標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪輪齒任意點(diǎn)K 的齒厚計(jì)算

羅嘯峰

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院 智能制造學(xué)院，四川 遂寧 629000）

引言

齒輪傳動(dòng)是機(jī)械傳動(dòng)各種類型中最重要的傳動(dòng)形式[1]，應(yīng)用非常廣泛。齒輪傳動(dòng)的傳動(dòng)精確度高，適應(yīng)性廣，易于加工制造。與其他傳動(dòng)形式相比，齒輪傳動(dòng)具有的主要優(yōu)點(diǎn)有：第一，傳遞功率、速度的范圍大。圓周速度可達(dá)300m/s，轉(zhuǎn)速可達(dá)105r/min，傳遞功率可從小于1W 到106W，齒輪直徑可由1mm 到150m 左右，能適應(yīng)絕大多數(shù)工作場(chǎng)合下對(duì)傳動(dòng)速度及傳動(dòng)功率的不同要求；第二，傳動(dòng)比準(zhǔn)確，傳動(dòng)精度高。齒輪傳動(dòng)的傳動(dòng)比無論是平均值還是瞬時(shí)值，理論上能保持恒定不變，這也是齒輪傳動(dòng)獲得廣泛應(yīng)用的原因之一，傳動(dòng)過程中不存在彈性滑動(dòng)或打滑，工作可靠性高；第三，傳動(dòng)效率高，使用壽命長(zhǎng)，能適應(yīng)復(fù)雜工作條件的要求；第四，可傳遞空間任意夾角兩軸間的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力，占用空間小，結(jié)構(gòu)緊湊，可實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向改變和多級(jí)、多種傳動(dòng)比的靈活變化；第五，制造和安裝精度要求較高[2],與帶傳動(dòng)、鏈傳動(dòng)相比，齒輪的制造及安裝精度要求高，價(jià)格較貴；第六，不適宜用于兩軸間距離較大的傳動(dòng)。如圖1 所示。

圖1 齒輪傳動(dòng)示意圖

1 齒輪傳動(dòng)的基本要求

1.1 傳動(dòng)比要求

傳動(dòng)比恒定是對(duì)齒輪傳動(dòng)的一個(gè)重要要求。齒輪傳動(dòng)要求瞬時(shí)傳動(dòng)比必須保持恒定不變[3]，否則，當(dāng)主動(dòng)輪等角速度回轉(zhuǎn)時(shí)，從動(dòng)輪變速轉(zhuǎn)動(dòng)，從而產(chǎn)生慣性力。這種慣性力會(huì)引起機(jī)器的振動(dòng)和噪聲，影響其工作精度和使用壽命長(zhǎng)。而齒輪齒廓線采用漸開線，保證了傳動(dòng)比的恒定不變。如圖2 所示，外嚙合傳動(dòng)中，O1、O2分別為兩齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)中心，某瞬時(shí)兩齒廓在K 點(diǎn)處嚙合，兩齒輪運(yùn)動(dòng)時(shí)，必須滿足過嚙合點(diǎn)的公法線n—n上的分速度相等，否則將出現(xiàn)干涉或分離而不能傳動(dòng)[4]。

圖2 外齒傳動(dòng)嚙合點(diǎn)

上式表明，欲使齒輪保持恒定的傳動(dòng)比，無論兩齒廓在任何位置接觸，過接觸點(diǎn)處的齒廓公法線都必須與連心線交于一固定點(diǎn)，根據(jù)漸開線的性質(zhì)，漸開線上任意點(diǎn)的發(fā)生線，必與基圓相切，而該發(fā)生線為齒廓在該點(diǎn)處漸開線的法線。因此，當(dāng)兩齒輪安裝位置確定后，兩齒輪齒廓無論在何處嚙合，過嚙合點(diǎn)的公法線必與兩齒輪基圓相切，即任意點(diǎn)嚙合時(shí)的公法線是唯一的，與兩齒輪的連心線交于固定的點(diǎn)P。因此，齒輪傳動(dòng)能保證傳動(dòng)比為恒定值。

