情境交融的概率統計問題

劉裕輝

這幾年新冠肺炎疫情的暴發讓人們猝不及防，但強大的中國人民有效地遏制了病毒的蔓延。數學源于生活，針對防疫、抗疫的數學試題，讓人眼前一亮。下面從幾個方面探討與疫情情境交融的概率統計問題。

一、考查抽樣方法

例1 2020年一場突如其來的新冠肺炎疫情讓全世界生靈涂炭、經濟停頓，應對新冠肺炎的有效辦法之一就是接種疫苗。目前常見的國產疫苗有3種，生產廠家分別是國藥集團武漢生物研究所（國藥武漢）、國藥集團北京生物研究所（國藥北京）、科興控股生物技術有限公司（科興生物），某地分別從這三家廠家采購了30 000支、20 000支、50 000支疫苗用于接種，每人要接種兩支，且需接種同一廠家生產的疫苗。所有疫苗都接種完后，某同學為調查疫苗接種的效果采用分層抽樣的方法從所有已接種人員中抽取部分個體進行調查，若已知他調查的人員中，接種科興生物疫苗的人數比接種國藥北京疫苗的人數多150，那么他所抽取的樣本容量是（ ）。

A.250

B.500

C.750

D.1 000

解析：由題意可知，總體中有100 000個個體，設他所抽取的樣本容量為n。

某地分別從這三家廠家采購了30 000支、20 000支、50 000支疫苗用于接種，接種科興生物疫苗的人數比接種國藥北京疫苗的 人數多150，故50000/100000 n一20000/100000=150，解得n = 500。

故選B。

點評：數學閱讀能力是各種數學思維的基礎和前提，其直接影響到同學們數學學習過程中問題解決能力的形成和提高。

練習1：某小區共有住戶2 000人，其中老年人600人，中年人1 000人，其余為青少年人群，為了調查該小區的新冠疫苗接種情況，現采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為400的樣本，則樣本中中年人的人數為一。

解析：現采用分層抽樣的方法從中抽取一個容量為400的樣本，則樣本中中年人的人數為400×1000/2000=200。

二、考查統計圖與樣本特征數

例2 2021年7月28日揚州發生了新冠疫情，圖1記錄的是7月28日到8月23日揚州每日新增病例數，從圖表中我們能得到的正確信息是（ ）。

A.從7月28日到8月23日揚州每日新增病例數最少0人，最多58人

B.從7月28日到8月23日揚州每日新增病例數多于41人的有3天

C.從7月28日到8月5日每日新增病例數逐日遞增

D.從8月7日到8月12日每日新增病例數先逐日遞增后逐日遞減

解析：對于A，從7月28日到8月23日揚州每日新增病例數，8月22日和8月23日最少為0人，8月5日最多為58人，故選項A正確;

對于B，從7月28日到8月23日揚州每日新增病例數多于41人的有4天，它們是8月5日，8月6日，8月9日，8月10日，故選項B錯誤;

對于C，從7月28日到8月5日每日新增病例數不是逐日遞增，而是先增后減再增，故選項C錯誤;

對于D，從8月7日到8月12日每日新增病例數先遞增后遞減，故選項D正確。

故選AD。

點評：本題考查了折線圖的應用，讀懂統計圖并能從統計圖得到必要的信息是解決問題的關鍵。

例3 2020年12月31日，國務院聯防聯控機制發布，國藥集團中國生物的新冠病毒滅活疫苗已獲藥監局批準符合條件上市，其保護效力達到世界衛生組織及藥監局相關標準，現已對18至59歲的人提供。根據某地接種年齡樣本的頻率分布直方圖（如圖2），估計該地接種年齡的中位數為（ ）。

A.40

B.39

C.38

D.37

解析：年齡位于[18，24）的頻率為0. 013×6=0. 078，年齡位于[24，30）的頻率為0. 023×6=0.138，年齡位于[30，36）的頻率為0. 034×6=0. 204，年齡位于[36，42）的頻率為0. 040×6=0. 240。

因為0. 078+0. 138+0. 204—0.420<0.5，且0. 078+0.138+0.204+0.240 -0. 66>0.5，所以中位數位于[36，42）。

