功能梯度材料明德林矩形微板的熱彈性阻尼1)

2022-07-10 13:13:18李世榮

力學學報 2022年6期

關鍵詞：振動

李世榮

(南通理工學院土木工程系,江蘇南通 226002)

(揚州大學建筑科學與工程學院,江蘇揚州 225127)

引言

諧振器作為微/納電機系統中的重要器件被廣泛用作傳感器、驅動器、陀螺儀、能量收集器、頻率控制器、邏輯開關等.而大多數諧振器的力學模型可以簡化為彈性微梁或微板結構.高性能的微/納電機系統需要諧振器在工作時具有低耗能或高品質因子的優點.然而,諧振器在工作中不可避免地存在各種耗能機制.例如熱彈性阻尼或內摩擦[1]就是一種主要的內耗能機制.熱彈性阻尼是結構在一個振動周期內材料內部的熱彈性耦合變形引起的內部能耗,它不能通過外部條件的改善而消除.因此,熱彈性阻尼有時將會成為微電機系統的主要能耗形式.因此,精確地分析和預測熱彈性阻尼對高品質微/納諧振器的研究和設計具有重要意義.

Zener[1]首先采用能量方法和單向耦合的熱傳導方程給出了細長矩形截面微梁諧振器的逆品質因子解析解.Bishop 和 Kinra[2-3]首先把Zener[1]關于均勻材料微梁諧振器熱彈性阻尼分析的能量法推廣到了具有非完善界面復合材料層合微納梁/板諧振器的熱彈性阻尼研究,并通過計算一個振動周期內由不可逆傳熱產生的總熱量與彈性總彈性勢能之比給出了微層合結構的逆品質因子的解析解.與上述能量法不同,Lifshitz 和Roukes[4]通過聯立求解單向耦合的結構振動方程和熱傳導方程獲得了細長微梁熱彈耦合自由振動的復頻率,首次采用復頻率法獲得了微梁諧振器熱彈性阻尼的解析解.此后,能量法[1-3]和復頻率法[4]則被廣泛地應用于微/納諧振器熱彈性阻尼的理論分析和求解中.研究者們采用不同的結構變形理論、不同熱傳導理論和不同的求解方法開展了不同結構形式的微/納諧振器熱彈性阻尼的理論研究.其中,許多工作是關于微板諧振器的熱彈性耦合振動及其熱彈性阻尼的理論研究[5-26].

在已有關于微板諧振器熱彈性阻尼的理論研究中,結構振動方程幾乎都是基于經典板理論,即基爾霍夫(Kirchhoff) 薄板理論建立的[5-12,4-23].考慮材料性質為均勻、各向同性的情況,采用復頻率法,文獻[5-9]分別求得了矩形和圓(環)形微板諧振器熱彈性阻尼的解析解,分析了靜電載荷和殘余應力、邊界條件、幾何尺寸以及非線性幾何變形對熱彈性阻尼的影響規律.Li 等[10]、Fang 等[11-12]分別基于一維、二維和三維熱傳導理論建立了微板單向耦合的熱傳導數學模型,并采用能量法求得了矩形和圓形薄板諧振器的熱彈性阻尼.最近,基于考慮橫向剪切變形的明德林(Mindlin)板理論,馬航空等[13]首次給出了四邊簡支中厚度矩形微板熱彈性阻尼的解析解.研究發現隨著微板厚度的增大,明德林微板的熱彈性阻尼最大值單調減小,而基爾霍夫微板的熱彈性阻尼峰值卻保持不變.

考慮熱傳導過程中溫度與熱流運動間的延滯效應(或波動效應),部分作者[14-16]還利用廣義熱傳導理論研究了微板諧振器的熱彈性耦合振動響應.例如,文獻[14-15]基于Lord-Shulman 熱傳導理論求得了微板諧振器熱彈性阻尼解析解,分析了延滯時間參數和孔隙率變化對熱彈性阻尼的影響.Guo 等[16]采用雙向延滯廣義熱傳導模型研究了圓板諧振器的熱彈性阻尼.Grover[17]采用Kelvin-Voigt 材料模型下的廣義熱黏彈性理論研究了均勻微圓板諧振器的熱彈性阻尼.最新的研究成果還包括:Ghugh 和Partap[18]在微板的熱彈性耦合振動模型建立中同時考慮了熱松弛和微拉伸 (micro stretch) 效應,研究結果表明微拉伸增強了微板熱彈性阻尼的臨界值;Wang 和 Li[19]綜合考慮微板的尺度效應、熱流矢量的延滯效應、非局部效應以及記憶效應,分別采用復頻率法和能量法求得了基爾霍夫板理論熱彈性阻尼的解析解.通過大量的數值結果詳細地分析了微結構的尺度參數、熱松弛時間參數以及邊界條件對熱彈性阻尼的影響規律.

