓柱的振動響應就需要在更高的雷諾數范圍內才能發生。Lyu 等[23]從柱體形狀、被動控制方法、非線性彈簧、阻尼和多柱體等方面對非線性流致振動的文獻作了全面綜述。

綜上所述，非線性彈簧下圓柱流致振動的響應特性與線性彈簧的差異顯著，非線性彈簧下圓柱流致振動具有更加復雜的振幅特性、頻率特性和流固耦合機理。本文針對高雷諾數下分段彈簧支撐的PTC 圓柱，將其簡化為二維模型，在采用Spalart-Allmaras 湍流模型求解非穩態雷諾平均Navier-Stokes 方程組的基礎上，通過計算流體力學軟件FLUENT 對分段彈簧支撐下的PTC 圓柱流致振動進行數值模擬，并將其與實驗結果進行比較，探討分段彈簧對PTC 圓柱流致振動響應的影響，為提高能量轉換裝置的效率提供理論與技術支撐。

1 研究對象

文獻[18]展示了美國密歇根大學海洋可再生能源實驗室研究團隊完成的一個物理實驗，本文數值模擬采用了該文獻的物理模型參數。實驗中圓柱的實際長度L=0.895 m，直徑D=0.088 9 m，長徑比L/D=10.067。將該圓柱流致振動實驗裝置簡化為二維單自由度的質量?彈簧?阻尼振動系統，即不考慮圓柱的三維展向效應，只考慮垂直于來流方向上的運動。

PTC 圓柱流致振動物理模型示意圖如圖1所示，U為來流方向上的均勻流速，阻尼ctotal=23.41 N·s/m，質量mosc=7.286 kg，排水質量md=5.425 kg，質量比m?=mosc/md=1.343，圓柱表面上布置的對稱粗糙帶（PTC）是為了增大圓柱流致振動的響應，總厚度為0.847 mm，覆蓋在圓柱表面的寬度為16°，粗糙帶前邊緣位置與圓柱前駐點相對圓心的夾角為20°。非線性彈簧剛度采用分段線性函數的形式，示意圖如圖2 所示。圖2中Frestoring為非線性彈簧的回復力，y為圓柱振動的位移，K1和K2分別為第1 段和第2 段彈簧的剛度，K1=1 000 N/m，K2=200 N/m，y0為Frestoring(y)的分段點，取0.5D和1.0D。當圓柱位移|y|≤y0時，回復力僅由剛度為K1的彈簧決定，此時圓柱振動和線性彈簧一致；當|y|>y0時，兩段剛度分別為K1和K2的線性彈簧共同構成回復力。

圖 1 PTC 圓柱流致振動模型示意圖Fig. 1 Schematic diagram of vibrating model of PTC-cylinder

圖2 非線性彈簧剛度函數Fig. 2 Nonlinear spring-stiffness function

2 數值計算方法

本文將物理模型簡化為二維單自由度質量?彈簧?阻尼系統，利用計算流體力學方法，選取Spalart-Allmaras 湍流模型求解Navier-Stokes 方程組，在用戶自定義函數(UDF) 中求解振動方程，實現對分段彈簧下的PTC 圓柱流致振動的數值模擬。

2.1 流體控制方程

對于不可壓縮黏性流體流動，本文用二維非穩態的雷諾平均Navier-Stokes (RANS)方程組結合一方程Spalart-Allmaras 湍流模型[24]進行數值模擬。其連續性方程和動量方程在笛卡爾坐標系下的守恒形式為：

2.2 柱體運動方程

二維單自由度圓柱非線性流致振動的動力學特性可以由質量?彈簧?阻尼模型描述，模型中彈簧的回復力由兩段剛度不同的線性彈簧組合產生，其運動方程和彈簧回復力表達式為：

本文采用有限體積法對流場離散化求解。首先，在每個時間步內，由FLUENT 軟件求解RANS方程組，獲得流場對圓柱的升力；然后，在用戶自定義函數（UDF）中通過四階龍格?庫塔法求解運動方程，得到圓柱的運動速度和位移；最后，再將速度和位移輸入FLUENT 進行下一個時間步的迭代計算，實現流固耦合作用的計算模擬。動量方程和連續性方程的壓力速度耦合采用SIMPLEC算法求解，對流項和壓力項采用二階迎風格式，擴散項為中心差分格式。

