準(zhǔn)脆性材料抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型1)

劉小宇 楊 政 張慧梅

* (西安科技大學(xué)理學(xué)院,西安 710600)

? (西安交通大學(xué)人居環(huán)境與建筑工程學(xué)院,西安 710049)

引言

作為一個眾所周知的現(xiàn)象,不同尺寸巖石、混凝土等準(zhǔn)脆性材料力學(xué)性能試驗中可以廣泛觀察到尺寸效應(yīng),并且大量單軸壓縮試驗結(jié)果表明:準(zhǔn)脆性材料的強度隨試樣尺寸的增大而減小,即“下降尺寸效應(yīng)”[1-4].然而,當(dāng)試樣尺寸減小到一個臨界值時,單軸壓縮試驗發(fā)現(xiàn) “下降尺寸效應(yīng)”被打破,材料強度開始隨著試樣尺寸增大而增大,出現(xiàn)“上升尺寸效應(yīng)”現(xiàn)象[5-9].這意味著試驗室小尺寸試樣測試獲得的強度不能直接應(yīng)用于預(yù)測大型結(jié)構(gòu)的強度,而需要借助理論模型把小尺寸試樣強度外推到實際工程大尺寸結(jié)構(gòu)的強度,因此,研究者提出各種模型去描述準(zhǔn)脆性材料強度的尺寸效應(yīng).

Weibull 基于最弱鏈理論最早提出統(tǒng)計尺寸效應(yīng)理論,并廣泛應(yīng)用于描述材料力學(xué)參數(shù)的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象,但最弱鏈理論假設(shè)每個微單元失效獨立,當(dāng)一個微單元達(dá)到隨機強度時結(jié)構(gòu)破壞,即為脆性破壞.然而,準(zhǔn)脆性材料內(nèi)部含有大量缺陷,材料或結(jié)構(gòu)的微觀破壞一般始于最弱缺陷部位,然后微裂紋逐漸發(fā)展為斷裂過程區(qū),只有當(dāng)斷裂過程區(qū)發(fā)展到一定程度時,材料或結(jié)構(gòu)才會出現(xiàn)宏觀破壞.這種裂縫穩(wěn)定增長的過程能夠引發(fā)材料或結(jié)構(gòu)內(nèi)部應(yīng)力重分布和內(nèi)部儲存能量釋放,其產(chǎn)生的確定性尺寸效應(yīng)比強度隨機性產(chǎn)生的統(tǒng)計尺寸效應(yīng)更為明顯.為反映確定性尺寸效應(yīng),Bazant 團隊[10-11]通過考慮準(zhǔn)脆性材料損傷破壞產(chǎn)生的斷裂過程區(qū)及其引發(fā)的應(yīng)力重分布和能量釋放平衡建立了無裂紋(式(1)，其中A11,A12,A13和r為與斷裂區(qū)域邊界層的深度、骨料尺寸和忽略統(tǒng)計尺寸效應(yīng)影響的無限大混凝土構(gòu)件名義強度相關(guān)的參數(shù))和含裂紋材料或結(jié)構(gòu)尺寸效應(yīng)模型.因為本文針對的是宏觀無裂紋材料或結(jié)構(gòu)強度的尺寸效應(yīng),因此這里沒有給出含裂紋材料或結(jié)構(gòu)尺寸效應(yīng)模型

Carpinteri[12]觀察到準(zhǔn)脆性材料破壞面的分形特征,基于分形理論建立多重分形尺寸效應(yīng)模型.多重分形尺寸效應(yīng)模型只是Bazant 無裂紋能量尺寸效應(yīng)模型的一個特例(r=2,A13=0),這是因為準(zhǔn)脆性材料拉伸破壞時斷裂過程區(qū)裂紋發(fā)展越充分,分形就會越復(fù)雜,能量耗散就會越多,導(dǎo)致其尺寸效應(yīng)越明顯.此外,Hu 等[1,13]提出邊界效應(yīng)尺寸效應(yīng)模型,對于無裂紋材料或結(jié)構(gòu),邊界效應(yīng)和能量尺寸效應(yīng)模型都是基于斷裂過程區(qū)及其引發(fā)的應(yīng)力重分布推導(dǎo)[14].

準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮破壞是剪應(yīng)力驅(qū)動下裂紋起裂、擴展和聚合的結(jié)果[15-16],這意味著以最弱鏈理論為基礎(chǔ)的統(tǒng)計尺寸效應(yīng)理論不能體現(xiàn)這一過程.能量和邊界效應(yīng)尺寸效應(yīng)模型盡管能體現(xiàn)準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮形成的斷裂過程區(qū),但是它們以準(zhǔn)脆性材料拉伸時產(chǎn)生的張開型裂紋為基礎(chǔ)建立,難以反映壓縮對張開型裂紋擴展的擬制、剪切裂紋及剪切裂紋面之間的摩擦.同時,現(xiàn)有大量研究者用拉伸能量尺寸效應(yīng)模型或者其改進模型描述準(zhǔn)脆性材料抗壓強度尺寸效應(yīng)[8,17-19],這會對后續(xù)準(zhǔn)脆性材料抗壓強度尺寸效應(yīng)的研究產(chǎn)生誤導(dǎo).此外,能量尺寸效應(yīng)模型只考慮局部能量釋放率平衡,導(dǎo)致其不能同時體現(xiàn)高徑比和試樣尺寸對準(zhǔn)脆性材料抗壓強度的影響,這意味著必須重新尋找準(zhǔn)脆性材料抗壓強度尺寸效應(yīng)內(nèi)在原因,并建立對應(yīng)的模型.