針對材料性質沿單軸方向的階梯式變化,部分作者研究了由不同均勻材料分層組成的層合微板的熱彈性阻尼特性.Sun 等[20]采用復頻率法研究了對稱鋪設的三層微圓板橫向軸對稱振動下的熱彈性阻尼.采用文獻[3]中的方法,忽略溫度梯度在面內的變化,Zuo 等[21-22]分別研究了雙層和三層微板的熱彈性阻尼,發現隨頻率的變化熱彈性阻尼會有多個峰值出現.Liu 等[23-24]采用格林函數法分別求解了二維和三維熱傳導方程,利用能量法獲得了雙層微圓板和非對稱鋪設三層矩形微板熱彈性阻尼的級數形式解析解.然而,為了消去結構振動方程中的拉?彎耦合項,文獻[20-24]都不約而同地采用了物理中面法將幾何中面的面內位移用撓度來表示,從而大大簡化了在數學上的求解難度.但是,在材料性質變化關于幾何中面不對稱的情況下,熱?彈耦合振動不但會產生熱彎矩,還會產生熱薄膜力.而他們在簡化中完全忽略了熱薄膜力對熱彈性阻尼的貢獻.

考慮材料性質沿著厚度連續變化,最近亦有少數作者研究了功能梯度材料微板的熱彈性阻尼[25-27].基于一階剪切變形理論和應變梯度理論,文獻[25]研究了材料性質沿橫向冪函數變化的功能梯度微板的熱彈性阻尼.應用泰勒級數展開方法,獲得了變系數熱傳導方程的級數形式的解析解,進而獲得了四邊簡支功能梯度中厚度矩形板的熱彈性阻尼.基于基爾霍夫經典板理論和準一維熱傳導理論,Li 等采用解析方法研究了功能梯度圓形微板[26]和矩形微板[27]的熱?彈耦合自由振動響應,并成功地將分層均勻化方法應用于復雜變系數熱傳導方程的求解.獲得了材料性質沿厚度按冪函數變化的功能梯度微板的熱彈性阻尼解析解.首次定量地分析了熱薄膜力對熱彈性阻尼的影響程度.

本文擬在前期工作[13,27]的基礎上進一步研究橫向剪切變形對功能梯度中厚度微板熱彈性阻尼的影響規律.基于明德林板理論和單向耦合的準一維熱傳導理論建立材料性質沿厚度連續變化的功能梯度矩形微板熱?彈耦合自由振動數學模型.采用分層均勻化方法求解復雜變系數熱傳導微分方程,利用結構振動特征值問題在數學上的相似性求得用基爾霍夫均勻微板的無阻尼固有頻率表示的四邊簡支功能梯度材料微板的復頻率,進而采用復頻率法提取表征熱彈性阻尼的逆品質因子.最后,以材料性質按照冪函數變化的兩種陶瓷?金屬 (Al-SiC 和 Ni-Si3N4) 功能梯度微板為例,給出熱彈性阻尼的數值結果,定量分析剪切變形、梯度指數以及幾何尺寸對熱彈性阻尼的影響規律.

1 問題的控制方程

1.1 運動方程

圖1 為微板的幾何尺寸和坐標示意圖,基于明德林板理論[13,25,28],可給出下列功能梯度中厚度板的位移場

圖1 微板的幾何尺寸和坐標示意圖Fig.1 Schematic illustration of micro plate and the coordinate system

其中,t為時間;u0,v0和w0分別為幾何中面上一點分別在x,y和z方向的位移分量;φx和 φy為中面法線分別繞y軸和x軸的轉角.