2.3 計算模型

本文采用的計算模型如圖3 所示。整個流場計算區域為14D×30D尺寸的矩形區域，圓柱中心距離流場入口邊界處10D，距離出口邊界處20D，距離上、下邊界7D。在圓柱周圍設置2D×2D的正方形運動區域，運動區域內的網格不發生變化，在橫向上隨圓柱同步做上下振動。為了避免網格負體積的產生，使計算結果更加準確，動網格采用動態鋪層法。

圖3 計算模型Fig. 3 Computational model

邊界條件設置：入口處采用速度入口邊界條件(velocity inlet)，來流方向速度u為均勻來流速度U，橫向速度v為0，即u=U,v=0；出口處采用自由出流邊界條件(Outflow)，即=0；上、下壁面取固定壁面邊界條件(Wall)，法向速度和切向速度都為0，即u=0,v=0；圓柱采用無滑移壁面邊界條件(Wall)，圓柱表面流體的速度為圓柱的運動速度，即u=0,v=y˙。

2.4 網格無關性和計算方法驗證

為了測試網格劃分數目對計算結果的影響，選取了3 種數量的網格，分別對其在U=0.5 m/s，Re=44 700 工況下進行靜止的圓柱繞流模擬計算，網格的選取和對比結果如表1 所示。在2D×2D的正方形區域內沿正方形周長和徑向方向上進行網格加密，為保證計算精度，邊界層網格的y+保持在30～70 范圍，在模擬完一個工況后，需要查看圓柱邊界網格的y+值，根據y+的大小調整圓柱第1 層網格厚度，再進行新一輪的數值模擬。

由表1 分析可知，從網格1 加密到網格2 時，CL和CD的差異率分別為5.87% 和3.78%；從網格2 加密到網格3 時，CL和CD的差異率分別為1.42%和0.67%，差異率較小，可以認為網格數量的改變對計算結果影響較小，滿足網格獨立性的要求。結合考慮計算資源和計算精度，最終選取網格2 作為模擬計算網格，網格2 的示意圖如圖4所示。

表1 網格的選取及計算結果對比Table 1 The selection of meshes and comparison of numerical simulation

圖4 計算網格Fig. 4 Computational meshes

為了驗證計算方法的正確性，對線性彈簧支撐的PTC 圓柱流致振動進行數值模擬，并將模擬結果和實驗結果與Wu 等[13]、Ding 等[25]的計算結果作對比。圖5 給出了線性彈簧下PTC 圓柱隨雷諾數變化的振幅比和頻率比曲線。從圖5 可以看出，本文模擬方法得到的振幅比曲線成功捕捉到了初始分支、上部分支、過渡分支和馳振分支 ，頻率比曲線隨雷諾數變化的趨勢和實驗結果基本吻合，驗證了本文數值模擬方法的正確性。

圖5 線性彈簧下PTC 圓柱流致振動的數值模擬驗證Fig. 5 Validation of numerical simulation of flow-induced vibrations of PTC-cylinder with linear spring

3 圓柱振動特性分析

本文進行了線性彈簧和非線性彈簧下的PTC 圓柱單自由度流致振動的數值模擬，采用文獻[18] 中的實驗結果驗證數值模擬結果。非線性彈簧剛度取K1=1 000 N/m，K2=200 N/m，阻尼ctotal=23.41 N·s/m，非線性彈簧剛度函數的分段點y0分別取0.5D，1.0D。線性彈簧剛度取K=400 N/m，阻尼ctotal=25.01 N·s/m，其他參數設置和非線性彈簧工況相同。計算的來流速度范圍0.4 ～ 1.3 m/s，對應的雷諾數范圍30 000

3.1 振幅響應

圖6 為在不同分段函數下的PTC 圓柱流致振動的數值模擬及實驗結果振幅比曲線。從圖中可以看出，圓柱振動響應隨雷諾數的變化大致可以劃分為4 個區間：VIV 初始分支、VIV 上部分支、VIV?馳振過渡分支、馳振分支。

