非線性回歸問題求解例說

郭英秀

如果題目所給樣本點(diǎn)的分布不呈帶狀分布，即兩個變量不呈線性關(guān)系，就不能直接利用線性回歸方程建立兩個變量之間的關(guān)系。這時我們可以把散點(diǎn)圖和已經(jīng)學(xué)過的各種函數(shù)，如冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)等作比較，挑選出與這些散點(diǎn)擬合最好的函數(shù)，然后利用變量置換，把非線性回歸方程問題轉(zhuǎn)化為線性回歸方程問題來解決，這樣就可以利用線性回歸模型來建立y和x之間的非線性回歸方程了。

具體做法是：

（1）若問題中已給出經(jīng)驗公式，這時可以將變量x進(jìn)行置換（換元），將變量的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為線性回歸問題來解決;

（2）若問題中沒有給出經(jīng)驗公式，需要我們畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，通過與各種已知函數(shù)（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等）的圖像作比較，選擇一種與這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q，將問題化為線性回歸分析問題來解決。

例1 （2021年全國高三專題練習(xí)文數(shù)）人類已經(jīng)進(jìn)入大數(shù)據(jù)時代。目前，數(shù)據(jù)量級已經(jīng)從TB（ITB=1 024GB）級別躍升到PB（IPB=1 024TB），EB（lEB=1 024PB），乃至ZB（IZB=1 024EB）級別。國際數(shù)據(jù)公司（IDC）研究結(jié)果表明，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0. 49ZB，2009年的數(shù)據(jù)量為0.8ZB，2010年的數(shù)據(jù)量增長到1. 2ZB，2011年的數(shù)據(jù)量更是高達(dá)1. 82ZB。表1是國際數(shù)據(jù)公司（IDC）研究的全球近6年每年產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量（單位：ZB）及相關(guān)統(tǒng)計量的值。

點(diǎn)評：對于非線性回歸方程的求解，一般要結(jié)合題意進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為線性回歸方程來求解，同時也要注意相應(yīng)數(shù)據(jù)的變化。

例2 （2021年貴州理數(shù)）某二手車交易市場對2020年某品牌二手車的交易進(jìn)行了統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖（圖1）和散點(diǎn)圖（圖2）。用z表示該車的使用時間（單位：年），y表示其相應(yīng)的平均交易價格（單位：萬元）。

（l）已知2020年在此交易市場成交的該品牌二手車為100輛，求使用時間在[12，20]的車輛數(shù);

（2）由散點(diǎn)圖分析后，可用y-e kx+a作為此交易市場上該種車輛的平均交易價格y關(guān)于其使用時間x的回歸方程。

點(diǎn)評：本題求解回歸方程的關(guān)鍵是能夠通過取對數(shù)的方式將非線性的回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，利用最小二乘法求得線性回歸方程后，再變形得到所求回歸方程。

例3 （2021年陜西高三二模理數(shù)）為了迎接第十四屆全運(yùn)會，提高智慧城市水平，西安公交公司近期推出支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設(shè)置了一段時間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付。某線路公交車隊統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，z表示活動推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次（單位：十人次），統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表3所示。

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖（圖3）。

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，y—a+ bx與y -c.dx（c，d均為大于零的常數(shù)），哪一個適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動推出天數(shù)z的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）

（2）根據(jù)（l）的判斷結(jié)果及表3中的數(shù)據(jù)，建立y與x的回歸方程，并預(yù)測活動推蹦第8天使用掃碼支付的人次。

（3）推廣期結(jié)束后，車隊對乘客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如表4。

西安公交六公司車隊為緩解周邊居民出行壓力，以90萬元的單價購進(jìn)了一批新車，根據(jù)以往的經(jīng)驗可知，每輛車每個月的運(yùn)營成本約為0. 66萬元。已知該線路公交車票價為2元，使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠，使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠，根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果得知，使用掃碼支付的乘客中有1/6的概率享受7折優(yōu)惠，有÷的概率享受8折優(yōu)惠，有1/2的概率享受9折優(yōu)惠。預(yù)計該車隊每輛車每個月有2萬人次乘車，根據(jù)所給數(shù)據(jù)以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，在不考慮其他因素的條件下，按照上述收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，請您估計這批車輛需要幾年（結(jié)果取整數(shù)年）才能盈利。

參考數(shù)據(jù)如表5。

點(diǎn)評：本題考查非線性回歸相關(guān)問題的解法，解題的關(guān)鍵是能夠通過對指數(shù)型回歸方程左右同時取對數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性回歸的類型，從而利用最小二乘法求得線性回歸方程，最后得到非線性回歸方程。

（責(zé)任編輯徐利杰）