“數形結合”提升初中學生的高階思維能力

姚明嘉

“數形結合”是重要的數學思想，是學生分析問題、解決問題的重要抓手。在教學的過程中，教師要培養學生“數形結合”的思想，進而提升他們的思維能力，尤其是高階思維能力。也就是說借助“數形結合”的思想，進一步引發學生思維的參與，進而進一步提升他們思維的品質。數學是思維的體操，“數形結合”能讓這段“體操”呈現“優美的舞姿”。

一、以“數形結合”培養分析性思維能力

“數形結合”就是將數與形融合起來，以讓兩者順利地轉化，進而促成問題的解決。在“數形結合”中，學生首先要對“數”進行精準刻畫，其次以“形”的方式直觀、形象地展現出來。換言之，在解題的過程中，學生利用數與形之間的對應關系，實現兩者間的靈活轉化，進而提升解決問題的能力。在指導“數形結合”時，教師要引導學生去分析、評價、綜合，進而培養他們的分析性思維能力、實踐性思維能力和創造性思維能力等高階思維能力，同時也借助思維能力的發展使“數形結合”得以實現。對于“數形結合”思想的運用，教師首先要引導學生分析題目，要從題目中找尋有關數與形轉化的信息。也就是在運用這一思想時，教師要培養學生的分析能力，要讓他們從中找到數形結合的點，找到結合的條件。要形成一定的分析能力，教師首先要引導學生學會讀題，就

是要讀懂已知條件，即要能將已知條件中涉及“數”的往“形”上去轉化;將涉及“形”的往“數”上去轉化。其次要能讀懂結論，要能讀懂這樣的結論通常要運用怎樣的方法解決，在該題中與條件相對接，有沒有更好的解決方法。再次要形成一定的分析能力，學生就要將遇到的題目放到一類題目中去比較，既要發現題目的一般性，也要發現題目的獨特性。

二、以“數形結合”培養想象性思維能力

初中數學以抽象思維為主，這也是初中數學學習的難點。許多學生數學能力不強，其中一個主要的原因就是缺乏抽象思維能力。其實初中學生的抽象能力盡管在多年的數學學習中獲得了發展，但是他們還是以形象思維為主，他們思考問題還是以形象思維見長。因此，在數學教學過程中教師就要順應學生的這一特點，將抽象思維轉為形象思維，進一步促進他們形象思維的發展。“數形結合”思想的運用能很好地促進學生思維的轉化，他們可有效地將抽象的“數”以具體、形象、生動的“形”展示出來。有了“形”，學生的形象思維就有了著力點，思維的火花就容易迸發出來。對著“形”，學生更容易將條件運用起來，更容易將新舊認知結合起來，也更容易發現條件與結論之間過渡的具體的圖形。

三、以“數形結合”培養實踐性思維能力

“數形結合”思想的運用也能進一步培養學生的實踐性思維能力。實踐性思維在本質上是“抽象思維”與“操作思維”相結合的產物，它要求學生既要在具體的細節中思考，又需要跳出細節進行相應的理性思考。換言之，實踐思維就是學生在原先操作基礎上的新的提升，進而以理性的方式表達出來。數與形的結合其實就是學生展開的一次操作活動，是學生將題目中的“數”以“形”的形式呈現出來，這個操作過程就是將抽象數字轉為具象圖形。接著學生再由具象的圖形進行一些結論性的思考。在思考中學生充分運用“數形結合”的思想，又充分迸發實踐性思維。

