初中一年級第2試

一、選擇題

（A）1999.（B）-1999.

（A）負數.（B）非負數.

（C）正數.（D）非正數.

3.下面四個命題中正確的是（）

（A）相等的兩個角是對頂角.

（B）和等于180°的兩個角是互為鄰補角.

（C）連接兩點的最短線是過這兩點的直線.

（D）兩條直線相交所成的四個角都相等，則這兩條直線互相垂直.

4.a，b，c三個有理數在數軸上的位置如圖1所示，則（）

5.7-a的倒數的相反數是-2，那么a=（）

（A）9.（B）7.5.（C）5.（D）6.5.

（A）68°.（B）78°.（C）88°.（D）98°.

（A）1個.（B）2個.（C）3個.（D）4個.

8.不超過100的所有質數的乘積減去不超過60且個位數字為7的所有質數的乘積所得之差的個位數字是（）

（A）3.（B）1.（C）7.（D）9.

（A）1.（B）5.（C）8.（D）3.

10.若n是奇自然數，a₁，a₂，…，a_n是n個互不相同的負整數，則（）

（A）（a₁+1）（a₂+2）…（a_n+n）是正整數.

（B）（a₁-1）（a₂-2）…（a_n-n）是正整數.

二、填空題

11.如圖2，線段AB=BC=CD=DE=1厘米，那么圖中所有線段的長度之和等于________厘米.

13.P是長方形ABCD的對角線BD上的一點，M為線段PC的中點.如果三角形APB的面積是2平方厘米，則三角形BCM的面積等于________平方厘米.

15.如圖3，OM平分∠AOB，ON平分∠COD.若∠MON=50°，∠BOC=10°，則∠AOD=________.

16.三個不同的質數a，b，c滿足ab^bc+a=2000，則a+b+c=________.

17.從0，1，2，3，4，56，7，8，9這十個數中選出五個組成五位數，使得這個五位數能被3，5，7，13整除.這樣的五位數中最大的是________.

18.A、B兩個港口相距300公里.若甲船順水自A駛向B，乙船同時自B逆水駛向A，兩船在C處相遇.若乙船順水自A駛向B，甲船同時自B逆水駛向A，則兩船于D處相遇，C、D相距30公里.已知甲船速度為27公里/小時，則乙船速度是________公里/小時.

20.甲、乙、丙、丁、戊五名同學參加推鉛球比賽，通過抽簽決定出賽順序.在未公布順序前每人都對出賽順序進行了猜測.甲猜：乙第三，丙第五;乙猜：戊第四，丁第五;丙猜：甲第一，戊第四;丁猜：丙第一，乙第二;戊猜：甲第三，丁第四.老師說每人的出賽順序都至少被一人所猜中，則出賽順序中，第一是________，第三是________，第五是________.

三、解答題

21.一個長方形如圖4所示恰分成六個正方形，其中最小的正方形面積是1平方厘米.求這個長方形的面積.

22.已知一組兩兩不等的四位圖數，它們的最大公約數是42，最小公倍數是90090.問這組四位數最多能有多少個？它們的和是多少？

參考答案

一、選擇題

提示

1.根據相反數的定義，

選（C）.

2.由絕對值定義

選（A）.

3.如圖5，∠AOC=∠BOC=90°，但∠AOC與∠BOC不是對頂角，排除（A）.

如圖6，a∥b，同旁內角∠1+∠2=180°，但∠1與∠2并非互為鄰補角，排除（B）.

兩點之間最短距離是連接這兩點的線段，不能表述為過這兩點的直線，排除（C）.因此應選（D）.事實上，（D）正是兩條直線互相垂直的定義.

4.由圖1可見c

所以0

由②知，應排除（D）.

所以應選（B）.

選（D）.

解得α=78°.

選（B）.

7.由ac<0，可知a≠0，c≠0，a，c符號相反.

因此a²·ac<0.

即ca³<0.

且c²·ac<0，

即c³a<0.

若a=-1，c=1，ac=-1<0，但

a²·c=1>0.

若a=1，c=-1，ac=-1<0，但

a·c²=1>0.

可見，ac²<0，a²c<0不一定成立.

選（C）.

8.不超過100的所有質數中包含質數2與5，所以不超過100的所有質數的乘積個位數字是0.不超過60的個位數字是7的質數只有7，17，37，47四個，其乘積的末位數字是1，所以，不超過100的所有質數的乘積減去不超過60的個位數字為7的所有質數的乘積所得差的個位數字為9.

選（D）.

9.①當0≤a≤2時，

②當2

③當3

=2a-5≤2×4-5=3.

當a=4時，達到最大值3.

選（B）.

10.a₁，a₂，…，a_n是n個互不相同的負整數，其中n是奇自然數.

若a₁=-1，（a₁+1）=0，則（a₁+1）（a₂+2）…（a_n+n）=0排除（A）.

若a₁=-1，a₂=-2，a₃=-3，…，a_n=-n時，

（a₁-1）（a₂-2）…（a_n-n）

=（-2）（-4）（-6）…（-2n）

=（-1）ⁿ2×4×6×…×（2n）<0

（因為n是奇數）.

故排除（B）.

事實上，若a₁<0，a₂<0，…，a_n<0，則

因此選（D）.

