隨機變量及其分布的重點題型及解題策略

陳敏 張啟兆

隨機變量及其分布是高考考查的重點內容之一，現將隨機變量及其分布的重點題型及解題策略總結如下。

1.超幾何分布與二項分布

例1 某土特產超市為預估2023年元旦期間游客購買土特產的情況，對2022年元旦期間90位游客的購買情況進行統計，得到人數分布表，如表1所示。

為吸引游客，該超幣推出一種優惠方案，購買金額不少于600元可抽獎3次，每次中獎概率為p（每次抽獎互不影響，且p的值等于人數分布表中購買金額不少于600元的頻率），中獎1次減50元，中獎2次減100元，中獎3次減150元。若游客甲計劃購買800元的土特產，請列出實際付款數X（元）的分布列。

解析：“游客購買土特產”可視為獨立重復試驗，于是聯想到二項分布的概率模型?！叭粲慰图子媱澷徺I800元的土特產”，則中獎次數可能為3次、2次、1次、O次，故實際付款數X的可能取值為650，700，750，800。

模型識別：二項分布的三個特征：①任意兩個試驗相互獨立，不互相影響;②每次試驗成功的概率是相同的;③每次試驗只有兩種結果。

易錯提醒：由于游客購買土特產的事件相互獨立，可以利用二項分布解決，二項分布模型的建立是易錯點。

例2 隨著2022年北京冬奧會的舉辦，冰雪運動在全國各地蓬勃開展。某地為深入了解學生參與“自由式滑雪”“單板滑雪”兩項運動的情況，在該地隨機抽取了10所學校進行調研，得到數據圖，如圖1。

（l）從這10所學校中隨機選取1所學校，求這所學?！白杂墒交钡膮⑴c人數超過40人的概率。

（2）規定“單板滑雪”的參與人數超過45人的學校作為“基地學?！?。

①現在從這10所學校中隨機選取3所，記X為其中的“基地學?！钡膫€數，求X的分布列和數學期望。

②為提高學生“單板滑雪”水平，某“基地學?！贬槍Α皢伟寤钡?個基本動作進行集訓并考核。若4個基本動作中至少有3個動作達到“優秀”，則考核為“優秀”。已知某同學參訓前，4個基本動作中每個動作達到“優秀”的概率均為0.2，參訓后該同學考核為“優秀”，能否認為該同學在參訓后“單板滑雪”水平發生了變化？并說明理由。

解析：（l）設事件A為“從10所學校中選出1所學校，且該?！杂墒交膮⑴c人數超過40人”。

“自由式滑雪”的參與人數超過40人的

學校共4所，所以P（A）=4/10=2/5。

（2）①X的所有可能取值為0，1，2，3，“單板滑雪”的參與人數在45人以上的學校共4所。

可以認為該同學在參訓后“單板滑雪”水平發生了變化，理由如下：

P（B）值較小，即該同學考核為“優秀”為小概率事件，一旦發生了，就有理由認為該同學在參訓后“單板滑雪”水平發生了變化。

點評：（1）超幾何分布是一種重要的分布模型，要深入理解概念：從包含M件次品的N件產品中選取n件，設取到的次品數為X，則X服從超幾何分布：

（2）超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數;

（3）超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型。

模型識別：超幾何分布的特征是：①考查對象分兩類;②已知各類對象的個數;③從中抽取若干個個體，考查某類個體個數X的概率分布。

易錯提醒：概率問題的求解關鍵是辨別它的概率模型，只要模型找對，問題便迎刃而解。常見的概率分布模型有：兩點分布、超幾何分布、二項分布、正態分布。

2.離散型隨機變量的均值、方差與正態分布的結合

例3 2020年8月教育部發布《關于深化體教融合，促進青少年健康發展的意見》，某校積極響應國家號召，組織全校學生加強實心球項目訓練，規定該校男生投擲實心球6.9米達標，女生投擲實心球6.2米達標，并擬定投擲實心球的考試方案時每生可以投擲3次，一旦達標無需再投。從該校任選5名學生進行測試，如果有2人不達標的概率超過0.1，則該校學生還需加強實心球項目訓練。已知該校男生投擲實心球的距離ξ1服從正態分布N（6.9，0.25），女生投擲實心球的距離ξ2服從正態分布N（6.2，0.16）（ξ1，ξ2的單位：米）。

（1）請你通過計算，判斷該校學生是否還需加強實心球項目訓練。

（2）為提高學生考試達標率，該校決定加強訓練，經過一段時間訓練后，該校女生投擲實心球的距離ξ2服從正態分布N （6. 516，0. 16），且P（x≤6.832）一0.785。此時，請判斷該校女生投擲實心球的考試達標率能否達到99%，并說明理由。（取3√10的值為2. 15）

分析：（l）根據獨立重復試驗概率計算公式進行計算，從而作出判斷。

（2）通過計算達標率來進行說明。

點評：求解與正態分布有關的問題時，要迅速畫出正態曲線（草圖），并將對稱軸、最高點等已知條件反映到圖形上來，根據對稱性以獲取更多的條件，再給出相應的代數解釋，一般即可求解。通過識圖與用圖來解題，其基本解題程序：數（正態分布）一形（正態曲線）+形（對稱性）一數（對獲取對形的認識作出代數解釋）。

3.均值與方差在決策問題中的應用

例4某財經雜志發起一項調查，旨在預測某國經濟前景，隨機訪問了100位業內人士，根據被訪問者的問卷得分（滿分10分）將經濟前景預期劃分為三個等級（悲觀、尚可、樂觀）。分級標準及這100位被訪問者得分頻數分布情況如表4。

假設被訪問的每個人獨立完成問卷（互不影響），根據經驗，這100位人士的意見即可代表業內人士意見，且他們預測各等級的頻率可估計未來經濟各等級發生的可能性。

（1）該雜志記者又隨機訪問了兩名業內人士，試估計至少有一人預測該國經濟前景為“樂觀”的概率。

（2）某人有一筆資金，現有兩個備選的投資意向：物聯網項目或人工智能項目，兩種投資項目的年回報率都與該國經濟前景等級有關，根據經驗，大致關系如下表5，正數表示贏利，負數表示虧損。

根據以上信息，請分別計算這兩種投資項目的年回報率的期望與方差，并用統計學知識給出投資建議。

解析：（l）由題意可知100名被采訪者中，預測該國經濟前景為“樂觀”的人數為9+7+4=20（人），概率為0.2。