土的各向同性化變換應力方法1)

姚仰平 唐科松

(北京航空航天大學交通科學與工程學院,北京 100191)

引言

各向異性是指材料在不同方向上的物理力學性質不同,是普遍存在的.但材料的各向異性一直是其力學特性描述的難點,不同材料的各向異性表現形式是不同的,因此在很多情況下很難給出材料相應的各向異性函數形式.針對這一問題,Zheng[1]提出了各向同性化定理,即各向異性材料的物理和本構定律中的張量函數,都可以通過引入表征該材料各向異性的結構張量作為附加變量而表示成為各向同性張量函數.該定理給出了對材料各向異性問題進行各向同性化處理的思想.

對于常規的巖土工程問題,設計時可適當忽略各向異性的影響.但隨著巖土工程技術的不斷發展,面臨的工程問題也愈加復雜,對于一些處于二維或三維應力狀態的大型工程,例如土石壩蓄水[2]、邊坡穩定性分析[3-4]、深基坑開挖[5]和路堤填筑[6]、擋土墻土壓力的計算[7]以及隧道開挖地表沉降計算等,單純的對稱簡化已無法滿足實際工程的需要.在上述工程情況中,有的是因為土體自身的沉積歷史形成了較為穩定的排列結構,這些穩定的結構使得土在不同方向上力學特性的不同,由此產生的各向異性的影響貫穿從加載到破壞的始終;有的則是因為應力狀態的改變而不斷產生新的排列結構,新的結構隨著應力的變化又不斷破壞重構,此類各向異性則是隨著應力狀態的變化而變化.可見,對于土材料,各向異性產生的原因也各有其不同.根據成因和力學表現[8],巖土材料的各向異性[9]可分為原生各向異性[10-11]和應力誘導各向異性[12-14].其中,應力誘導各向異性是指巖土材料在π 平面上表現出的屈服和破壞的非對稱性.針對巖土材料所特有的應力誘導各向異性,姚仰平等[15-20]提出了變換應力(transformed stress,TS)方法.TS 方法可以將具有應力誘導各向異性的真應力空間變換為各向同性的變換應力空間,并利用變換應力空間進行其力學特性的描述.這種將各向異性問題進行各向同性化處理的TS 方法與鄭泉水的各向同性化定理的思想是一致的.

本文針對TS 方法與各向同性化定理間的內在聯系及其特殊性,將深入探討以下三個問題:(1)TS方法中的公式是如何在各向異性問題各向同性化處理的思想下建立的？(2)TS 方法和各向同性化定理之間的關系是什么？(3)TS 方法在土的彈塑性本構模型三維化中的必要性.對于以上三個問題進行了以下工作:(1)借助已有的土的各向異性強度準則公式,提出了TS 方法在建立過程中的三個合理假設;(2) 對所得TS 方法中的應力變換公式進行代數變換,使一般化的各向同性化定理與具體化的變換應力公式在形式上統一起來,對兩式相應的部分進行對照,明確兩者的內在聯系;(3)分別將直接與各向異性函數結合實現三維化、利用TS 方法實現三維化所描述的應力應變力學特性與系列試驗所歸納的規律作對比,闡明TS 方法在構造土的彈塑性本構模型三維化過程中的必要性.

1 各向同性化定理

鄭泉水針對各向異性材料的各向同性化處理提出了各向同性化定理:

二維或三維空間中任意有限數目張量變量相應一個緊點群的各向異性張量函數,都可以表示成為原張量自變量再附加結構張量為新增自變量的各向同性張量函數.

式中，ψ 為各向異性張量函數,ψiso為各向同性張量函數;Sa為原張量自變量,ξγ為結構張量.