1.2 傳動(dòng)能力要求

在機(jī)械設(shè)施設(shè)備上，齒輪主要擔(dān)負(fù)著傳遞運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力的重要使命。因此，對(duì)齒輪的另一個(gè)重要要求，就是其傳動(dòng)能力。齒輪的傳動(dòng)能力，主要取決于齒輪的輪齒大小，即直接與齒輪的模數(shù)息息相關(guān)。在齒輪的承載能力設(shè)計(jì)時(shí)，齒輪的輪齒受載情況相當(dāng)于一個(gè)懸臂梁，其齒根處的彎矩最大，所以必須要能夠準(zhǔn)確計(jì)算其齒根厚度。

對(duì)齒輪的結(jié)構(gòu)及應(yīng)用的研究，一直以來都是非常廣泛而且深入的。齒輪的輪齒是齒輪傳動(dòng)中直接承受載荷的主體，其形狀與尺寸決定著齒輪的承載能力、強(qiáng)度計(jì)算和加工制造。在齒輪設(shè)計(jì)過程中，準(zhǔn)確計(jì)算齒輪任意位置齒厚，具有重要意義。在機(jī)械類專業(yè)高職教育教學(xué)過程中，有關(guān)齒輪基本尺寸計(jì)算，基本尺寸的最終結(jié)果化公式運(yùn)算，而這些公式的計(jì)算推導(dǎo)過程比較欠缺，為了使同學(xué)們懂得計(jì)算公式的來龍去脈，公式的推導(dǎo)過程還是很有必要的。因此，本文從基本原理上，重點(diǎn)講解標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪任意位置齒厚的計(jì)算推導(dǎo)過程。

2 齒輪各部分名稱和基本參數(shù)

2.1 漸開線直齒圓柱齒輪各部分名稱

如圖3 所示，齒輪齒頂所在的圓周，稱為齒頂圓；齒根所在的圓周，稱為齒根圓；齒輪上具有標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)和壓力角的位置所在的圓周，稱為分度圓，分度圓上的齒輪參數(shù)，是設(shè)計(jì)和計(jì)算齒輪基本尺寸的重要依據(jù)；齒輪上形成齒輪漸開線的圓周，稱為齒輪的基圓；分度圓到齒頂圓之間的徑向距離，稱為齒頂高；分度圓到齒根圓之間的徑向距離，稱為齒根高。

圖3 齒輪結(jié)構(gòu)示意圖

2.2 漸開線直齒圓柱齒輪的基本參數(shù)

在齒輪的圓周上，輪齒的數(shù)量稱為齒輪的齒數(shù)，用字母符號(hào)z表示；為了計(jì)算的方便，將齒輪的齒距π等分并規(guī)定為簡(jiǎn)單的有理數(shù)，稱為齒輪的模數(shù)，用字母符號(hào)m表示；齒輪分度圓上，法向壓力的方向與該點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度方向之間的夾角，稱為壓力角，用符號(hào)α表示，我國(guó)規(guī)定標(biāo)準(zhǔn)壓力角α= 20°。

由此，齒輪分度圓直徑d=mz，基圓直徑db=mzcosα，可見，當(dāng)齒輪的m、z、α都確定時(shí)，齒輪的基圓直徑和漸開線形狀才確定下來，所以通常稱齒輪的模數(shù)、齒數(shù)和壓力角為齒輪的三大主參數(shù)。

工業(yè)生產(chǎn)中，齒輪的模數(shù)已形成標(biāo)準(zhǔn)系列，分第一系列和第二系列，選用時(shí)一般優(yōu)先選用第一系列。齒輪模數(shù)如表1 所示。

表1 漸開線標(biāo)準(zhǔn)圓柱齒輪模數(shù)

3 基圓齒厚的推導(dǎo)計(jì)算

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪，相鄰兩齒同側(cè)齒廓在分度圓上的圓弧線長(zhǎng)度，稱為齒輪分度圓齒距，簡(jiǎn)稱齒輪齒距，用P 表示。當(dāng)直齒圓柱齒輪的齒數(shù)為Z 時(shí)，在分度圓周上，就有Z 個(gè)齒距P，即有：

在標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪上，分度圓齒距P 等于分度圓齒厚S 加上齒槽寬e，而分度圓上的齒厚S等于齒槽寬e，因此有：

