中考最值問題分析及解題技巧

劉賢華

【摘要】最值問題涉及函數問題，平面幾何和立體幾何問題，實際應用問題等等，考查面比較廣泛.

【關鍵詞】最值;圖形;函數

最值問題是近幾年中考的熱點考向，主要涉及平面幾何圖形中的最值問題、函數中的最值問題、與立體圖形有關的最值問題等等，函數最值問題主要是利用二次函數求最值.立體圖形的最值問題往往需要轉化為平面圖形來解決.化歸是解決最值問題的關鍵.本文歸類總結這些問題的考查方向和解題策略.

1平面幾何圖形中的最值問題

1.1點到直線的距離中垂線段最短

例1已知在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=75°，AB=5.點E為邊AC的動點，點F為邊AB上的動點，則線段FE+EB的最小值是（）

分析作點F關于直線AB的對稱點F′，如圖所示，此時EF+EB=EF′+EB，再由點到直線的距離垂線段長度最短求解即可.

解作點F關于直線AB的對稱點F′，連接AF′如圖所示，

由對稱性可知

EF=EF′，

此時EF+EB=EF′+EB，

由“點到直線的距離垂線段長度最小”可知，

當BF′⊥AF′時，EF+EB有最小值BF₀，此時E位于上圖中的E₀位置，由對稱性知，

∠CAF₀=∠BAC=90°-75°=15°，

所以∠BAF₀=30°，

故選（B）.

1.2利用將軍飲馬模型求最值

例2在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，將△ABC繞點B順時針旋轉得到△A′BC′，其中點A，C的對應點分別為點A′，C′.如圖2，連接AA′，CC′，直線CC′交AA′于點D，點E為AC的中點，連接DE.在旋轉過程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值;若不存在，請說明理由.

分析通過對稱進行等量代換，轉化成兩點之間的距離或點到直線的距離，或利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求得最值.

解DE存在最小值1，理由如下：

過A作AP∥A′C′交C′D延長線于P，連接A′C，如圖3.

因為△ABC繞點B順時針旋轉得到△A′BC′，

所以BC=BC，

∠ACB=∠A′C′B=90°，

AC=A′C′，

所以∠BCC′=∠BC′C，

而∠ACP=180°-∠ACB-∠BCC′

=90°-∠BCC′，

∠A′C′D=∠A′C′B-∠BC′C=90°-∠BC′C，

所以∠ACP=∠A′C′D，

因為AP∥A′C′，

所以∠P=∠A′C′D，

所以∠P=∠ACP，

所以AP=AC，AP=A′C′，

在△APD和△A′C′D中，

所以△APD≌△A′C′D（AAS），

所以AD=A′D，

即D是AA′中點，

因為點E為AC的中點，

所以DE是△AA′C的中位線，

要使DE最小，只需A′C最小，此時A′，C，B共線，A′C的最小值為A′B-BC=AB-BC=2，

1.3利用完全平方公式求最值

例3在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，點P是△ABC所在平面內一點，則PA²+PB²+PC²取得最小值時，下列結論正確的是（）

（A）點P是△ABC三邊垂直平分線的交點.

（B）點P是△ABC三條內角平分線的交點.

（C）點P是△ABC三條高的交點.

（D）點P是△ABC三條中線的交點.

解過P作PD⊥AC于D，過P作PE⊥AB于E，延長CP交AB于M，延長BP交AC于N，如圖4，

因為∠A=90°，

PD⊥AC，PE⊥AB，所以四邊形AEPD是矩形，設AD=PE=x，

AE=DP=y，

Rt△AEP中，AP²=x²+y²，

Rt△CDP中，CP²=（8-x）²+y²，

Rt△BEP中，BP²=x²+（6-y）²，

所以AP²+CP²+BP²

=x²+y²+（8-x）²+y²+x²+（6-y）²

=3x²-16x+3y²-12y+100

因為∠A=90°，PD⊥AC，

所以PD∥AB，

所以AM=3，

即M是AB的中點，

所以P是△ABC三條中線的交點，

故選（D）.

2函數中的最值問題

例4某快餐店銷售A，B兩種快餐，每份利潤分別為12元、8元，每天賣出份數分別為40份、80份.該店為了增加利潤，準備降低每份A種快餐的利潤，同時提高每份B種快餐的利潤.售賣時發現，在一定范圍內，每份A種快餐利潤每降1元可多賣2 份，每份B種快餐利潤每提高1元就少賣2份.如果這兩種快餐每天銷售總份數不變，那么這兩種快餐一天的總利潤最多是________元.

分析根據題意，總利潤=A種快餐的總利潤+B種快餐的總利潤，而每種快餐的利潤=單件利潤×對應總數量，分別對兩份快餐前后利潤和數量分析，代入求解即可.

解設A種快餐的總利潤為W₁，B種快餐的總利潤為W₂，兩種快餐的總利潤為W，設A快餐的份數為x份，則B種快餐的份數為（120-x）份.

據題意

所以W=W₁+W₂=-x²+104x-2400

=-（x-52）²+1264，

所以當x=52的時候，W取到最大值1264，故最大利潤為1264元.

在中考試題中與最值問題有關的考題非常多，在此僅僅舉幾個典型例題，探討這類問題的常用解題思路及解題技巧.