圖6 不同分段函數下PTC 圓柱振幅比曲線Fig. 6 Amplitude ratio of the PTC cylinder for different piecewise functions

在VIV 初始分支階段（30 000

在VIV 上部分支階段（50 000 ≤Re< 75 000），分段彈簧下的圓柱振幅比隨著雷諾數的增大保持平穩，振幅比都保持在0.730 左右。線性彈簧下的振幅比有下降的趨勢，從0.596 下降到0.436，數值模擬和實驗結果基本一致。同時，分段彈簧下的振幅和線性彈簧下相比偏大，y0=0.5D函數的振幅和y0=1.0D函數大致相同。

在VIV?馳振過渡階段（75 000≤Re≤85 000），實驗中線性彈簧下的圓柱基本沒有振動，數值模擬的振幅比隨著雷諾數的增大有所下降，下降到0.349，數值模擬捕捉的結果較為準確。實驗中分段彈簧下的圓柱振幅比和線性彈簧下的相比較大，y0=0.5D函數和y0=1.0D函數的數值模擬振幅比在0.742 左右，和實驗結果基本吻合。

在馳振階段（85 000≤Re< 120 000），線性彈簧和分段彈簧下的圓柱振幅比隨著雷諾數的增大而急劇增大。線性彈簧下的振幅比從1.249 增加到1.991，增大的幅度為0.742。y0=0.5D函數的圓柱振幅比由1.541 增大到2.576，增大的幅度為1.035。在Re=11.6×104時，y0=0.5D函數的圓柱振幅比比線性彈簧下的增大了29.4%。同時，y0=0.5D函數的圓柱振幅比和線性彈簧下相比整體偏大。和線性彈簧下相比，y0=1.0D函數的圓柱振幅比并未表現出增大趨勢，隨著雷諾數的增大，振幅比先是偏小，然后基本相同，數值模擬結果和實驗結果基本吻合。

圖7 給出了不同雷諾數下線性彈簧和y0=0.5D函數彈簧支撐的PTC 圓柱位移比時歷曲線以及取20 s 穩定振動狀態時的振動速度相圖。從圓柱振動速度隨位移變化的相圖中可以看出，在所有的振動分支中，y0=0.5D函數彈簧的圓柱振動速度曲線包圍了線性彈簧下的振動速度曲線；這說明和線性彈簧相比，y0=0.5D函數的分段彈簧可以提高圓柱的振動速度。在初始分支中，線性和非線性彈簧下圓柱的振幅比都保持不變。隨著雷諾數的增大，在上部分支時，y0=0.5D函數彈簧的圓柱出現了“拍”現象，振幅比上下波動，因為圓柱振幅比超過0.5，分段彈簧中的第2 段線性彈簧開始提供回復力，2 個不同的頻率相互疊加導致這一現象。在過渡分支中，y0=0.5D函數彈簧圓柱振動的不穩定性進一步增強，而線性彈簧保持小振幅的穩定振動。從圖7 可以看出，在過渡分支中分段彈簧圓柱的渦脫模式發生不穩定的過渡轉化，而線性彈簧圓柱脫落的旋渦相對穩定，并且有一部分相互抵消，導致了圓柱振幅的減小。隨著雷諾數進一步增大，在馳振階段，y0=0.5D函數彈簧圓柱振動穩定，線性彈簧出現了較小幅度的“拍”現象。

圖7 不同雷諾數下PTC 圓柱位移比時歷曲線和振動速度相圖Fig. 7 Time histories and phase portraits of the PTC-cylinder at different Reynolds numbers

3.2 頻率響應

圖8 為在不同分段函數下的PTC 圓柱振動頻率曲線。圖中圓柱的振動頻率fosc通過將振動位移時程曲線進行快速傅里葉變換得到。

圖8 不同分段函數下PTC 圓柱頻率曲線Fig. 8 Frequency of the PTC-cylinder for different functions

在VIV 初始和上部分支階段，線性彈簧和非線性彈簧下的圓柱振動頻率fosc隨著雷諾數的增大而增大，從大到小排序依次為：y0=1.0D函數、y0=0.5D函數、線性彈簧。其中，y0=1.0D函數下的振動頻率fosc增幅最大，從1.019 Hz 增加到1.473 Hz，數值模擬結果和實驗結果基本一致。