對(duì)于同一個(gè)齒輪，齒輪輪齒不同部位的齒距是不同的，齒頂圓上的齒距最大，齒根圓上的齒距最小，從齒輪的齒頂圓到齒根圓，齒距大小逐漸減小；從齒輪的齒頂圓到齒根圓，齒厚由小逐漸增大，而齒槽寬由大逐漸減小，在分度圓上齒厚等于齒槽寬。

如圖4 所示，取齒輪的一個(gè)完整齒形，分度圓與輪齒左右齒廓交于B、G 兩點(diǎn)，D 為分度圓弧BG 的中點(diǎn)，基圓與左側(cè)齒廓漸開線交于點(diǎn)C，輪齒對(duì)稱線交基園于點(diǎn)E，B 點(diǎn)漸開線的法向壓力作用線與基圓相切于A 點(diǎn)。根據(jù)漸開線性質(zhì)∠BOA=α=20°,圓弧BD 對(duì)應(yīng)的圓心角設(shè)為γ，基圓弧AE 對(duì)應(yīng)圓心角設(shè)為β，輪齒左側(cè)漸開線D 點(diǎn)處的展角為θ，設(shè)齒輪的模數(shù)為m,齒數(shù)為z，分度圓壓力角為α。分度圓齒厚即為BG 兩點(diǎn)間分度圓弧長(zhǎng)，根據(jù)齒輪基本尺寸計(jì)算公式：

圖4 齒形結(jié)構(gòu)

由漸開線的形成及特性可知，發(fā)生線沿基圓滾過的長(zhǎng)度，等于該基圓上被滾過的弧長(zhǎng)[6]。

輪齒左側(cè)漸開線與基圓交點(diǎn)為C，BD 段圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為γ，圓弧AE 對(duì)應(yīng)的圓心角為β，分度圓B 點(diǎn)的展角為θ。

4 漸開線函數(shù)

在（1）式中，tanα-α 與分度圓上漸開線的展角θ 有關(guān)。

在半徑為rb的基圓上，發(fā)生線繞基圓作純滾動(dòng)，其切點(diǎn)由A 滾動(dòng)到B 點(diǎn)時(shí)，發(fā)生線上與A 點(diǎn)相切的點(diǎn)，從A 點(diǎn)展開到K 點(diǎn)，如圖5 所示。設(shè)半徑為rb的基圓上漸開線任意點(diǎn)K 的展開角為θk，根據(jù)漸開線形成的基本性質(zhì)，發(fā)生線BK 的直線長(zhǎng)度等于基圓上被滾過的弧長(zhǎng)AB，即：

圖5 基圖漸開線

由此可得分度圓展角方程為：

將展角方程代入（1）式，可得：

5 漸開線齒廓任意點(diǎn)K 處齒厚

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪，由分度圓齒厚可推出基圓齒厚，在已知基圓齒厚的基礎(chǔ)上，又可以推導(dǎo)出漸開線任意圓周上齒厚的計(jì)算公式。

如圖6 所示，漸開線上任意點(diǎn)K 所在圓周與齒廓交于K、D 兩點(diǎn)，K 點(diǎn)壓力角為αk，半徑為RK,K 點(diǎn)展角為:

圖6 漸形線上任意K 點(diǎn)

基圓齒厚所對(duì)應(yīng)的圓心角假設(shè)為γ（弧度）

標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪漸開線任意點(diǎn)K 處的齒厚SK為：

6 齒根圓上齒厚分析

在標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪上，齒根圓直徑為：

而齒輪基圓直徑為：

設(shè)分度圓到基圓之間的徑向距離為hb，命名為齒基高，則：

由上式可見，在標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪的模數(shù)一定時(shí)，齒基高與齒輪的齒數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)壓力角有關(guān)，取標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪分度圓壓力角為標(biāo)準(zhǔn)值20°時(shí)，可求解出齒基高大于等于齒根高時(shí)齒輪的齒數(shù)為：

所以，當(dāng)齒輪的齒數(shù)取42 個(gè)齒以上時(shí)，齒基高大于齒根高，即基圓直徑小于齒根圓直徑，此時(shí)，齒輪齒廓全齒高齒廓線皆為漸開線，齒根圓上的齒厚是可以計(jì)算的。