式(1)中各向異性材料的張量函數,如果只用原張量自變量Sa作自變量,構成的是一個各向異性張量函數 ψ ;如果引入結構張量 ξγ,則各向異性張量函數可以轉換為各向同性張量函數 ψiso.對式(1)做進一步引申:如果將原張量自變量與結構張量看作是一個新的張量自變量,則可構成以為張量自變量的各向同性張量函數 ψiso,即

各向同性化定理為材料各向異性問題的研究提供了方向,式(2)也是對各向異性問題進行各向同性化處理的一個一般化數學表達.ψ 作為各向異性張量函數,會隨著實際材料和所研究的具體問題的不同而相異,例如巖土材料中的強度問題和屈服問題等.在對土材料各向異性力學特性的研究中,可通過構造結構張量 ξγ或耦合應力張量,借用已有的各向同性張量函數 ψiso,達到對各向異性力學特性進行描述的目的,取得與采用各向異性張量函數 ψ 進行表達的相同效果.

2 TS 方法

2.1 應力誘導各向異性

土材料作為一種碎散的孔隙材料,具有應力誘導各向異性[21-25].土的應力誘導各向異性是指其力學特性因加載時的應力狀態的不同而相異,具體體現為:在π 平面上,土的強度和屈服特性隨應力洛德角的改變而改變.現已有許多能夠反映應力誘導各向異性的強度準則,SMP 準則[26]就是其中的代表

式中，I1，I2，I3分別為第一、二、三應力張量不變量,C1為強度參數,取其他值時也可以用其表示屈服.

式(3) 所表達的SMP 準則繪制在π 平面上如圖1 所示.

圖1 SMP 準則在π 平面上的屈服線/破壞線(真應力空間)Fig.1 Yield locus/failure loci of SMP criterion in π-plane (original stress space)

由圖1 可知,隨著剪切應力水平的提高,π 平面上的SMP 屈服線由近圓形趨向于光滑的曲邊外凸三角形,各向異性逐漸增強,這就是應力誘導各向異性的具體表現.

對照式(2),式(3)中的真應力自變量σ對應著原張量自變量Sa,SMP 準則f對應著各向異性函數 ψ .

2.2 兩應力空間對應關系的建立

圖2 SMP 準則在平面上的屈服線/破壞線(變換應力空間)Fig.2 Yield locus/failure loci of SMP criterion in π ? -plane (transformed stress space)

在以上分析的針對SMP 準則的數學描述中,式(3)是關于真應力σ的各向異性函數,式(5)是關于變換應力的各向同性函數.由此,可以根據SMP 準則在兩個π 平面上的幾何關系建立σ和之間的關系,并間接地推導出結構張量 ξγ的表達式.

2.2.1 等向壓縮路徑

如前所述,應力誘導各向異性就是剪切誘導各向異性,而在等向壓縮路徑下,剪應力始終為零,不存在各向異性,因此假定變換應力中的平均主應力和真應力中的平均主應力相等,即=p.

2.2.2 剪切路徑

天然的地基大多數處于K0固結狀態[27],其中K0固結是指土體在軸對稱側向約束下的垂直壓縮.而大量的地基在加荷過程中也是軸對稱的.若從天然地基中取一個土單元,土單元的受力狀態如圖3所示.

圖3 天然地基中的土單元的受力狀態Fig.3 The stress state of unit from natural foundation soil

大量的工程活動是在天然地基土上進行的,由此發展的試驗手段和土工試驗儀也是基于此種軸對稱受力而發明設計的.在這樣的背景下,人們進行了大量的三軸試驗[28-31],特別是操作簡單、條件易得的三軸壓縮試驗,并基于此獲得了許多強度參數.這些參數有的被用于指導工程實踐,有的是很多經典的強度準則如摩爾?庫倫強度準則,廣義米塞斯強度準則等所選用的強度指標.而土的彈塑性本構模型中最為經典的劍橋模型[32]就是從大量的三軸試驗總結所得的規律中發展而來的.綜上所述,對于應力的變換考慮以三軸壓縮這一點為基準,因此假設變換后的應力與不變換的應力在三軸壓縮處重合,重合的條件是

2.3 各向同性化過程中應力對應關系的求解

在變換應力空間中的SMP 準則,呈現在π 平面上應是一組同心圓.讓變換應力空間及真應力空間的主應力軸重合,在滿足前述三個假定的前提下,繪制在π 平面上的兩個空間相應的SMP 準則.SMP 準則在兩個空間中的屈服線/破壞線的具體的幾何對應關系如圖4 所示.