在VIV?馳振過渡階段，實驗中線性彈簧下的圓柱未發生振動，數值模擬捕捉到的振動頻率fosc=1.348Hz。y0=0.5D函數的振動頻率fosc開始下降，從1.342 Hz 下降到1.243 Hz，而y0=1.0D函數的振動頻率保持平穩，fosc=1.471 Hz，數值模擬和實驗結果基本吻合。

在馳振階段，線性彈簧和y0=0.5D函數的圓柱振動頻率fosc隨著雷諾數的增大而保持平穩，穩定在0.9 Hz 左右。y0=1.0D函數的圓柱振動頻率fosc隨著雷諾數的增大而逐漸減小，減小到約1.143 Hz 后保持平穩。在此雷諾數范圍內，y0=1.0D函數的振動頻率fosc和y0=0.5D函數相比整體偏大，在雷諾數Re=11.6×104時振動頻率fosc增大了28.6%。這表明當第1 段彈簧線性剛度比第2 段彈簧線性剛度大時，振動頻率的大小和分段點有關，分段點越大，第1 段彈簧剛度在流致振動過程中發揮的作用越大，圓柱振動頻率也就越大。

3.3 渦脫模式

圖9 為不同雷諾數下線性彈簧和分段彈簧的圓柱尾流旋渦脫落模式。

在VIV 初始分支階段，選取流速U= 0.4 m/s，雷諾數Re=3.58×104下的圓柱振動進行尾渦結構分析。從圖9 中可以看出，線性彈簧和分段彈簧下的尾流旋渦結構為2S 模式，即在一個振動周期內，圓柱尾流處脫落了兩個旋轉方向相反的旋渦，S 表示單個旋渦脫落。

圖9 不同雷諾數下線性彈簧和分段彈簧的圓柱尾流旋渦脫落模式Fig. 9 Wake vortex of the PTC-cylinder for linear spring function and piecewise spring functions at different Reynolds numbers

在VIV 上部分支階段，流速U= 0.6 m/s，雷諾數Re=5.37×104時，線性彈簧和y0=0.5D函數的圓柱同時脫落一個較強和一個較弱的方向相反的旋渦，這時的尾渦結構已經在朝著2P 模式發展，但還尚未成型，稱為2QP 模式，P 表示一對旋轉方向相反的旋渦脫落，此時y0=0.5D函數圓柱的振幅達到0.068D，超過分段點y0，第2 段線性剛度較小的彈簧開始提供回復力。而y0=1.0D函數的圓柱振幅尾渦結構為2S 模式，從單排渦結構發展成了雙排渦，這是因為振幅沒有達到分段點y0，回復力僅由第1 段線性剛度較大的彈簧提供。隨著雷諾數增大，U= 0.8 m/s，Re=7.15×104時，分段彈簧下的尾渦結構都發展為2P 模式，這種周期性交替脫落的旋渦會產生升力作用在圓柱上，使得圓柱產生穩定的渦激振動。線性彈簧下的尾渦結構也為2P 模式，但隨著時間的增加，其中一個漩渦被逐漸拉長，另一個漩渦被抵消掉，這種尾渦模式導致了圓柱的振幅減小。

在VIV?馳振過渡階段，流速U= 0.9 m/s，雷諾數Re=8.05×104時，線性彈簧下的尾渦依然為2P 模式，兩個相互抵消的旋渦損失了一部分能量，使得圓柱振幅進一步變小。y0=1.0D函數的圓柱尾部脫落的一對旋渦沒有相互抵消，導致圓柱的振幅較大，尾渦模式為2P 模式。y0=0.5D函數的尾渦脫落較為復雜，圓柱從最大負位移處向最大正位移處運動過程中脫落了單個旋渦和一個拉長渦，該拉長渦是兩個旋轉方向相同的旋渦未分離產生的，圓柱再從最大正位移處向最大負位移處運動時，脫落了兩個旋轉方向相反的旋渦。和線性彈簧相比，分段彈簧下的圓柱在該階段脫落了更多的旋渦，導致圓柱受到更大的垂直于來流方向上的升力，圓柱的振幅變得更大。

