圓錐曲線中角平分線問題的探究與推廣

姚必巍 李林靜

圓錐曲線是高中數學的核心內容，其性質是高考和競賽命題的重點內容.本文以2019年全國高中數學聯賽廣西賽區初賽試題第12題為例，對橢圓在定角平分線條件下的定點問題進行再探究，并進一步推廣到雙曲線與拋物線.

1 問題的提出

對上述試題，文[1]、[2]給出了圓錐曲線兩條奇異性質：若直線l與l1的斜率之積或和為定值（非零），則直線MN過定點.筆者欣賞此兩文并進一步探究后發現：若直線，與‘關于某定直線對稱，則直線MN也過定點.

評注 利用到角公式處理角平分線問題，建立兩個參量k和的關系，這是解決圓錐曲線定點問題的一般方法.

3 類比性質

令人感興趣的是，借助上述的思維路徑，我們可以把結論推廣到雙曲線與拋物線的情形之中，得出上述命題的推廣.

4 探究延伸

前面，我們研究了當直線PM與PN關于某直線對稱時，直線MN過定點，反之，當直線MN過定點時，直線PM與PN是否關于某直線對稱？

圓錐曲線的學習就是要培養學生的探究意識，需要師生堅持不懈地研究與反思，開闊眼界和思想，這也是能學好圓錐曲線的關鍵.

參考文獻

[1]錢汝富，一類直線與橢圓定點問題的探究[J].中學數學教學參考，2019 （6）：50-51

[2]程雷虎，圓錐曲線一條奇異性質的推廣[J].數學通訊，2019 （10）：40-42

[3]漆贛湘，關聯橢圓準線的若干性質再探究[J].數學通訊，2019 （7）：