事實上,Bazant 團隊[20]早已意識到準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮和拉伸強度尺寸效應(yīng)機理并不相同,通過假設(shè)單軸壓縮劈裂裂紋沿軸向垂直或傾斜方向局部屈曲破壞的能量釋放率等于形成單位劈裂裂紋需要的能量,推導(dǎo)得到抗壓強度尺寸效應(yīng)模型.但是在這一模型中試樣尺寸趨于無窮大時抗壓強度消失,這與實驗結(jié)果不相符.張穎[21]通過修正Bazant 團隊微結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論中裂縫帶和能量釋放區(qū)混凝土應(yīng)力卸載路徑,并根據(jù)Griffith 能量理論推導(dǎo)得到無約束混凝土和主動約束混凝土軸壓強度尺寸效應(yīng)模型.然而,已有研究表明,單軸壓縮破壞是翼型裂紋(即劈裂裂紋)擴展聚合、剪切聚合或者兩者混合的結(jié)果[22-24],且實驗表明含軸向等間隙翼型裂紋單軸壓縮試樣破壞為剪切聚合[25],并非Bazant 團隊和張穎假設(shè)的局部屈曲.Bazant 團隊也通過分析井壁兩邊剝落破壞的能量釋放率平衡建立抗壓尺寸效應(yīng)模型[26],盡管這個模型能反映試樣尺寸趨于無窮大時抗壓強度趨于常數(shù),但是其建立基礎(chǔ)和準(zhǔn)脆性材料壓縮破壞機理不符.不幸的是,目前這一模型已被用于描述混凝土抗壓強度的尺寸效應(yīng)[27-28].同時,上述幾種抗壓強度尺寸效應(yīng)模型中冪次數(shù)為常數(shù),難以體現(xiàn)準(zhǔn)脆性材料尺寸效應(yīng)不同的非線性變化規(guī)律.楊高升[29]基于巖石彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系得出巖石抗壓強度尺寸效應(yīng)模型,但這一模型不能反映試樣尺寸趨于無窮大時抗壓強度趨于常數(shù).Weiss 等[30]假設(shè)準(zhǔn)脆性材料壓縮時細(xì)觀破壞為Mohr-Coulomb 準(zhǔn)則控制,考慮內(nèi)聚力的隨機性及損傷過程中缺陷之間的彈性作用,并把壓縮破壞過程轉(zhuǎn)化為釘扎模型,在此基礎(chǔ)上得出下面抗壓強度尺寸效應(yīng)模型

式中,A21和A22為與細(xì)觀強度及其變化范圍相關(guān)的參數(shù),m為有限尺寸指數(shù).式(2)是壓縮破壞釘扎模型分析得出的近似表達(dá)式,雖然其能反映試樣尺寸趨于無窮大時抗壓強度趨于常數(shù),但是A22物理意義并不明確.

此外,通過分析不同準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮試驗數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,研究者也提出各種經(jīng)驗?zāi)Ｐ腿ッ枋隹箟簭姸瘸叽缧?yīng)[31-39].盡管經(jīng)驗?zāi)Ｐ腿狈ξ锢砘A(chǔ),但是由于這些模型相對簡單,且具有較高的準(zhǔn)確性,使其在實際研究中廣泛應(yīng)用,這其中只有劉寶琛等[33]和楊圣奇等[34]提出的指數(shù)型尺寸效應(yīng)模型能體現(xiàn)試樣尺寸趨于無窮大時抗壓強度趨于常數(shù)這一現(xiàn)象.他們的公式分別為

式中,A31,A32,A33,A41,A42和A43為材料參數(shù).

事實上,準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮試樣變形破壞是能量輸入、儲存、耗散的過程[40-43],因此本文通過分析準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮破壞過程中能量輸入、儲存、整體和局部能量耗散,建立相應(yīng)力學(xué)模型和應(yīng)力應(yīng)變曲線.在此基礎(chǔ)上確定輸入能量、儲存彈性能、整體和局部能量耗散的表達(dá)式,并基于能量平衡原理建立抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型.然后分析模型參數(shù)對抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型的影響,以便全面深刻理解抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型.最后應(yīng)用已有大量試驗和模擬數(shù)據(jù)驗證本文尺寸效應(yīng)模型,并通過和現(xiàn)有尺寸效應(yīng)模型對比,闡明本文尺寸效應(yīng)模型優(yōu)缺點.此外,關(guān)于“上升尺寸效應(yīng)”的研究本文不涉及.

1 抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型

1.1 單軸壓縮試樣力學(xué)模型

考慮圖1 準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮試樣的均勻和局部損傷力學(xué)模型,試樣直徑和高度分別為D和H,在兩端均勻名義壓力σn作用下,名義應(yīng)力應(yīng)變曲線為圖2 中OABT,名義應(yīng)力應(yīng)變曲線是試樣單軸壓縮得到的試驗應(yīng)力應(yīng)變曲線,即名義應(yīng)力應(yīng)變曲線隨著試樣尺寸變化;真實應(yīng)力應(yīng)變曲線為圖2 中OACK,真實應(yīng)力應(yīng)變曲線不受試樣尺寸影響,試樣中任何一點材料應(yīng)力和應(yīng)變變化本質(zhì)上都是按照真實應(yīng)力應(yīng)變曲線變化.在圖2 中PM平行于OA,AN為OA延長線.大量研究表明準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮試樣損傷破壞過程主要分為四個階段:裂紋閉合階段、線彈性階段、裂紋起裂穩(wěn)定擴展階段、裂紋不穩(wěn)定擴展聚合階段[15-16,44-46],下面對這四個階段進行詳細(xì)分析和簡化,闡明圖1 單軸壓縮試樣損傷力學(xué)模型及圖2 名義和真實應(yīng)力應(yīng)變曲線的合理性.

圖1 準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮損傷力學(xué)模型Fig.1 Damage mechanics model of quasi-brittle material under uniaxial compression

圖2 雙線性準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮名義(OABT)和真實(OACK)應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.2 Bilinear nominal (OABT) and true (OACK) stress-strain curves of quasi-brittle material under uniaxial compression

(1)裂紋閉合階段和彈性階段

由于裂紋閉合階段相對線彈性階段較小,因此忽略裂紋閉合階段非線性特征.且已有試驗結(jié)果表明[15]:這兩階段過程中聲發(fā)射不明顯,X 射線也基本觀測不到裂紋產(chǎn)生,因此忽略裂紋閉合階段和彈性階段能量耗散.這意味著準(zhǔn)脆性材料在這兩個階段沒有損傷,因此名義和真實應(yīng)力應(yīng)變曲線在這兩個階段完全重合,簡化為線彈性,如圖2 中OA段所示.