設中位數為z，則0. 078+0.138+0. 204+（x -36）×0.04=0.5，解得x=38，故選C。

點評：問題情境是通過文字與符號的形式考查同學們“以生考熟”的轉化能力。

練習2：我國疫情基本得到控制，海外確診病例卻持續暴增，防疫物資供不應求。某醫療器械廠開足馬力，日夜生產防疫所需物品。質量檢驗員為了檢測生產線上零件的質量情況，從生產線上隨機抽取了50個零件進行測量，根據所測量的零件質量（單位：g），得到頻率分布直方圖（圖3）。

（1）根據頻率分布直方圖，求這50個零件質量的中位數（結果精確到0. 01）。

（2）若從這50個零件中質量位于[70.5，72.5）之外的零件中隨機抽取2個，求這2個零件中恰好有1個的質量在[72.5，73]內的概率。

（3）以各組數據的中間數值代表這組數據的平均水平，以頻率代表概率，已知這批零件有10 000個，某采購商提出兩種收購方案：

A.所有零件均以0.5元/g收購;

B.質量位于[71.0，72）的零件以40元/個收購，其他零件以30元/個收購。

請你通過計算為該廠選擇收益最好的方案。

解析：（1）零件質量位于[70.0，71.0）的頻率為（0. 08+0. 20）×0.5=0. 14。

零件質量位于[70.0，71.5）的頻率為（0. 08+0. 20+0. 76）×0.5=0. 52。

因為0. 14<0. 5<0. 52，所以這50個零件質量的中位數位于區間[71.O，71.5），設為x。

則0. 14+（z- 71）×0.76一0.5，解得x≈71. 47。

故這50個零件質量的中位數為71. 47。

（2）質量位于[70.O，70.5）的零件個數為50×0. 08×0.5=2。

質量位于[72.5，73. 0]的零件個數為50×0. 12×0.5=3。

故這2個零件中恰好有1個的質量在

3[72. 5，73]內的概率為。

（3）這組數據的平均數為：

（0. 08×70. 25+0.20×70. 75+0. 76×71. 25+0.68×71. 75+0.16×72. 25+0. 12×72. 75）×0.5=71. 5。

方案A：收益為10 000×71.5×0.5—357 500（元）;

質量位于[71.O，72）的零件個數為lO ooo×（0. 76+0. 68）×0.5=7 200。

質量位于[71.O，72）之外的零件個數為10 000-7 200-2 800。

方案B：收益為7 200×40+2 800×30=372 000（元）。

因357 500<372 000，故該廠選擇方案B。

三、考查概率的計算

例4按照四川省疫情防控的統一安排部署，國慶后繼續對某區12周歲及以上人群全面開展免費新冠疫苗接種工作。該區設置有A，B，C三個接種點位，每個市民需間隔28天后完成兩針的疫苗接種，每一針都可以隨機選擇去任何一個點位接種，則該區有接種意愿的某人，在同一接種點位完成兩針疫苗接種的概率是（ ）。

點評：本題以防疫中的疫苗接種為背景設置概率題，將“用頻率估計概率”的思想方法滲透其中，體現出數學源于生活又高于生活。

練習3：接種疫苗是預防控制新冠疫情最有效的方法。我國自2021年1月9日起實施全民免費接種新冠疫苗工作，截止到2021年5月底，國家已推出了三種新冠疫苗（腺病毒載體疫苗、新冠病毒滅活疫苗、重組新型冠狀病毒疫苗）供接種者選擇，每位接種者任選其中一種。若甲、乙、丙、丁4人去接種新冠疫苗，則恰有2人接種同一種疫苗的概率為（ ）。