根據彈性力學的幾何方程可得微板的應變場

對于線彈性材料由胡克定律可得到應力分量

其中,θ (x,y,z,t)=T(x,y,z,t)?T0為變溫場,是由熱?彈耦合振動產生的;T為瞬態溫度,T0為初始溫度;E,ν 和 α 分別為彈性模量、泊松比和熱膨脹系數,它們都是坐標z的函數.由于功能梯度板的泊松比通常相比其他材料參數變化很小,為了后面方便計算,將其看作常數(取組分材料的平均值).

板的運動方程可用等效內力和內力矩表示為[13,27]

其中Ii為等效慣性參數,具體表示為

ρ為板的質量密度.式(4)～式(8)中的等效內力和內力矩分別定義為

其中ks=5/6 為剪切修正系數.

將式(2)、式(3)代入式(10),可得用位移分量表示的等效內力和彎矩

其中NT和MT分別為熱薄膜力和熱彎矩,其定義為

方程(11)中的剛度系數由下式給出

將式(11)代入式(4)～式(8)可得用位移表示的運動方程.這是包含5 個基本未知函數的相互耦合的偏微分方程組,其中還包含由溫度場來確定的熱薄膜力和熱彎矩.因此,聯立求解這些微分方程在數學上是很困難的.本文通過消去面內位移和轉角,最終將5 個方程轉化為只用撓度表示的運動方程.首先將式(11a)～ (11c) 分別代入式(4)和式(5),并分別對兩式關于坐標x和y求偏導數后相加,利用式(13)可得

類似地將式(11d)～ (11f)代入式(6)和式(7),利用式(8)可得

利用式(11g)和(11 h)可得方程(8)的位移形式

最后,將式(14)代入式(16),忽略面內應變 ε0的慣性項,并利用式(17)可得只用橫向位移w表示的運動方程

上式中熱彎矩和熱薄膜力由熱?彈耦合產生的變溫場確定.

1.2 熱傳導方程

根據單向耦合的熱彈性動力學理論,可給出功能梯度微板的熱傳導方程[27]

其中,k,C分別是熱傳導系數和比熱,它們都是坐標z的已知函數;e是體積應變.板的體積應變可表示為

將上式代入式(20),并考慮到板內溫度改變主要是由橫向振動引起的,因此,為了方便求解可忽略溫度場在面內梯度變化,可得單相耦合的準一維熱傳導方程[13,27]

2 熱彈性阻尼的求解

2.1 自由振動響應

假設位移場和溫度場的動態響應同步,則系統的熱?彈耦合自由振動響應可表示為下列調和形式

這時振動方程(28)中沒有熱薄膜力,熱傳導方程(29)中的系數是常數,于是可容易得到其解析通解[13].

2.2 熱傳導方程的求解

利用文獻[26-27,29]中的分層均勻化方法將功能梯度材料微板沿板厚平均劃分為N層子區域,當分層數足夠大時每層的材料性質可近似看作均勻的.這樣,就可以將變系數微分方程(25)轉化為分別定義在各分層上的一系列常系數的微分方程組

其中

考慮上下表面為絕熱的功能梯度微板,溫度邊界條件以及層間界面處連續性條件可分別表示為

分析式(31)和齊次邊界及連續性條件式(33),系數Aj和Bj可表示為

2.3 熱彈性阻尼

熱彈性阻尼要從振動方程(24)在給定邊界條件下的復頻率中提取.而要求解結構自由振動響應,就需要將方程(24)中的熱薄膜力和熱彎矩用撓度表示.為此,先將式(23)代入式(14),忽略關于中面應變 ε0的慣性力可得

再將式(35)代入式(27)積分可得

將式(23)代入式(17)可得

最后,將式(40b)、式(40c)和式(42)代入方程(24)可得以撓度的振幅表示的功能梯度明德林微板的結構振動方程

微分方程(43)可以寫成標準形式

等溫的均勻基爾霍夫微板的自由振動方程可以表示為[27]

考慮邊界條件為周邊簡支,則方程(47)的邊界條件可表示為

可以證明(見附錄A),方程(45)在四邊簡支約束下的邊界條件也可表示為

從而,由微分方程邊值問題式(45)、式(49) 與式(47)、式(48)在數學上的相似性,可得它們特征值之間的關系

將式(46)代入式(50),可得關于固有頻率代數方程

最后,采用復頻率法可得用逆品質因子表示的微板的熱彈性阻尼

其中 R e(ω) 和 I m(ω) 分別是復頻率的實部和虛部.