(2)裂紋起裂穩(wěn)定擴展階段

這一階段聲發(fā)射和X 射線觀測表明:整個試樣中裂紋沿軸向壓縮方向均勻起裂穩(wěn)定擴展[15-16,44-46],即產(chǎn)生翼型裂紋[47],如圖3 中階段A所示.階段A中聲發(fā)射定位破壞位置在試樣中相對均勻分布,但是試樣兩端聲發(fā)射定位破壞位置較少,這是由于試樣和試驗機之間摩擦產(chǎn)生的端部約束作用阻礙翼型裂紋的萌生.這一階段對應(yīng)圖1 均勻損傷區(qū),即白色小裂紋在整個試樣中均勻分布.由于裂紋起裂穩(wěn)定擴展作用,試樣內(nèi)部發(fā)生能量耗散,因此這一階段應(yīng)力應(yīng)變曲線偏離線彈性方向.

(3)裂紋不穩(wěn)定擴展聚合階段

在這一階段,隨著名義應(yīng)力σn繼續(xù)增大,由于試樣內(nèi)部缺陷分布的隨機性,假設(shè)在圖1 局部損傷區(qū)存在最弱缺陷,引起最大的應(yīng)力集中,導(dǎo)致局部剪切損傷區(qū)率先達(dá)到真實抗壓強度fc,試樣進入裂紋不穩(wěn)定擴展聚合階段,這時微細(xì)觀裂紋聚合形成宏觀裂紋,局部裂紋開始不穩(wěn)定擴展.隨著名義應(yīng)力σn繼續(xù)增大,局部剪切損傷區(qū)沿試樣豎直夾角θ方向逐漸增大,假設(shè)局部剪切損傷區(qū)應(yīng)力為真實受壓強度fc,且其尺寸達(dá)到圖1 所示時,名義應(yīng)力達(dá)到極值點σnm.

圖1 中假設(shè)局部剪切損傷區(qū)沒有貫通整個試樣原因是:Lockner 等[15]開展的聲發(fā)射監(jiān)測花崗巖單軸壓縮試驗,名義應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖4 所示,不同階段聲發(fā)射位置如圖3 所示.在圖4 名義應(yīng)力取最大值附近B階段,從圖3 可以看出B階段聲發(fā)射定位的局部損傷區(qū)域并沒有貫通整個試樣,并且其他試驗結(jié)果也發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象[16,44-46].同時,現(xiàn)有研究結(jié)果表明:局部剪切損傷區(qū)大小受材料晶粒大小、微觀結(jié)構(gòu)、力學(xué)特性和受力狀態(tài)等因素影響,因此本文假設(shè)材料類型和受力狀態(tài)一定時,局部損傷區(qū)大小為常數(shù)[25,48-49],不隨試樣尺寸變化.

圖3 不同階段聲發(fā)射位置(圖4 給出A-F 階段)Fig.3 Locations of acoustic emission at different stages(A-F stages are shown in Fig.4)

圖4 花崗巖單軸壓縮名義應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.4 Nominal stress-strain curve of granite under uniaxial compression

準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮的裂紋起裂穩(wěn)定擴展階段和裂紋不穩(wěn)定擴展階段本質(zhì)上是能量耗散階段,為了后續(xù)計算簡便,采用圖2 中偏離線彈性方向的AB和AC分別表示名義和真實應(yīng)力應(yīng)變曲線中這兩個階段.在圖2 中,當(dāng)名義應(yīng)力σn超過抗壓彈性極限強度fce,由于局部損傷區(qū)存在最弱缺陷的影響,整個試樣逐漸分化為均勻和局部損傷區(qū),呈現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征,這兩個區(qū)域處于真實應(yīng)力應(yīng)變曲線的不同階段(試樣中任何一點材料應(yīng)力和應(yīng)變變化本質(zhì)上都是按照真實應(yīng)力應(yīng)變曲線變化),這意味著名義應(yīng)力應(yīng)變曲線AB段本質(zhì)上是均勻損傷區(qū)和局部損傷區(qū)真實應(yīng)力應(yīng)變的綜合體現(xiàn),因此名義應(yīng)力應(yīng)變曲線AB段低于真實應(yīng)力應(yīng)變曲線AC段.

由圖3 中峰后C,D,E,F階段可以看出試樣中局部剪切損傷區(qū)是逐漸增大并最終在試樣中貫通,且呈現(xiàn)I 型脆性破壞特征.事實上,不同尺寸準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮試樣峰后名義應(yīng)力應(yīng)變曲線及其破壞特征受試驗機剛度、加載方式、環(huán)境因素、端部摩擦和材料類型等因素影響[2,39,50-53],因此采用圖2 中直線BT和CK分別體現(xiàn)名義和真實應(yīng)力應(yīng)變曲線峰后階段,不同斜率的直線BT和CK可以體現(xiàn)不同類型峰后名義和真實應(yīng)力應(yīng)變曲線.由于本文關(guān)注的是準(zhǔn)脆性材料峰值強度,關(guān)于峰后階段本文不涉及,在圖2 中標(biāo)注峰后階段是為了保證真實和名義應(yīng)力應(yīng)變曲線的完整性.