如圖7 所示，虛擬漸開線齒廓由基圓上B 點(diǎn)開始展開到齒根圓上A 點(diǎn)，齒根圓上A 點(diǎn)的漸開線發(fā)生線為AN，等于基圓上被滾過的弧長(zhǎng)BN，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪齒根圓上的壓力角為αf，則角∠AON=αf，設(shè)齒根圓對(duì)應(yīng)圓心角的一半為β，基圓對(duì)應(yīng)的圓心角為γ，漸開線A 點(diǎn)的展角為θK，首先推導(dǎo)出齒根圓上的展角方程，即：

圖7 虛擬漸開線齒廓

所以，齒根圓上的展角方程為：

齒根圓對(duì)應(yīng)的圓心角可計(jì)算如下：

由前述推導(dǎo)可知：

在標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪上，齒根圓的齒厚設(shè)為Sf，則有：

所以，齒根圓上齒厚計(jì)算公式為：

由圖6 可知：

在直齒圓柱齒輪齒根彎曲強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，彎曲強(qiáng)度取決于齒根處的齒厚。在設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)，一對(duì)嚙合的齒輪，由于小齒輪的應(yīng)力循環(huán)次數(shù)較多，齒根部位相對(duì)強(qiáng)度較弱，通常小齒輪在材料及熱處理方法選擇時(shí)，取齒面硬度比大齒輪高30～50HB，為了便于加工和裝配，小齒輪齒寬比大齒輪大5～10mm。由漸開線的性質(zhì)可知，基園以內(nèi)無漸開線。而對(duì)于齒數(shù)較少的直齒圓柱齒輪，齒根小于基圓，因此，在齒輪的基與齒根之間的齒廓線，不是漸開線，是由切削刀具頂端切出的過渡曲線，在齒輪嚙合傳動(dòng)時(shí)，該段過渡曲線基本不參與嚙合，而是形成頂隙，起到防止齒頂卡住和儲(chǔ)存潤(rùn)滑油的作用[7]。在一般的齒輪傳動(dòng)設(shè)計(jì)中，小齒輪的齒數(shù)通常小于40 個(gè)齒，所以，靠近齒根處的齒廓線一般不是標(biāo)準(zhǔn)漸開線，其齒根處齒厚不易準(zhǔn)確確定。鑒于此，當(dāng)齒輪直徑較小時(shí)，其危險(xiǎn)截面位置通常采用拋物線法和30°切線法確定，從而推導(dǎo)出了其成熟的計(jì)算公式。

7 輪齒不同位置齒厚比較

根據(jù)本文前述推導(dǎo)公式，可計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪不同位置齒厚，以比較其變化關(guān)系和作為設(shè)計(jì)計(jì)算的參考。下面以齒輪模數(shù)為3，標(biāo)準(zhǔn)壓力角為20°時(shí)，取不同齒數(shù)計(jì)算各位置處的齒厚，如表2 所示。

表2 m=3 時(shí)，各位置齒厚的對(duì)照表

由對(duì)照表可分析出，對(duì)于分度圓上同一模數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)壓力角而不同齒數(shù)的齒輪，在同一位置處（分度圓除外），其齒厚隨齒數(shù)的增加而增大；對(duì)同一模數(shù)和齒數(shù)的齒輪，其不同位置齒厚，由齒頂向齒根方向逐漸增大[8]。

8 結(jié)語(yǔ)

在機(jī)械類專業(yè)高職教育教學(xué)過程中，有關(guān)齒輪基本尺寸計(jì)算，主要講解了分度圓齒厚的計(jì)算公式，而在例如公法線長(zhǎng)度計(jì)算公式中，又涉及到了基圓齒厚，如下式，K 為跨齒數(shù)。

當(dāng)跨過K 個(gè)齒測(cè)量時(shí)，公法線長(zhǎng)度為K-1 個(gè)基圓齒距加上一個(gè)基圓齒厚。同時(shí)，針對(duì)齒厚的計(jì)算，也是齒輪承載能力設(shè)計(jì)計(jì)算的參考依據(jù)。因此，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪任意點(diǎn)的齒厚計(jì)算式的推導(dǎo)，以及進(jìn)一步的把握和應(yīng)用，具有重要意義。