3 數值結果與討論

數值計算時分別選取Ni-Si3N4和Al-SiC 兩種由金屬和陶瓷組分相復合而成的功能梯度微板.在表1 中列出了上述四種均勻組分材料在室溫T0=300 K 下的物性參數.假設材料體積分數在厚度方向按冪函數連續變化,則等效材料性質參數可由混合律給出[26-29]

表1 功能梯度微板組分材料的物性參數值 (T0=300 K)[24,26]Table 1 Values of the parameters of the material properties of the constituents of FGM micro plate (T0=300 K) [24,26]

其中,n≥0 表示材料性質梯度變化指數;Pc和Pm分別表示純陶瓷和純金屬材料的物性參數.在計算中選擇金屬板為參考均勻板.將式(54)分別代入式(9)、式(13) 可計算出剛度系數和慣性參數.將式(54)代入式(30)可得各分層內的常系數熱傳導方程.

關于分層均勻化方法的收斂性已在前期研究中[26-27,29]給以了檢驗和討論.在后面的數值計算中取分層數N=500,這已達到非常高的精度.

首先,在n=0 的特殊情況下,表2 中給出了純陶瓷(Si3N4)明德林正方形微板在不同振動模態和邊厚比(a/h)下的熱彈性阻尼值.并與相應基爾霍夫微板的結果進行了比較.由此可見,隨著板厚和模態階數的增加,兩種板理論預測的熱彈性阻尼之間的相對誤差變大.在a/h=10 時,最大誤差達到了10%.進一步在表3 中給出了具有不同梯度變化指數和不同邊厚比的功能梯度(Ni-Si3N4)正方形微板(h=1 μm)在基頻振動時的熱彈性阻尼值.從兩種板理論的預測結果比較可見,隨著金屬組分的增加,兩種理論預測的值相對誤差隨之增大.上述數值結果定量地表明,隨著板厚的增大剪切變形對熱彈性阻尼的影響變得顯著.

表3 兩種板理論下功能梯度正方形微板的熱彈性阻尼 (Q?1×104) 比較 (h=1 μm,一階模態)Table 3 Comparison of TED (Q?1×104) in an FGM (Ni-Si3N4) square plate based on the two plate theories (h=1 μm,1st mode)

Err=×100%

為了更進一步考查剪切變形對熱彈性阻尼的影響,在圖2 中給出了不同邊厚比對應的功能梯度正方形微板(Ni-Si3N4)的熱彈性阻尼隨著板厚連續變化的特性曲線.圖中結果再次表明剪切變形對中厚板和厚板的影響顯著.但是,在a=30h時兩種板理論的預測值已經非常接近.這說明對于薄板,基爾霍夫板理論已給出十分滿意的解答.

圖2 具有不同邊厚比 a/h 的功能梯度(Ni-Si3N4)微板的熱彈性阻尼與板厚 h 的關系曲線(一階模態)Fig.2 Curves of TED versus the plate thickness h of FGM (Ni-Si3N4) micro plate with different side-to-thickness ratio a/h (1st mode)

圖3 中給出了邊長為a=100 μm 的功能梯度(Al-SiC)正方形微板的熱彈性阻尼隨著材料性質梯度變化指數和板厚尺寸的變化規律.在厚度h<6 μm時,熱彈性阻尼隨著指數的增大(金屬組分增加)先增大后減小,有峰值出現;當h>6 μm 后熱彈性阻尼則為單調遞增的.這種熱彈性阻尼隨指數增大在一定范圍內發生的非單調性是由于材料性質非均勻性在這部分區間的急劇變化而引起的復雜熱?彈耦合振動引起的.從圖中可見,極大值發生在材料性質梯度變化最劇烈的區間內.這一結果也和所選取的兩種組分材料的性質有關.對于Ni-Si3N4組分材料,由文獻[27]中的結果可知在板很薄時熱彈性阻尼隨梯度指數增加會出現極小值.由此可見,材料性質的非均勻性以及組份材料的物性參數不同會導致這種復雜的熱?彈耦合振動效應.由此可見非均勻材料諧振器熱?彈耦合振動響應的復雜性.