在馳振階段，流速U= 1.3 m/s，雷諾數Re=11.6×104時，線性彈簧下的圓柱在一個振動周期內尾渦脫落模式為T+2S+T+S 模式，共有9 個旋渦脫落，其國T 代表3 個旋渦脫落。y0=0.5D函數的圓柱在1 個振動周期內為T+2S+T+2S 模式，共有10 個旋渦脫落，尾流旋渦脫落模式也更加復雜，增強了圓柱與流體的耦合作用，使得圓柱產生更加激烈的振動。而y0=1.0D函數的尾渦模態為2T 模式，有6 個旋渦脫落，這是因為在圓柱的位移相同并且超過分段點的情況下，和y0=0.5D函數相比，y0=1.0D函數的分段點較大，第1 段線性彈簧提供的回復力占總回復力比例較大，彈簧的總體剛度較大。

圖10 展示了在雷諾數Re=11.6×104時y0=0.5D函數的圓柱一個振動周期T內的尾渦變化，t/T=0.200 和t/T=0.756 時刻對應圓柱的位移y=0.5D，t/T=0.253 時刻對應圓柱的位移y=?0.5D。圓柱從最大正位移處向下運動到0.5D位置過程中，脫落了3 個旋渦，由K1=1 000 N/m和K2=200 N/m的兩段彈簧共同提供回復力。接著圓柱位移從0.5D運動到?0.5D處，脫落了一個旋渦，此時圓柱僅由K1=1 000 N/m提供回復力。圓柱從?0.5D位置向下運動到最大負位移處時，也只脫落了一個旋渦，到此，前半個周期內圓柱的尾渦結構為T+2S 模式。同理，后半個周期的旋渦脫落和前半個周期相同，故在一個周期內，圓柱的尾渦結構為T+2S+ T+2S 模式。

圖10 Re=11.6×104時y0 = 0.5D 函數的圓柱在一個振動周期內的尾渦變化Fig. 10 Wake vortex of the PTC-cylinder within a period of oscillation for y0 = 0.5D functions atRe=11.6×104

4 結 論

本文利用FLUENT 軟件針對高雷諾數下分段彈簧和線性彈簧支撐的PTC 圓柱流致振動進行了二維數值模擬研究，并對比了模擬結果和實驗結果，分析了不同分段點下分段彈簧對PTC 圓柱流致振動的影響。其中，分段彈簧函數是由兩段剛度不同的彈簧組成的：K1=1 000 N/m和K2=200 N/m，并且選擇兩個不同分段點進行分析：y0=0.5D和y0=1.0D。得到以下結論：

1） 在所研究的雷諾數范圍內，y0=0.5D函數的圓柱振幅比和線性彈簧下的相比整體偏大，在Re=11.6×104時增大了29.4%。y0=1.0D函數的振幅比和線性彈簧下的相比在VIV 上部分支階段和VIV?馳振過渡階段有所增大，在馳振階段并未增大。

2） 在上部分支和過渡分支中，y0=0.5D函數彈簧圓柱振動觀察到了“拍”現象。和線性彈簧相比，y0=0.5D函數彈簧可以提高圓柱的振動速度。可見選擇合適分段點可以有效地增大圓柱振幅，從而提高能量轉換裝置的轉換效率。

3） 分段彈簧下的圓柱振動頻率fosc都有隨雷諾數的增大而出現先增大再減小最后保持穩定的趨勢。分段點y0=1.0D的振動頻率fosc整體比y0=0.5D的大，表明當第1 段彈簧剛度比第2 段彈簧大時，分段彈簧下的圓柱振動頻率fosc的大小和分段點的選擇有關，分段點越大，第1 段剛度較大的彈簧發揮的作用越多，振動頻率fosc越大。

4） 在VIV 初始和上部分支階段，線性彈簧和分段彈簧的尾渦結構大致相同。在VIV?馳振過渡階段，分段彈簧下的圓柱有較多的旋渦產生，可以提供更多的能量，而線性彈簧下的尾渦被逐漸拉長。在馳振階段，和線性彈簧以及y0=1.0D函數的渦脫模式相比，y0=0.5D函數的渦脫模式最為復雜，共有10 個旋渦脫落，尾渦結構為T+2S+T+2S 模式。