1.2 抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型構(gòu)建

大量研究表明單軸壓縮試樣變形破壞是能量輸入、儲存、整體和局部耗散的過程[40-43],假設(shè)該物理過程與外界沒有熱交換,即封閉系統(tǒng),則試驗機做功輸入圖1 試樣能量Ui、試樣均勻和局部損傷區(qū)儲存彈性能Us和耗散能Ud平衡,則有

由圖2 可以看出,當(dāng)名義應(yīng)力σn從0 增加到最大值σnm(名義抗壓強度)時,輸入試樣能量Ui為圖2中名義應(yīng)力應(yīng)變曲線OABS面積和試樣體積V的乘積

儲存彈性能Us為均勻和局部損傷區(qū)儲存彈性能之和.當(dāng)名義應(yīng)力σn達(dá)到最大值σnm時,試樣在垂直方向受力平衡,則圖1 單軸壓縮損傷力學(xué)模型中均勻損傷區(qū)垂直方向應(yīng)力為σnm,且PM平行于OA,所以PMR面積為名義應(yīng)力達(dá)到最大值σnm時均勻損傷區(qū)彈性應(yīng)變能密度,則均勻損傷區(qū)儲存彈性能為PMR面積和均勻損傷區(qū)體積(V?VL)乘積;由于缺陷和裂紋擴展引發(fā)的應(yīng)力集中使局部損傷區(qū)垂直方向應(yīng)力達(dá)到真實應(yīng)力應(yīng)變曲線峰值點C,即達(dá)到真實抗壓強度fc,且AN為OA延長線,所以O(shè)NQ面積為局部損傷區(qū)應(yīng)力達(dá)到真實抗壓強度fc時的彈性應(yīng)變能密度,則局部損傷區(qū)儲存彈性能為ONQ面積和局部損傷區(qū)體積VL乘積,因此,儲存彈性能Us為

耗散能Ud等于均勻和局部損傷區(qū)耗散能之和.由上文可知均勻損傷區(qū)應(yīng)力為σnm,事實上,試樣中任何一點材料應(yīng)力和應(yīng)變本質(zhì)上都是按照真實應(yīng)力應(yīng)變曲線變化,所以均勻損傷區(qū)所處狀態(tài)為真實應(yīng)力應(yīng)變曲線上M點,因此可得均勻損傷區(qū)彈性和耗散應(yīng)變能密度總和為OAMR面積,則均勻損傷區(qū)耗散能為真實應(yīng)力應(yīng)變曲線OAMR面積與均勻損傷區(qū)體積(V?VL)乘積再減去均勻損傷區(qū)儲存彈性能(PMR面積和均勻損傷區(qū)體積(V?VL)乘積);同樣由上文可知局部損傷區(qū)應(yīng)力達(dá)到真實抗壓強度fc,且試樣中任何一點材料應(yīng)力和應(yīng)變本質(zhì)上都是按照真實應(yīng)力應(yīng)變曲線變化,所以局部損傷區(qū)所處狀態(tài)為真實應(yīng)力應(yīng)變曲線上C點,因此局部損傷區(qū)彈性和耗散應(yīng)變能密度總和為OAMCF面積,則局部損傷區(qū)耗散能為真實應(yīng)力應(yīng)變曲線OAMCF面積與局部損傷區(qū)體積VL乘積再減去局部損傷區(qū)儲存彈性能(ONQ面積與局部損傷區(qū)體積VL乘積),則可得耗散能Ud為

式中,V=πλD3/4,VL=πabt/(4sinθ)分別為圖1 中圓柱試樣體積和局部損傷區(qū)體積,D為試樣直徑,λ=H/D為單軸壓縮圓柱的高徑比,a,b和t分別為橢圓狀局部損傷區(qū)的長軸、短軸和厚度,θ為局部損傷區(qū)和試樣水平方向夾角;σnm,fce和fc分別為名義抗壓強度、單軸壓縮彈性極限強度和真實抗壓強度,且fce≤fc;Ee,En和Ed分別為壓縮彈性模量、名義損傷模量和真實損傷模量,如圖2 所示.關(guān)于En和Ed大小關(guān)系,假設(shè)Ed

輸入試樣能量Ui、試樣均勻和局部損傷區(qū)儲存彈性能Us和耗散能Ud除滿足熱力學(xué)第一定律,即式(5)的能量平衡,還必須滿足如下熱力學(xué)第二定律

由式(8)可得

在圖2 中有fce≤σnm≤fc,Ed≤Ee,因此上式滿足.

把式(6)～式(8)代入式(5)化簡可得名義抗壓強度σnm為

式中,令σnm=fc,可得λD3=0,即試樣直徑D或高徑比λ為零時,名義抗壓強度σnm等于真實抗壓強度fc.事實上,當(dāng)V≤VL,即πλD3/4 ≤ πabt/(4sinθ) ?λD3≤abt/sinθ,局部損傷區(qū)充滿試樣,試樣體積等于局部損傷區(qū)體積,這時單軸壓縮試樣名義應(yīng)力應(yīng)變曲線與真實應(yīng)力應(yīng)變曲線重合,名義損傷模量En和真實損傷模量Ed相等,名義抗壓強度σnm等于真實抗壓強度fc.顯然,式(11)難以描述試樣尺寸小于一定值時名義抗壓強度不變這一現(xiàn)象.

在圖1 中,隨著λ或D增大,局部損傷區(qū)體積與試樣體積VL/V比值逐漸減小,導(dǎo)致名義損傷模量En也逐漸減小.在式(11) 中,當(dāng)λ或D→+∞時,VL/V→ 0,即局部損傷區(qū)體積相對試樣體積可以忽略,名義抗壓強度σnm趨于單軸壓縮彈性極限強度fce,即圖1 試樣中幾乎所有區(qū)域名義應(yīng)力最大值σnm都未進入圖2 所示真實應(yīng)力應(yīng)變曲線的能量耗散AC階段,這時En→ 0.因此本文提出如下公式描述名義損傷模量En的尺寸效應(yīng)

式中,VL≤V,En≤Ed,要滿足名義損傷模量En隨VL/V比值增大逐漸減小,則可得n>0,且其受材料力學(xué)特性和應(yīng)力狀態(tài)等因素影響.盡管現(xiàn)有試驗和數(shù)值模擬結(jié)果表明:隨著尺寸增大,一部分試驗結(jié)果顯示彈性模量增大[3,34,54],另一部分試驗結(jié)果顯示彈性模量減小[4,39],或者先增大后減小[55],甚至不相關(guān)[18,56].然而,讀者需要注意:本文中假設(shè)彈性模量不隨試樣尺寸變化,這是因為本文認(rèn)為圖2 中名義和真實應(yīng)力應(yīng)變曲線重合的OA段沒有能量耗散.

