一道“希望杯”賽題的變式及探索

馬運強 李士成

【摘要】本文介紹一道28屆“希望杯”初三2試試題.

【關鍵詞】幾何試題;一題多解;解題訓練

題目如圖1，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D在AC上，AE⊥BD交BD的延長線于點E，且AE=BD.有以下四個結論：

（1）AE=EC;

（2）∠ACE=∠ABE;

（3）∠AEC=∠BCE;

（4）BE是∠ABC的角平分線.

其中，結論成立的個數是（）

（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.

（第28屆“希望杯”初三2試）

證明延長AE和BC相交于點F，如圖2所示.

在Rt△ACF與Rt△BCD中，

所以△ACF≌△BCD.

即AE=EF.

從而Rt△AEB≌Rt△FEB，

故BE是∠ABC°的角平分線，故④成立.

在Rt△ACF中，點E是AF的中點，則

AE=EF=EC，

即①成立.

由上證明知∠EAC=∠ACE，

∠EFC=∠ECF=90°-22.5°=67.5°，

在Rt△ADE和Rt△DBC，

∠AED=∠ACB=90°，

∠ADE=∠BDC，

所以∠EAC=∠EBC.

故∠EAC=∠EBC=∠ABE=∠ACE=22.5°，

即②成立.

∠AEC=2∠EFC=2×67.5°=135°，

∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°+22.5°=112.5°，

所以∠AEC≠∠BCE，即③不成立.

綜上知，上述結論中的①，②和④成立，共3個.

故選（C）.

變式如圖3，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于點E，BD⊥AE交AE的延長線于點D.則以下結論成立：

（1）CD=BD;

（2）AE=2BD;

（3）∠AC+CE=AB;

（4）∠ADC=45°.

下面給出第（2）小問的五種解法.

分析要證一條線段是另一條線段的2倍，可以考慮將短線段加倍，或將長線段取半，再證明構造后的線段與另一條線段相等.

解法1如圖4，延長AC，BD交于點F.

在Rt△BCF與Rt△ACE中，

所以Rt△ACE≌Rt△BCF，

所以AE=BF.

又因為AE平分∠BAC，且AE⊥BD，

所以BD=DF，

即BF=2BD，

所以AE=2BD.

解法2如圖5，延長AC，BD交于點F，作FG⊥AB，

因為∠ACB=90°，

AD⊥BD，

所以點E是△ABF的垂心，由已知得

∠ACB=∠BCF=∠FGB=90°，

又∠BAC=∠ABC=45°

所以∠GEB=∠CEF=∠CFE=45°，

所以CE=CF，下同解法1.

解法3如圖6，取AE的中點G，連接CG，

在△ABF中，AE平分∠BAC，

且AE⊥BD，

所以BD=DF.

又∠ACB=90°，

易證∠CGD=2∠CAG=∠ABC=45°.

又∠ACB=90°，AD⊥BD，

所以∠ACB=∠ADB=90°，

所以A，B，D，C四點共圓，

所以∠CDA=∠ABC=45°，

∠CGD=∠CDA，

即CG=CD，

所以AE=2CG=2CD=2BD.

解法4同解法3，易證

△BDG≌△ADE，

所以AE=2AG=2BD.

解法5如圖7，延長AC，BD交于點F，延長BC到點G，使CG=BC，易證Rt△ABC≌Rt△AGC，

所以AB=AG，

∠ABC=∠G=∠BAC=45°.

由∠ACB=90°，AD⊥BD，

易得∠CAD=∠CBF，

又∠CAG=∠ABC，

AC=BC，AG=AB，

所以△AGE≌△BAF，

所以AE=BF，

在△ABF中，AE平分∠BAE，

且AE⊥BD，

所以BF=2BD，

所以AE=2BD.