如何由圖象確定字母或代數(shù)式的符號(hào)

孫曉莉

【摘要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，其圖象是一種直觀形象的交流語言，含有大量有價(jià)值的信息，用好這些信息有助于培養(yǎng)和提高同學(xué)們分析問題，解決問題的能力.

【關(guān)鍵詞】圖象;系數(shù);字母;代數(shù)式;符號(hào)

二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系的相關(guān)考題是歷年各地中考的熱點(diǎn)，這是一類比較難的題型.特別是根據(jù)圖象來判斷字母或代數(shù)式的符號(hào)問題，不少同學(xué)感到困難，而此類問題是近年來中考中出現(xiàn)比較頻繁的一類題型，應(yīng)該說它的再生力和潛在力比較強(qiáng)，應(yīng)值得大家注意.這里對(duì)其常見考題進(jìn)行解析，以便同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中能更好地去把握它.

1系數(shù)a，b，c符號(hào)的確定

1.1a的確定

二次函數(shù)y=ax²+bx+c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a≠0.

①當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大;

②當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大.

1.2b的確定

在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸.

①在a>0的前提下，

②在a<0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即

1.3c的確定

①當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正;

②當(dāng)c=0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;

③當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).

總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.

2判斷a與c，b與c的關(guān)系

解答策略：先根據(jù)對(duì)稱軸判斷a與b之間的關(guān)系.再結(jié)合①x=±1時(shí)，出現(xiàn)a±b+c;②x=±2時(shí)，出現(xiàn)4a±2b+c;③x=±3時(shí)，出現(xiàn)9a±3b+c;消元即可推出a與c，b與c的關(guān)系.

3出現(xiàn)2c時(shí)

解答策略：通常代入x=1或x=-1，然后將得到的式子乘2，出現(xiàn)2c后，再根據(jù)對(duì)稱軸找到a和b之間的關(guān)系，進(jìn)行等量代換.

4含4cb，b²，8a等式子時(shí)與函數(shù)最值之間的關(guān)系

5判斷系數(shù)的取值范圍

解答策略：通常把要判斷的字母轉(zhuǎn)化成c，根據(jù)與y軸交點(diǎn)的范圍，判斷原系數(shù)的取值范圍.

6與不等式ax²+bx+c>n結(jié)合，求x的取值范圍

解答策略：結(jié)合圖象判斷而不是去解不等式.

7一元二次方程當(dāng)y=n時(shí)根的情況或者求根與系數(shù)的關(guān)系

解答策略：令y=n，現(xiàn)察圖象對(duì)應(yīng)x的情況.根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

8判斷a+b≥m（am+b）時(shí)

解答策略：不等式左右兩邊分別加上c，不等式的左邊為函數(shù)的最值，右邊為x=m時(shí)對(duì)應(yīng)y的值.

例1已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象如圖1所示，有下列5個(gè)結(jié)論：

①abc>0;

②b²<4ac;

③2c<3b;

④a+2b>m（am+b）（m≠1）;

（A）2個(gè).（B）3個(gè).（C）4個(gè).（D）5個(gè).

=m（m≠1）時(shí)，即a+b+c>am²+bm+c，則可對(duì)④進(jìn)行判斷;由于方程ax²+bx+c=1有2個(gè)根，方程ax²+bx+c=-1有2個(gè)根，則利用根與系數(shù)的關(guān)系可對(duì)⑤進(jìn)行判斷.

解①因?yàn)閽佄锞€開口方向向下，所以a<0，因?yàn)閽佄锞€與y軸交于正半軸，所以c>0，因?yàn)閷?duì)稱軸在y軸右側(cè)，所以b>0，

所以abc<0，①錯(cuò)誤;

②因?yàn)閽佄锞€與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以b²-4ac>0，

所以b²>4ac

故②錯(cuò)誤;

③因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱軸為直線x=1，

由圖象得，當(dāng)x=-1時(shí)，y=a-b+c<0，

所以2c<3b，

故③正確;

④當(dāng)x=1時(shí)，y=a+b+c的值最大，

所以當(dāng)x=m（m≠0）時(shí)，a+b+c>am²+bm+c，

所以a+b>m（am+b）（m≠1），

因?yàn)閎>0，

所以a+2b>m（am+b）（m≠1），

故④正確;

所以正確的結(jié)論是③④，故選（A）.

注本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0），二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小.當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開口;當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開口;一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置.當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab>0），對(duì)稱軸在y軸左側(cè);當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab<0），對(duì)稱軸在y軸右側(cè).常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置：拋物線與y軸交于（0，c）.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由Δ決定：

Δ=b²-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn);

Δ=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn);

Δ=b²-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).

例2如圖2，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），對(duì)稱軸為x=-1，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①a+b+c=0;

②a-2b+c<0;

③關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根分別為-3和1;

④若點(diǎn)（-4，y₁），（-2，y₂），（3，y₃）均在二次函數(shù)圖象上，則y₁23;

⑤a-b

（A）1個(gè).（B）2個(gè).（C）3個(gè).（D）4個(gè).

分析根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可判斷.

解因?yàn)槎魏瘮?shù)y=ax²+bx+c（a≠0）圖象的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），所以當(dāng)x=1時(shí)，a+b+c=0，故結(jié)論①正確;根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)x=-1，y<0，

即a-b+c<0，

根據(jù)拋物線開口向上，得a>0，

所以b=2a>0，

所以a-b+c-b<0，

即a-2b+c<0，

故結(jié)論②正確;

根據(jù)拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），

對(duì)稱軸為x=-1可知：拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（-3，0），

所以關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根分別為-3和1，故結(jié)論③正確;

根據(jù)函數(shù)圖象可知：y₂13，故結(jié)論④錯(cuò)誤;當(dāng)x=m時(shí)，y=am²+bm+c=m（am+b）+c，所以當(dāng)m=-1時(shí)，a-b+c=m（am+b）+c，即a-b=m（am+b），故結(jié)論⑤錯(cuò)誤.

綜上：①②③正確，故選（C）.

注本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解二次函數(shù)與方程的關(guān)系.