把式(12)代入式(11),則可得抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型為

式中,當(dāng)λD3>abt/sinθ時,式(13)對λD3求導(dǎo)可得

式中,因為fce≤fc,n>0,σnm>0,λD3>abt/sinθ,可得≤ 0,即名義抗壓強度σnm隨試樣直徑D或者高徑比λ增大而減小,顯然,這與大量已有試驗結(jié)果一致.

式(13)抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型體現(xiàn)的完整名義抗壓強度σnm尺寸效應(yīng)規(guī)律如圖5 所示,可以看出當(dāng)試樣體積V從0 增大到局部損傷區(qū)體積VL=πabt/(4sinθ)時,整個試樣呈現(xiàn)出損傷特征,這一階段試樣中損傷區(qū)體積和試樣體積比值VLI/V恒等于1,名義抗壓強度始終不變(真實抗壓強度).這一階段實驗證明如下.

圖5 準(zhǔn)脆性材料抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型Fig.5 Energy balance size effect model of compressive strength for quasi-brittle materials

圖6 給出Yu 等[57]試驗的不同尺寸單晶鈦合金單軸壓縮試驗變形破壞形貌,可以看出當(dāng)D=0.7 μm和0.4 μm 時,破壞模式為整個試樣的剪切變形,即剪切變形區(qū)占D=0.7 μm 和0.4 μm 試樣比值都為1,即VLI/V=1,且由圖6 可知D=0.7 μm 試樣名義強度σnm=4.41 GPa 和D=0.4 μm 試樣名義強度σnm=4.38 GPa 近似相等,這和抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型(圖5 區(qū)域I)預(yù)測一致.在圖7 中,基于右下方0.5 μm 比例尺建立邊長為0.5 μm 的正方形比例框,通過縮小比例框得到圖6 中D=1.0 μm,0.7 μm 和0.4 μm 鈦合金試樣和局部剪切區(qū)實際大小的藍(lán)色框.由圖7 可以清晰看出D=8.0 μm,1.0 μm,0.7 μm 和0.4 μm 鈦合金試樣和局部剪切區(qū)大小,其中按比例估算的局部剪切區(qū)尺寸為Dc=0.71 μm,其與試驗數(shù)據(jù)確定的Dc=0.7 μm 及本文抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型確定的Dc=0.69 μm 非常接近(表2),這說明本文抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型中局部損傷區(qū)的假設(shè)正確.

圖6 不同尺寸單晶鈦合金單軸壓縮變形破壞形貌[57]Fig.6 Deformation and failure morphology of single crystal titanium alloy with different sizes under uniaxial compression[57]

圖7 定比例框下不同單晶鈦合金試樣和局部剪切區(qū)尺寸Fig.7 Size of different single crystal titanium alloy samples and local plastic zone under fix proportional frame

在圖5 中,當(dāng)V>VL時,隨著試樣體積V繼續(xù)增大,試樣呈現(xiàn)出局部化損傷特征,這一階段試樣中損傷區(qū)體積和試樣體積比值VL/V逐漸減小最終趨于0,名義抗壓強度逐漸減小最終趨于常數(shù)(抗壓彈性極限強度fce).這一階段實驗證明如下.

在圖6 中,當(dāng)D=8.0 μm 和1.0 μm 時,試樣破壞模式為局部剪切破壞,可以看出剪切破壞區(qū)占比D=1.0 μm 試樣比D=8.0 μm 試樣高,而剪切破壞區(qū)相比周圍區(qū)域處于高應(yīng)力狀態(tài),導(dǎo)致D=1.0 μm 試樣名義強度σnm=2.73 GPa 比D=8.0 μm 試樣名義強度σnm=1.90 GPa 高,這和抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型(圖5 區(qū)域II)預(yù)測一致,這就證明損傷區(qū)在試樣中占比的變化是產(chǎn)生材料強度尺寸效應(yīng)的根源.

1.3 抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型參數(shù)研究

為了研究模型參數(shù)對抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型的影響,對式(13)進行無量綱化整理可得

式中,σnm-c=σnm/fc,Dt=D/t,at=a/t,bt=b/t,α=fce/fc.可以看出,上式中有無量綱材料參數(shù)抗壓彈性極限強度和真實抗壓強度比值α=fce/fc(0 ≤α≤ 1)、體現(xiàn)名義損傷模量En尺寸效應(yīng)非線性的參數(shù)n(n>0)、高徑比λ(λ>0)、局部損傷區(qū)角度θ(0 <θ≤90)及體現(xiàn)局部損傷區(qū)大小的at和bt(0

盡管α=fce/fc表示抗壓彈性極限強度和真實抗壓強度比值,但是在模型中α本質(zhì)上體現(xiàn)了抗壓彈性極限強度應(yīng)變能相對真實抗壓強度應(yīng)變能所占比例,圖8 給出了不同α值下抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型變化規(guī)律,可以看出隨著α從0 增大到1,尺寸效應(yīng)逐漸減弱并最終消失,這是因為α越大,圖1 中峰前真實應(yīng)力應(yīng)變曲線中抗壓彈性極限強度應(yīng)變能占比越大,耗散能量就越小,材料越接近完全脆性.