A.4/9 B.9/16 c.2/3 D.8/9

解析：截止到2021年5月底，國家已推出了三種新冠疫苗供接種者選擇，每位接種者任選其中一種。

甲、乙、丙、丁4人去接種新冠疫苗，基本事件總數n=34=81。

恰有2人接種同一種疫苗包含的基本事件個數m =C4C1A2 =36。

則恰有2人接種同一種疫苗的概率P=m/n=4/9，選A。

四、考查統計案例

例5 （2021年湖南師大附中高三月考）新型冠狀病毒主要在人與人之間進行傳播，感染人群年齡大多數是50歲以上。該病毒進入人體后有潛伏期，潛伏期是指病原體侵人人體至最早出現臨床癥狀的這段時間。潛伏期越長，感染到他人的可能性越高。現對400個病例的潛伏期（單位：天）進行統計，統計發現潛伏期平均數為7.2，方差為2. 252。如果認為超過8天的潛伏期屬于“長潛伏期”，按照年齡統計樣本，就得到下面的列聯表（表1）。

（1）是否有95%的把握認為“長潛伏期”與年齡有關？

（2）假設潛伏期X服從正態分布N（μ，σ2），其中μ近似為樣本平均數x，σ2近似為樣本方差s-。

①現在很多省市對入境旅客一律要求隔離14天，請用概率的知識解釋其合理性;

②以題目中的樣本頻率估計概率，設1 000個病例中恰有k（k∈N*）個屬于“長潛伏期”的概率是P（k），當k為何值時，P（k）取得最大值？

點評：本題合理選用生活中的背景材料設置概率題，讓同學們容易接受，并快速進入答題狀態。

練習4：（2021年山東高三月考）2021年受疫情影響，國家鼓勵員工在工作地過年。某機構統計了某市5個地區的外來務工人員數與他們選擇留在當地過年的人數占比，得到如下的表格（表3）。

五、考查分布列與期望

例6接種新冠疫苗可以有效降低感染新冠肺炎的概率。某地區有A，B，C三種新冠疫苗可供居民接種。假設在某個時間段該地區集中接種第一針疫苗，而且這三種疫苗的供應都很充足。為了節省時間和維持良好的接種秩序，接種點設置了號碼機，號碼機可以隨機地產生A，B，C三種號碼（產生每個號碼的可能性都相等），前去接種第一針疫苗的居民先從號碼機上取一張號碼，然后去接種與號碼相對應的疫苗（例如：取到號碼A，就接種A種疫苗，以此類推）。若甲、乙、丙、丁4個人各自獨立地去接種第一針新冠疫苗。

（1）求這4個人中恰有1個人接種A種疫苗的概率;

（2）記甲、乙、丙、丁4個人中接種A種疫苗的人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望。

解析：（1）記4個人中恰有1個人接種A疫苗的事件為M。

點評：本題背景設置為接種新冠疫苗，是防疫工作的需要。教育部相關部門對高考命題提出了不少具體要求，其中強調要“加強情境創設”，并認為“情境是高考評價體系的載體”，情境題能更好地考查同學們的創新精神、實踐能力及同學們的核心素養，可見情境問題在高考中的重要地位。

練習5：在中國共產黨的堅強領導及全國人民的共同努力下，抗擊新冠肺炎疫情工作取得了全面勝利，但隨著復工復產的推進，某地的疫情出現了反彈，為了防止疫情蔓延，該地立即開展核酸檢測工作。為了提高檢測效率及降低醫耗成本，采用如下方式進行核酸檢測：采集5個人的咽拭子共同組成一個標本，對該標本進行檢測，若結果呈陽性，說明5個人中有疑似新冠肺炎感染者，則需要進行第二階段的檢測，到確定出疑似新冠肺炎感染者為止;若結果呈陰性，則無需再進行檢測。已知某個標本的檢測結果呈陽性且只有1人是疑似新冠肺炎感染者，現提供第二階段的兩種檢測方案。

方案甲：逐個檢測，到能確定出疑似新冠肺炎感染者為止。

方案乙：先任取3人的咽拭子共同組成一個標本進行檢測，若結果呈陽性則表明這3人中有1人是疑似新冠肺炎感染者，然后再逐個檢測，到能確定出疑似感染者為止;若結果呈陰性，則在另外2人中任取1人檢測，即可確定出疑似感染者。

（l）若ξ表示方案甲所需檢測的次數，求ξ的期望;

（2）以所需檢測次數作為決策依據，采用哪個方案效率更高？

解析：（1）方案甲化驗次數ξ的可能取值為1，2，3，4。