巧用涵數的性質求解不等式證明題

李鵬博

在證明不等式問題時，除構造特殊函數來證明外，還可以通過運用函數的性質來證明。這種思路主要是通過把看似離散的問題轉化為連續問題，利用函數在對應定義域內的單調性來證明不等式成立。下面舉例說明。

點評：以上兩種解法均是通過將多元函數轉換為一元函數來證明不等式。解法一中通過構造新的函數實現了多變量函數向單變量函數的轉化。解法二是通過構造新的變量來實現兩個變量轉化為單變量的，從而實現消元目的。

一般地，在不等式證明的過程中，主要的解題思路包括：（1）構造新的函數或者變量，首先要觀察所給不等式的特點，通過基本的運算來變換不等式的形式，采用變量替換等方式將多元函數進行降維處理，即轉化為一元函數這種簡單形式，這個過程本身就體現了“降維”的思想;（2）巧妙利用構造函數的基本性質，在基本變形處理后利用新構造的函數的性質對問題進行分析，通常利用對函數求導的方法，判斷函數在相應的定義域內的單調性，基于數形結合思想，對變量的基本屬性和特點進行初步判定;（3）善于運用等價處理化繁為簡，在不等式的證明過程中，由繁至簡的解題思想本質上就是將等價的公式寫出來，到等價為我們容易理解和接受的簡單形式為止，便于后續證明的開展，也有利于把握問題的本質，從而更好地解決問題。

（責任編輯 徐利杰）