圖3 具有不同厚度的功能梯度 (Al-SiC) 正方形微板的熱彈性阻 Q ?1 尼與梯度指數 n 間的變化曲線(a=b=100 μm)Fig.3 Curves of TED Q ?1 versus the gradient index n of an FGM (Al-SiC) micro square plate with different values of the thickness (a=b=100 μm)

圖4 中繪出了具有不同材料梯度指數的正方形微板(a=b=100 μm) 的熱彈性阻尼隨著板厚的連續變化的特性曲線.結果表明,熱彈性阻尼隨著厚度的增大先單調增加,達到極大值后單調減小.但是,對于兩種不同組分材料的微板,熱彈性阻尼極大值的變化規律并不相同.Ni-Si3N4微板的熱彈性阻尼最大值隨梯度指數增大單調增加,而Al-AiC 微板的熱彈性阻尼的最大值的變化卻并非單調.為了更加清晰地顯示這種變化規律,圖5 給出兩種微板的最大熱彈性阻尼與梯度指數n的連續變化曲線.圖中可見,同等條件下Al-SiC 微板的?h曲線是局部非單調的.

圖4 具有不同梯度指數的功能梯度正方形微板的熱彈性阻尼與板厚之間的關系曲線(a=b=100 μm)Fig.4 Curves of TED versus the plate thickness of an FGM square micro plate with different values of the gradient index (a=b=100 μm)

圖5 正方形功能梯度微板的最大熱彈性阻尼值隨材料梯度指數變化的特性曲線Fig.5 Characteristic curves of the maximum TED versus the material gradient index of FGM rectangular micro plate

圖6 中給出了對應不同長寬比 (a/b) 的功能梯度 (Ai-SiC) 矩形微板在兩種板理論下的熱彈性阻尼隨板厚的變化曲線.結果表明,長度固定后隨著寬度的減小,基爾霍夫微板的熱彈性阻尼的峰值保持不變,而明德林微板的峰值有所減小.然而,使得熱彈性阻尼取得峰值的臨界厚度hcr隨著長寬比的增大而減小.

為了反映振動模態對熱彈性阻尼的影響規律,圖7 給出了梯度指數n=0.5 的功能梯度 (Al-SiC) 正方形微板分別以四前階模態振動時的熱彈性阻尼與厚度關系曲線.其中的變化特性與圖6 類似.結果表明,微板抗彎剛度的增大(長度給定,寬度減小;振動模態階數增大) 對熱彈性阻尼的峰值影響甚微,但是對臨界厚度的影響顯著.

圖6 不同長寬比的FGM (Al-SiC)矩形微板的TED 隨板厚變化的特性曲線(n=0.5, a=100 μm)Fig.6 Curves of the TED versus the plate thickness of an FGM(Al-SiC) rectangular micro plate with different length-to-wideness ratio (n=0.5, a=100 μm)

圖7 對應不同振動模態的FGM (Al-SiC)正方形微板的熱彈性阻尼隨板厚變化的特性曲線(n=0.5, a=b=100 μm)Fig.7 TED versus of the plate thickness of an FGM (Al-SiC) square micro plate corresponding to different vibration modes(n=0.5, a=b=100 μm)

4 結論

基于明德林一階剪切變形板理論和準一維單向耦合的熱傳導理論建立了材料性質沿厚度按連續變化的功能梯度矩形微板熱?彈性耦合自由振動控制微分方程.采用分層均勻化方法求得了復雜變系數熱傳導方程半解析解.在四邊簡支邊界條件,利用結構振動微分方程邊值問題的相似性,獲得了用相同尺寸和邊界條件的參考均勻無阻尼基爾霍夫微板的固有頻率表示的功能梯度明德林微板的復頻率,從而由復頻率法求得了代表熱彈性阻尼的逆品質因子半解析解.通過數值算例定量地分析了材料梯度變化指數、組份材料物性參數、幾何尺寸以及振動模態對功能梯度微板熱彈性阻尼的影響規律.通過與基爾霍夫薄板理論的預測結果進比較,定量地分析了剪切變形對熱彈性阻尼的影響程度.結果表明,基爾霍夫板理論預測的熱彈性阻尼值大于明德林板理論的預測值.而且隨著板厚的增大二者的差別逐漸變得顯著.兩種理論預測的熱彈性阻尼隨梯度指數和板厚的變化趨勢是相同的.

附錄

考慮簡支邊界條件,在x=0,a處有