圖8 參數(shù)α 對模型影響Fig.8 Effect of the parameter α on model

由式(12)可知,參數(shù)n可以調(diào)整名義損傷模量En尺寸效應(yīng)的非線性.由圖9 可以看出,隨著n減小,當(dāng)試樣尺寸一定時,σnm-c逐漸增大,并且式(15)初始下降段由凹逐漸變?yōu)橥?體現(xiàn)為尺寸效應(yīng)的非線性發(fā)生變化.同時,第2 節(jié)“抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型驗證及對比”表2 中不同材料n值并不相同,這是由于不同材料損傷演化的非線性規(guī)律并不相同.盡管關(guān)于“下降尺寸效應(yīng)”階段的凹凸性變化未見研究者報告,但是伍法權(quán)等[9]發(fā)現(xiàn)小尺寸范圍內(nèi)(直徑20～50 mm)玄武巖和青砂巖強度“上升尺寸效應(yīng)”階段具有不同的凹凸性.

圖9 參數(shù)n 對模型影響Fig.9 Effect of the parameter n on model

λ=H/D為單軸壓縮圓柱的高徑比,在圖10 中,由于圖中α、局部損傷區(qū)角度θ及體現(xiàn)局部損傷區(qū)大小的at和bt不變,即不同尺寸試樣中局部損傷區(qū)大小不變,隨著λ增大,試樣中高耗能區(qū)域(局部損傷區(qū))占比逐漸減小,進而使σnm-c逐漸減小.

圖10 參數(shù)λ 對模型影響Fig.10 Effect of the parameter λ on model

θ為局部損傷區(qū)與試樣豎直方向夾角,at和bt體現(xiàn)局部損傷區(qū)大小,在圖11～圖13 中,當(dāng)試樣尺寸和其他參數(shù)一定時,隨著θ減小或者at和bt增大,不同尺寸試樣中高耗能區(qū)域(局部損傷區(qū))變大,進而使σnm-c逐漸增大.同時,在圖12 和圖13 觀察到at=Dt和at=1 及at=bt=Dt和at=bt=1 對應(yīng)尺寸效應(yīng)模型曲線相交,這是因為把at=1,at=bt=1,at=Dt或at=bt=Dt代入式(15)后,相關(guān)項分別變?yōu)楹虳t,可以看出尺寸效應(yīng)變量Dt的冪次數(shù)發(fā)生變化,進而改變了抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型的非線性,導(dǎo)致出現(xiàn)這一現(xiàn)象.

圖11 參數(shù)θ 對模型影響Fig.11 Effect of the parameter θ on model

圖12 參數(shù)at 對模型影響Fig.12 Effect of the parameter at on model

圖13 參數(shù)at=bt 對模型影響Fig.13 Effect of the parameter at=bt on model

2 抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型驗證及對比

式(13)的抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型包含高徑比λ和試樣直徑D兩種尺寸變量,研究者通常把兩種尺寸變量單獨分開進行試驗,因此這里把式(13)改寫為如下分別包含λ和D兩種尺寸變量的形式

2.1 驗證數(shù)據(jù)收集

研究者已經(jīng)開展了大量準(zhǔn)脆性材料不同高徑比λ和試樣直徑D的尺寸效應(yīng)試驗.然而,受限于試驗設(shè)備、試樣加工制作材料和手段等因素,導(dǎo)致多數(shù)研究者只能開展試驗室小尺寸準(zhǔn)脆性材料試樣尺寸效應(yīng)試驗,進而多數(shù)試驗得到的結(jié)果只有準(zhǔn)脆性材料強度隨尺寸的增大而減小區(qū)域,即“下降尺寸效應(yīng)”區(qū)域[2,18,39],而難以反映圖5 所示完整的準(zhǔn)脆性材料尺寸效應(yīng).基于離散或者連續(xù)介質(zhì)方法的數(shù)值模擬由于不受試驗條件限制,也能消除材料隨機性、試驗儀器和方法等因素對結(jié)果的影響,因此可方便開展考慮材料特性、應(yīng)力狀態(tài)、微觀裂隙及宏觀節(jié)理分布等因素的試驗室小尺寸到工程實際大尺寸數(shù)值模擬[4,55,58-61],且研究者在采用數(shù)值模擬對準(zhǔn)脆性材料尺寸效應(yīng)研究時也進行了方法驗證.因此本文收集不同高徑比λ和試樣直徑D的尺寸效應(yīng)試驗和數(shù)值模擬數(shù)據(jù),并以下面兩個原則進行數(shù)據(jù)篩選.

(1)實驗或者模擬數(shù)據(jù)點不能太少,避免后文確定尺寸效應(yīng)模型參數(shù)時發(fā)生過擬合現(xiàn)象,進而難以區(qū)分不同尺寸效應(yīng)模型準(zhǔn)確性.

(2)試驗試樣尺寸范圍至少要能體現(xiàn)圖5 所示三個區(qū)域中的兩個區(qū)域,以便評價尺寸效應(yīng)模型能否準(zhǔn)確描述準(zhǔn)脆性材料尺寸效應(yīng)在不同區(qū)域之間的非線性變化.

表1 給出了基于以上兩個原則篩選收集的不同高徑比λ和試樣直徑D的尺寸效應(yīng)試驗和數(shù)值模擬數(shù)據(jù),其中選取編號7 鈦合金這組試驗數(shù)據(jù)的原因為:本文研究人員查閱了可以獲取的不同高徑比λ和試樣直徑D的試驗和數(shù)值模擬數(shù)據(jù),只有編號7 鈦合金尺寸效應(yīng)試驗?zāi)芡瑫r反映圖5 中I 和II 區(qū)域.此外,考慮到開展不同高徑比λ和試樣直徑D的試驗和數(shù)值模擬通常較為耗時耗力,為了方便其他研究者能在未來獲取和使用這些數(shù)據(jù)進行科學(xué)研究,筆者把表1 中的試驗和數(shù)值模擬數(shù)據(jù)上傳到了Researchgate 主頁[62].

