統計、概率中開放性問題分類例說

周曉娜

解決統計、概率中開放性問題的要點，主要有下面兩點：

1.用數據說話，要有相應的數據支撐，在陳述數據時，要計算事件發生的概率或者計算樣本均值等數據，不能只說結論;

2.表達要到位，陳述理由不要偏離主旨，要正確看待小概率事件發生的情況，最好不要從抽樣數據太少、實驗次數太少等非要點出發解題。

一、根據期望與方差解決問題

例1 （2021年江蘇高三模擬卷）某奶茶店推出一款新品奶茶，每杯成本4元，售價6元。如果當天賣不完，剩下的奶茶只能倒掉。奶茶店記錄了60天這款新品奶茶的日需求量，整理得表1。

以60天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率。

（1）從這60天中任取2天，求這2天的日需求量至少有一天為35杯的概率。

（2）①若奶茶店一天準備了35杯這款新品奶茶，用ξ表示當天銷售這款新品奶茶的利潤（單位：元），求ξ的分布列和數學期望;

②假設奶茶店每天準備的這款新品奶茶倍數都是5的倍數，有顧客建議店主每天準備40杯這款新品奶茶，你認為店主應該接受這個建議嗎，請說明理由。

分析：（1）利用對立事件概率及古典概型進行計算即可求得結果。

點評：本題的核心是利用利潤的計算方式將題目已知的奶茶日需求量轉化為奶茶店的利潤，同時利用古典概型的計算方式求出相應利潤的概率，進而可計算出利潤的數學期望。

二、根據概率解決問題

例2 （2021年福建龍巖市高三三模）甲、乙兩人進行對抗比賽，每場比賽均能分出勝負。已知本次比賽的主辦方提供8 000元獎金并規定：①若有人先贏4場，則先贏4場者獲得全部獎金同時比賽終止;②若無人先贏4場且比賽意外終止，則甲、乙便按照比賽繼續進行各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金。已知每場比賽甲贏的概率為p （0

（1）設每場比賽甲贏的概率為1/2，若比賽進行了5場，主辦方決定頒發獎金，求甲獲得獎金的分布列。

（2）現規定：若隨機事件發生的概率小于0. 05，則稱該隨機事件為小概率事件，我們可以認為該事件不可能發生，否則認為該事件有可能發生。若本次比賽p≥4/5，且在已進行的3場比賽中甲贏2場、乙贏1場，請判斷比賽繼續進行乙是否有贏得全部獎金的可能，并說明理由。

分析：（1）由甲、乙輸贏情況確定得獎金的情況，然后計算概率得分布列;

（2）比賽繼續進行Y場乙贏得全部獎金，則最后一場必然乙嬴，分類求得Y=3或Y=4的概率，得出乙贏得全部獎金的概率，利用導數求得最大值，可得結論。

解：（1）因為進行了5場比賽，所以甲、乙之間的輸贏情況有以下四種情況：甲贏4場，乙贏1場;甲贏3場，乙贏2場;甲贏2場，乙贏3場;甲贏1場，乙贏4場。

5場比賽不同的輸贏情況有C4+C5+C2+C1 =28（種）。

①若甲贏4場，乙贏1場，甲獲得全部獎金8 000元;

②若甲贏3場，乙贏2場，當比賽繼續下去甲贏得全部獎金的概率為1/2十1/2×1/2=3/4，所以甲分得6 000元獎金;

③若甲贏2場，乙贏3場，當比賽繼續下去甲贏得全部獎金的概率為1/2×1/2=1/4，所以甲分得2 000元獎金：

事件“乙贏得全部獎金”是小概率事件，所以認為比賽繼續進行乙不可能贏得全部獎金。

三、根據樣本估計解決問題

例3 （2020年新課標Ⅱ卷理數）某沙漠地區經過治理，生態系統得到很大改善，野生動物數量有所增加。為調查該地區某種野生動物的數量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法

（3）根據現有統計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區這種野生動物數量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由。

（3）由于各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數據的代表性，應采用分層抽樣。

先將植物覆蓋面積按優中差分成三層，在各層內按比例抽取樣本，在每層內用簡單隨機抽樣法抽取樣本即可。

點評：本題主要考查平均數的估計值、相關系數的計算以及抽樣方法的選取，考查同學們的數學運算能力，是一道容易題。