以下題為例，若設張同學每月的家務勞動時間為x小時，該月可得（即下月他可獲得）的總費為y元，則

y（元）和x（小時）之間的函數圖象如圖2所示。

教師先是讓學生也將這樣的圖形畫出來，以讓他們體驗一下x與y之間的關系。接著教師讓學生通過觀察這個圖象提一些問題，也就是說，要培養他們的數形結合能力和基本的讀圖能力，這里教師先是培養他們借助圖形發現問題的能力。學生先問出這樣的問題：根據圖象能不能看出張同學每月的基本生活費？根據圖象的變化能不能看出她的父母是如何獎勵小強勞動的？學生由y表示的含義，再從具體的圖象中很清晰地看出張同學每月的基本生活費為150元。同時他們將目光轉移到x軸上，他們發現如果張同學每月做家務的時間不超過20小時，每小時獲得的獎勵是2.5元;如果張同學每月做家務的時間超過了20小時，那么20小時的獎勵就按每小時2.5元，超過的部分按每小時4元獎勵。學生問出的第二個問題就是：能不能寫出當0≤x≤20時，y與x之間的函數關系式？學生通過觀察圖象發現當0≤x≤20時，圖2在本質上就是一個一次函數圖象。他們就想到了求一次函數的一般方式，即設y與x之間的函數關系式為y=kx+b。同時學生發現（0，150），（20，200）在該函數上，所以就有y=2.5x+150。在學生將數形結合起來的同時，教師基于學生的提問提出這樣的問題：假如你們的父母也是按照這樣的方式對你們的勞動進行獎勵，你們希望會是怎樣的結果，能不能先用語言表述出來，再以圖象顯現出來？教師的這一問就是進一步將“數形結合”的思想運用于學生的生活實際，也是進一步提升他們的實踐思維能力。

四、以“數形結合”培養創造性思維能力

將“數形結合”思想運用于解題進而提升學生的數學素養，這本身就是一次創造，就是學生創造性解決問題的過程。就題目本身來說，大多數題目并沒有寫明運用什么樣的思想來解決，只是學生在解題的實踐中主動地選擇最適合解決問題的思想。這個選擇的過程其實就是他們展現創造性思維的過程。運用創造性思維解題就是學生獨立地想出解決問題的新方法，不再局限于一般的解題思路。“數學結合”能培養學生的創造性思維，能為學生解決問題開辟新的路徑。一般地，學生在思考問題時會沿著一個既定的方向逐步地推進，“數學結合”給學生在推進的過程中提供一個新的支架，進而使思維由原先的山重水復轉為柳暗花明。換言之，“數形結合”讓創造性思維在課堂上生根。

以下題為例，在3張相同的小紙條上分別標上1、2、3這3個號碼，做成3支簽，放在一個不透明的盒子中。攪勻后從中隨機抽出1支簽，抽到1號簽的概率是多少。學生先是自己做3個不同的紙簽，將其放入文具盒中，再隨意地抽取，他們發現共有3種可能出現的結果，其中“抽到1號”的有1種，進而他們推斷“抽到1號”的概率為。學生的這一做法其實就是將題目中的“數”與生活中的“形”結合起來，在真實的場景中實現數與形的轉化。對學生來說，他們做簽的過程就是他們創造性思維展示的過程，就是他們創造性地在“形”中找尋“數”上面的突破。教師再提出第二問，攪勻后先從中隨機抽出1支簽，這簽不再放回;再從余下的2支簽中隨機抽出1支簽，求抽到的2支簽上簽號的和為奇數的概率是多少。這一問的難度就在于學生如何簡化文字表述，也就是如何將文字以形象的方式展示出來，以讓他們一目了然地看出文字中所蘊含的信息。他們想到了“數形結合”，即借助這一思想實現問題的簡化。學生想到用列表法將可能出現的結果顯現出來，如下表。

對于上表，學生再用語言將圖表的信息表述出來，以做到以“形”驗證“數”，進而達到“數”與“形”的高度統一。當圖形畫好之后，6種可能出現的結果就一覽無遺地呈現出來。學生再對照條件“和為奇數”，發現這樣的情況是4種，于是他們運用概率的公式P（和為奇數）求得最后的結果。解決第二問的關鍵點在于學生要知道運用“數形結合”的思想來簡化問題，進而實現思維的發展。學生在運用這一思想的同時也提升了他們的創造性思維，他們能多維度地思考問題，體現出思維的獨創性。

五、結語

總之，在數學教學的過程中，教師要引導學生通過“數形結合”法將實際問題中的數據借助圖形呈現出來，以實現想象性、抽象性與邏輯性的融合，這也能更容易地引發學生思維火花的迸發，進而有助于他們解決實際問題。當學生養成以“數形結合”的思想和方法進行數學問題的探究與解決時，他們的邏輯思維能力、形象思維能力、推理思維能力等才能得到不斷提升，進而才能促成問題的最終解決。一言以蔽之，“數形結合”思想在初中數學課堂中的運用拓展了學生的思維空間，提升了他們的數學思維能力，同時也提升了課堂教學質量，促進了學生認知的內化。