表1 不同高徑比H/D 和直徑D 試樣準(zhǔn)脆性材料抗壓強度試驗和數(shù)值模擬數(shù)據(jù)Table 1 Experiment and numerical simulation data of compressive strength for quasi-brittle materials with different height to diameter ratios H/D and diameters D

2.2 模型驗證及對比

對表1 中每組試驗或者模擬數(shù)據(jù),采用擬合方法確定本文抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型(式(16)或式(17))及對比模型Bazant (式(1))、Weiss (式(2))、劉寶琛(式(3))和楊圣奇(式(4))模型的參數(shù),并在表2～表6 列出.此外,采用本文抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型擬合每組試驗或者模擬數(shù)據(jù)時,因為參數(shù)fce為試樣尺寸趨于無窮大時的名義應(yīng)力,這意味著參數(shù)fce小于或等于試驗或模擬名義抗壓強度最小值;而參數(shù)fc為真實抗壓強度,其大于或等于試驗或模擬名義抗壓強度最大值;參數(shù)λc或Dc小于或等于試驗或模擬試樣尺寸最小值,基于上述分析就可以很快確定參數(shù)fce,fc,λc或Dc的初值,進而可大幅提高擬合的效率和準(zhǔn)確性.

表6 楊圣奇尺寸效應(yīng)模型-式(4)參數(shù)值Table 6 Parameter values of Yangs size effect model for Eq.(4)

在表2 中,對于編號1～5 不同高徑比λ試樣,采用擬合方法確定式(16) 中臨界損傷高徑比λc在0.22～1.11 范圍內(nèi),由于編號1～5 巖石數(shù)據(jù)中沒有呈現(xiàn)式(16)中λ≤λc時名義抗壓強度σnm不變這一現(xiàn)象,這就難以證明擬合確定的臨界損傷高徑比λc的合理性.Tuncay 和Hasancebi[67]試驗研究表明玄武巖、粉色安山巖和石灰?guī)r試樣臨界損傷高徑比λc在1～1.5 范圍內(nèi).采用擬合方法確定編號1～5 巖石臨界損傷高徑比λc(0.22～1.11) 小于Tuncay 和Hasancebi 試驗值(1～1.5)的原因是編號1～5 巖石強度(高徑比為2 時強度范圍為70～245 MPa)遠(yuǎn)高于Tuncay 和Hasancebi 試驗的玄武巖、粉色安山巖和石灰?guī)r(高徑比為2 時強度范圍為60～75 MPa),高強度使編號1～5 巖石脆性大,則其損傷變形的區(qū)域小.因為Tuncay 和Hasancebi 的不同高徑比玄武巖、粉色安山巖和石灰?guī)r試驗數(shù)據(jù)點太少,所以本文沒有選擇其進行模型驗證.

表2 本文尺寸效應(yīng)模型-式(16)或式(17)參數(shù)值Table 2 Parameter values of size effect model proposed in this paper for Eq.(16) or (17)

表3 Bazant 尺寸效應(yīng)模型-式(1)參數(shù)值Table 3 Parameter values of Bazant size effect model for Eq.(1)

表4 Weiss 尺寸效應(yīng)模型-式(2)參數(shù)值Table 4 Parameter values of Weiss size effect model for Eq.(2)

表5 劉寶琛尺寸效應(yīng)模型-式(3)參數(shù)值Table 5 Parameter values of Lius size effect model for Eq.(3)

對于編號6～13 不同直徑D試樣,只有編號7 鈦合金尺寸效應(yīng)試驗數(shù)據(jù)能反映D≤Dc時,名義抗壓強度σnm不變,對編號7 數(shù)據(jù)采用擬合方法確定式(17)中局部損傷區(qū)尺寸Dc為0.69 μm,這與試驗數(shù)據(jù)確定的Dc=0.7 μm 非常接近.表2 中編號6 煤巖局部損傷區(qū)達(dá)到4 cm,這是由于煤巖中缺陷較大.編號12 裂隙巖石是在編號8 完整巖石中加入裂隙形成的組合巖體,這就意味著編號12 裂隙巖石局部損傷區(qū)尺寸必定大于編號8 完整巖石,這和表2 中式(17)預(yù)測結(jié)果一致.表2 中編號9～11 混凝土局部損傷區(qū)尺寸大致相同的原因是三種混凝土骨料級配一樣.這證明采用擬合方法可以較為合理地確定λc或Dc值.此外,表2 中編號13 裂隙巖石局部損傷區(qū)尺寸小于編號6,8～12,這顯然和實際不相符,可能的原因為:越小的裂隙試樣,其名義抗壓強度的離散性越大,導(dǎo)致采用式(17)擬合確定局部損傷區(qū)尺寸時偏差較大.

對于本文尺寸效應(yīng)模型(式(16)和式(17))中參數(shù)值fce,fc,n,除去編號3 (本文模型預(yù)測編號3 花崗巖真實抗壓強度fc為989 MPa,這和實際不相符),結(jié)合表2 和后文圖14～圖26 可以看出,本文尺寸效應(yīng)模型預(yù)測其他材料的參數(shù)值fce,fc,n都較為合理.

圖14 不同尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號1 砂巖和試驗數(shù)據(jù)對比Fig.14 Comparison of experimental values and predicted results of different size effect models for No.1 sandstone

把表2～表6 中參數(shù)代入上面五種尺寸效應(yīng)模型,這五種尺寸效應(yīng)模型預(yù)測表1 中每組試驗或者模擬數(shù)據(jù)的結(jié)果如圖14～圖26 所示.由圖14 和圖17 可以看出五種尺寸效應(yīng)模型能較好地預(yù)測編號1 和4 數(shù)據(jù)變化規(guī)律,但是五種尺寸效應(yīng)模型不能很好地描述編號2,5 和8 數(shù)據(jù)變化規(guī)律(見圖15、圖18 和圖21);這是因為編號1 和4 數(shù)據(jù)離散程度非常小,而編號2,5 和8 中部分?jǐn)?shù)據(jù)離散程度較大,這就意味著擬合尺寸效應(yīng)模型時,有必要剔除試驗或者數(shù)值模擬數(shù)據(jù)離散程度較大的數(shù)據(jù),以便反映真實的尺寸效應(yīng)規(guī)律.圖16、圖19、圖20 和圖22～圖26 所示編號3,6,7,9～13 數(shù)據(jù)離散程度較小,但是不同尺寸效應(yīng)模型預(yù)測結(jié)果并不相同,其中劉寶琛和本文抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型能很好描述編號6,12 和13 數(shù)據(jù)變化規(guī)律,Weiss 尺寸效應(yīng)模型能較好描述編號12 數(shù)據(jù)變化規(guī)律.對于編號9～11 三種不同強度混凝土數(shù)據(jù),五種尺寸效應(yīng)模型預(yù)測結(jié)果差別不大.對于圖20 所示編號7 單晶鈦合金,本文提出抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型能準(zhǔn)確描述編號7 數(shù)據(jù)I 區(qū)域平直段的真實強度,也能較好地描述尺寸效應(yīng)從II 到III 區(qū)域的非線性變化,這就證明單晶鈦合金抗壓強度尺寸效應(yīng)也是由局部損傷引起.