在圖4 中,點A′是變換應力空間中滿足三個假定條件與真應力空間中點A對應的點,兩點間對應的應力關系為

圖4 SMP 準則在真應力空間和變換應力空間中在π 平面上的對應關系Fig.4 The relation of original stress space and transformed space of SMP criterion in π-plane

解方程組(9)可得到在主應力狀態下的變換應力為

式中qc是根據SMP 準則(3)得到的三軸壓縮條件下的剪應力

進一步推廣到一般應力狀態下的變化應力張量為

式(12)把真應力空間的應力張量和變換應力空間中的應力張量一一對應了起來.

2.4 TS 方法與各向同性化定理的對照

對照式(2),將真應力空間中的SMP 準則和變換應力空間中的SMP 準則之間的關系,按照各向同性化定理表述如下

如前所述,SMP 準則f對應于式(2)中的各向異性函數 ψ,對應于式(2)中的各向同性函數 ψiso.前文已經給出了各向同性化后的耦合張量自變量的具體表達式,但結構張量 ξγ的具體數學表達式仍不明確.現對式(12)進行變換

式中的第二項可視為各向同性化定理中的結構張量ξγ,表達式為

式(15)給出了結構張量 ξγ的具體形式 ξij,且原應力自變量張量 σij與結構張量 ξij以加和的方式構成了變換應力張量.分析以上變換應力公式,可知不能從中分離出與應力無關的結構張量 ξγ,說明該結構張量 ξγ與應力相關,也即所謂的應力誘導各向異性.

式(15)中相乘的兩項,左項為變換后三軸壓縮條件下的廣義剪應力qc(=)相較于一般廣義剪應力q的差率.如前文所述,巖土材料的應力誘導各向異性是指不同應力洛德角對應的強度不同,左項中隨著洛德角變化的q和不隨洛德角變化的qc(=)之間的差率,反映了應力誘導各向異性對結構張量ξij的影響程度.

右項為應力張量相較于平均主應力的偏應力.隨著應力水平的提高,應力誘導各向異性增強,偏應力增大,對應應力狀態各方向的差異擴大,表征應力誘導各向異性的結構張量 ξij受到的影響增加.

對應力誘導各向異性結構張量 ξij的構造進行的分析表明,表征土的應力誘導各向異性的結構張量一定要反映應力變化的影響.

3 TS 方法在土的彈塑性本構模型中應用的必要性

對于土體的破壞而言,已經提出了許多如SMP 準則這類應力誘導各向異性的準則來描述其破壞或屈服時的各向異性力學特性,并不需要對其進行各向同性化處理.但對于土的彈塑性本構模型的構造來說,則涉及到屈服和正交流動兩個方面的問題,在此過程中是否需要各向同性化方法來處理其應力誘導各向異性問題還有待探討.下面將結合具體試驗結果進行深入分析.

Miura[33-34]在20 世紀80 年代進行了一系列土的三軸壓縮和三軸伸長試驗,這些試驗主要涉及到對土的屈服和塑性流動規律的探究.圖5[33]為其系列試驗數據的整理歸納結果.

在圖5 中,σa為三軸試驗條件下的軸向應力,σr為徑向應力.

圖5 部分屈服面及其對應塑性應變增量方向[33]Fig.5 Plastic strain increment directions and associated yield envelope segments[33]

圖5 中的紅色虛線和藍色實線分別為根據試驗趨勢過點B歸納出的三軸壓縮和三軸伸長的屈服線.下面對于在屈服線上的具有代表性的4 個特征點E,E′,F和B作如下分析.

(1) 點B對應的是等向壓縮的應力狀態(q=0).在點B處加載,只產生塑性體積應變,不產生塑性剪應變.此時塑性應變流動方向和p軸一致,與歸納出的屈服線正交.