二、填空題

提示

11.圖7中，

長為1厘米的線段共4條，

長為2厘米的線段共3條，

長為3厘米的線段共2條，

長為4厘米的線段僅1條.

圖7中所有線段長度之和為

1×4+2×3+3×2+4×1=20（厘米）.

相加得2s=1+2+3+4+…+49

又2s=49+48+47+46+…+1

相加得4s=50×49=2450

所以s=612.5

13.根據題意畫圖，如圖8所示.連接AC交BD于O，則△ABO的面積等于△CBO的面積.△APO的面積等于△CPO的面積.因此，△ABP的面積等于△CBP的面積，所以由△APB面積是2平方厘米，可知△CBP面積是2平方厘米.而BM是△CBP的一條中線，三角形中線平分三角形的面積，所以△BCM的面積等于1平方厘米.

試除知231×230=53130

231×231=53361

231×232=53592

231×233=53823

231×234=54054

可見x=2，y=3.

x²-y²=4-9=-5.

15.如圖9，∠AOD

=∠AOB+∠BOC+∠COD

=2∠MOB+∠BOC+2∠CON

=2（∠MOB+∠BOC+∠CON）-∠BOC

=2∠MON-∠BOC

=2×50°-10°=90°.

16.易知a（b^bc+1）=2000=2⁴×5³

若a=5，則b^bc+1=400，

所以b^bc=399=3×133=3×7×19.

無論c=3、7或19都不能求得質數b，故a≠5.

只能取a=2，此時b^bc+1=1000.

所以b^bc=999=3³×37，

則b=3，c=37.

因此，a+b+c=2+3+37=42.

17.所求五位數能被3、5、7、13整除，當然也能被3、5、7、13的最小公倍數整除.即這個五位數是3×5×7×13=1365的倍數.

通過除法，可算出五位數中1365的最大倍數是73×1365=99645.

但99645的五個數碼中有兩個9，不合題意要求.可依次算出

72×1365=98280（兩個8重復，不合要求）.

71×1365=96915（兩個9重復，不合要求）.

70×1365=95550（三個5重復，不合要求）.

69×1365=94185（五個數碼不同）.

因此，所求的五位數最大的是94185.

18.已知A、B兩港相距300公里，甲船速為27公里/小時.設乙船速為v公里/小時，水流速為x公里/小時，則甲船順水速為（27+x）公里/小時，逆水速為（27-x）公里/小時.

乙船順水速為（v+x）公里/小時，

逆水速為（v-x）公里/小時.

甲船自A順水，乙船自B逆水同時相向而行，相遇在C處時間為

同理，乙船自A順水，甲船自B逆水同時相向而行，相遇在D處所需時間為

可見，兩個時間相等.

10v-270=27+v，

9v=297，v=33（公里/小時）.

270-10v=27+v，11v=243，

19.由觀察可知，當x≥1時，

4x²-5x+9>0

x²+2x+2>0.

所以，當x=1999時，

原式=4x²-5x+9-4（x²+2x+2）+3x+7

=-13x+9-8+3x+7

=-10x+8，

將x=1999代入，

原式的值=-19990+8=-19982.

20.將每人猜測的出賽順序列如下表：

由于每人的出賽順序至少被一人猜中，戊被猜測的兩個順序號都是第四，故可確定戊是第四位出賽.這時丁不能第四位出賽，而丁的順序至少被一人猜中，所以丁應第五位出賽.順序推得丙只能第一位出賽，甲第三位出賽，乙第二位出賽.

答：出賽順序第一個是丙，第三個是甲，第五個是丁.

三、解答題

21.圖12中的正方形分別標以A，B，C，D，E，F，顯然最小的正方形A的面積是1平方厘米，它的邊長為1厘米.

設最大正方形B的邊長為x厘米，則C的邊長為（x-1）厘米，D的邊長為（x-2）厘米，E的邊長為（x-3）厘米，F的邊長也為（x- 3）厘米.

根據矩形對邊相等，得

2（x-3）+（x-2）=x+（x-1）

即3x-8=2x-1，

所以x=7，（厘米）

于是，C的邊長為6厘米，D的邊長為5厘米，E和F的邊長均為4厘米.

長方形的面積為

（7+6）×（7+4）=13×11=143（平方厘米）.

22.①設這組四位數共n個，分別為

a₁=42x₁，a₂=42x₂，…，a=42x_n.

其中的每個a_i=42x_i是四位數，

所以1000≤42x_i<10000

②由題設知

90090=[a₁，a₂，…，a_n]

=[42x₁，42x₂，…，42x_n]

=42[x₁，x₂，…，x_n]

其中23i<239（*）

可知x_i是由3，5，11，13每個至多用一次組合成的在23和239之間的自然數，并且兩兩不同.其中兩個質因數組合且滿足（*）式者，只有33，39，55，65，143，三個質因數組合且滿足（*）式者，有165和195，一個質因數以及多于三個質因數的積，都不能滿足（*）式.因此最多產生7個兩兩不同的四位數：

a₁=42×33=1386，

a₂=42×39=1638，

a₃=42×55=2310，

a₄=42×65=2730，

a₅=42×143=6006，

a₆=42×165=6930，

a₇=42×195=8190.

它們的和等于

42×（33+39+55+65+143+165+195）

=42×695

=29190.

答：這組兩兩不同的四位數最多是7個，它們的和是29190.