圖16 不同尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號3 花崗巖和試驗數(shù)據(jù)對比Fig.16 Comparison of experimental values and predicted results of different size effect models for No.3 granite

圖17 不同尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號4 花崗巖和試驗數(shù)據(jù)對比Fig.17 Comparison of experimental values and predicted results of different size effect models for No.4 granite

圖18 不同尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號5 花崗巖和模擬數(shù)據(jù)對比Fig.18 Comparison of simulated values and predicted results of different size effect models for No.5 granite

圖19 不同尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號6 煤巖和試驗數(shù)據(jù)對比Fig.19 Comparison of experimental values and predicted results of different size effect models for No.6 coal

圖20 不同尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號7 鈦合金和試驗數(shù)據(jù)對比Fig.20 Comparison of experimental values and predicted results of different size effect models for No.7 titanium alloy

圖21 不同尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號8 完整巖石和模擬數(shù)據(jù)對比Fig.21 Comparison of simulated values and predicted results of different size effect models for No.8 intact rock

圖22 不同尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號9 C20 混凝土和試驗數(shù)據(jù)對比Fig.22 Comparison of experimental values and predicted results of different size effect models for No.9 C20 concrete

為了定量評價尺寸效應(yīng)模型預(yù)測結(jié)果的準(zhǔn)確性,定義如下平均誤差

圖23 不同尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號10 C40 混凝土和試驗數(shù)據(jù)對比Fig.23 Comparison of experimental values and predicted results of different size effect models for No.10 C40 concrete

式中,k表示每組擬合數(shù)據(jù)數(shù)量,σnme和σnmp分別代表名義抗壓強度σnm的試驗值和模型預(yù)測值.在表7中TAE表示每種尺寸效應(yīng)模型對13 組數(shù)據(jù)平均誤差A(yù)E總和的平均值,即總平均誤差.

圖24 不同尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號11 C60 混凝土和試驗數(shù)據(jù)對比Fig.24 Comparison of experimental values and predicted results of different size effect models for No.11 C60 concrete

圖25 不同尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號12 裂隙巖石和模擬數(shù)據(jù)對比Fig.25 Comparison of simulated values and predicted results of different size effect models for No.12 crack-rock

圖26 不同尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號13 裂隙巖石和模擬數(shù)據(jù)對比Fig.26 Comparison of simulated values and predicted results of different size effect models for No.13 crack-rock

表7 不同尺寸效應(yīng)模型預(yù)測平均誤差A(yù)ETable 7 Prediction average errors (AEs) of different size effect models

由表7 可以看出,Bazant 尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號9 和10 數(shù)據(jù)平均誤差最小,Weiss 尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號4 和12 數(shù)據(jù)平均誤差最小,劉寶琛尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號1～3,8 和11 數(shù)據(jù)平均誤差最小,本文尺寸效應(yīng)模型預(yù)測編號2,5～7 和13 數(shù)據(jù)平均誤差最小,五種尺寸效應(yīng)模型總平均誤差為本文模型 <劉寶琛模型

3 結(jié)論

本文通過分析準(zhǔn)脆性材料單軸壓縮破壞過程中能量輸入、儲存、整體和局部能量耗散,建立體現(xiàn)整體均勻損傷和局部損傷的力學(xué)模型及反映能量輸入、儲存、整體和局部能量耗散的雙線性名義和真實應(yīng)力應(yīng)變曲線,在此基礎(chǔ)上確定了名義應(yīng)力最大時(試驗抗壓強度)輸入能量、儲存彈性能、整體和局部能量耗散的表達(dá)式,并基于能量平衡原理建立抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型.與現(xiàn)有的尺寸效應(yīng)模型相比,本文尺寸效應(yīng)模型具有如下特點.

(1) 隨試樣尺寸增大,抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型能完整體現(xiàn)名義抗壓強度在試樣尺寸小于和等于局部損傷區(qū)尺寸時不變,即為真實強度,然后逐漸減小,即真實-彈性極限強度轉(zhuǎn)變區(qū),最終當(dāng)試樣尺寸趨于無窮大時趨于常數(shù),即彈性極限強度.

(2) 抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型能同時體現(xiàn)高徑比和試樣直徑對名義抗壓強度的影響,其包含的參數(shù)具有明確物理意義,能反映真實強度、彈性極限強度、名義損傷模量的非線性、局部損傷區(qū)大小和方向?qū)?zhǔn)脆性材料名義抗壓強度尺寸效應(yīng)的影響,且擬合時能快速確定部分參數(shù)初值,可大幅提高擬合的效率和準(zhǔn)確性.

(3) 通過把抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型和現(xiàn)有尺寸效應(yīng)模型應(yīng)用于預(yù)測尺寸效應(yīng)試驗和數(shù)值模擬數(shù)據(jù),結(jié)果表明:抗壓強度能量平衡尺寸效應(yīng)模型能很好描述各種材料試驗和數(shù)值模擬尺寸效應(yīng)的非線性變化規(guī)律及內(nèi)在機理,和現(xiàn)有尺寸效應(yīng)模型相比,其總體平均誤差最小,且小于5%.