離散型隨機變量問題中的函數思想

林奕瑾

離散型隨機變量是概率統計中的難點，尤其是與函數思想結合在一起的時候。很多同學缺乏函數意識，不善于將出現的變量當成函數的自變量，轉化成函數問題，因此往往陷入思維停滯。下面舉例說明離散型隨機變量中函數思想的滲透以及應用問題。

例1 （2022屆深圳實驗學校、長沙一中聯考）高三（l）班共有50名同學，臨近元旦，大家希望能邀請數學張老師參加元旦文藝表演。張老師決定和同學們進行一個游戲，根據游戲的結果決定是否參與表演。游戲規則如下：班長先確定班上參與游戲的同學人數n（n>2）;每位同學手里均有n張除顏色外無其他區別的卡片;第k（k=l，2，3，…，n）位同學手中有k張紅色卡片，n-k張白色卡片;老師任選其中一名同學，并且從該同學的手中隨機連續取出兩張卡片，若第二次取出的卡片為白色，則學生獲勝，張老師同意參加文藝表演，否則，張老師將不參加文藝表演。

（1）若n-3，求張老師同意參加文藝表演的概率;

（2）若希望張老師參加文藝表演的可能最大，班長應該邀請多少名同學參與游戲？

分析：先讓我們研究當n-3時，“第二次取出的卡片為白色”這個事件的概率，我們不妨分別從三種情況作出分析。

解：（1）當n-3時，設選出的是第k（k=1，2，3）位同學，連續兩次卡片的方法數為3×2=6，第二次取出的是白色卡片的兩次抽取卡片的顏色有如下兩種情形：

白，白，取法數為（3-k） （3-k -1）;

紅，白，取法數為k（3-k）。

從而第二次取出的是白色卡片的種數為

例2 （2022屆廣州調研）某校開展“學習新中國史”的主題學習活動。為了調查學生對新中國史的了解情況，需要對學生進行答題測試。答題測試的規則如下：每名參與測試的同學最多有兩次答題機會，每次答一題，第一次答對，答題測試過關，得5分，停止答題測試;第一次答錯，繼續第二次答題，若答對，答題測試過關，得3分，若兩次均答錯，答題測試不過關，得0分。某班有12名同學參與測試，假設每名學生第一次和第二次答題答對的概率分別為m，0.5，兩次答題是否答對互不影響，每名學生答題測試過關的概率為p。

命題者在以上兩道考題的設計中，均有意在第一小題進行了鋪墊，先從研究某個變量的具體值對應的情況人手，再引導同學們進入變量的一般值對應的情況，即通過滲透函數思想來解決離散型隨機變量中的最值問題，值得同學們學習總結。