(2) 點E既是三軸壓縮屈服線上的頂點,也是三軸壓縮條件下的臨界狀態應力點(q/p=Mc).在點E處加載,不產生塑性體積應變,只產生塑性剪應變.相應的塑性應變豎向流動恰好與歸納的三軸壓縮屈服線正交.

(3)點E′為三軸伸長屈服線上的臨界狀態特征點(q/p=Me).在點E′處加載,不產生塑性體積應變,只產生塑性剪應變.點E′處的塑性應變豎向流動,并不與歸納的三軸伸長屈服線正交.

(4) 點F是三軸伸長屈服線上的頂點.在點F處加載,既產生塑性剪切應變也產生塑性體積應變.其塑性應變流動方向如圖5 所示,可見并不正交于三軸伸長屈服線.

(5) 由圖5 可知,試驗中的三軸壓縮條件下的臨界狀態應力比Mc=1.3,三軸伸長條件下的臨界狀態應力比Me=0.9,Me和Mc之間的關系基本符合根據SMP 準則所得的相應關系

大量土的三軸試驗規律也與上述屈服、塑性應變流動規律一致.所以,在構造土的本構模型時,如何既能描述屈服特性,又能描述4 個特征點(見圖5)的塑性應變流動方向:在點B和點E處正交流動,在點F和點E′處非正交流動？這是一個挑戰.

3.1 真應力空間的本構模型

修正劍橋模型[35](modified cam-clay,MCC)是描述土體力學特性最經典的本構模型,其屈服函數為

式中,cp為彈塑性參數,p0為初始屈服面與p軸的交點,是塑性體應變,M是臨界狀態應力比,取三軸壓縮條件下的Mc值.

式(17)是p-q面上,以三軸壓縮試驗為基礎所構造的屈服方程.為了描述在其他應力狀態下的屈服特性,考慮三維空間中土的應力誘導各向異性,以與SMP 準則結合為例,將式(17)進一步推廣到三維應力空間,即

在圖6 的p-(σa?σr) 平面上,繪制出了由式(18)所得的三軸壓縮和三軸伸長條件下的屈服線,同時還繪出了在4 個特征點處與屈服線正交的方向.

圖6 中所繪得的屈服線與圖5 中歸納的三軸壓縮和三軸伸長條件下的屈服線形狀均基本吻合,可見式(18)所構造的屈服方程是合理的.

下面分析在屈服線上的4 個特征點B,E,E′和F處相應的正交方向是否與試驗規律一致.

圖6 中點B和點E的正交方向和圖5 中相應點的塑性應變流動方向一致,說明在三軸壓縮條件下采用式(18)及基于其的正交流動是既能滿足屈服特性又能滿足塑性應變流動方向的.

在圖6 中的三軸伸長屈服線上的點E′(臨界狀態點)和點F(屈服線上的頂點)處的正交方向均與圖5 中相應點的塑性應變流動方向不符.說明盡管式(18)能滿足三軸伸長條件下的屈服特性,但是基于其的正交方向并不能滿足三軸伸長條件下的塑性應變流動方向.

圖6 MCC 模型在p-(σa ?σr) 面上的屈服線及正交方向Fig.6 Yield locus of generalized MCC model and the orthogonal directions in p -(σa ?σr) plane

基于以上分析可知,直接在真應力空間中建立土的彈塑性本構模型,選用屈服函數f及基于其的正交流動方向存在問題.下面嘗試著在變換應力空間建立土的彈塑性本構模型的可能性.

3.2 在變換應力空間建立本構模型

為了更好地與圖5 (在真應力空間)中所歸納的試驗規律對比,特將圖7 (在變換應力空間)中的屈服線通過T S 方法中的應力對應關系表示至p-(σz?σt) 面(在真應力空間)上.同時,基于變換應力空間與真應力空間的共軸條件,再利用變換應力與真應力的對應關系,把在圖7 中面上的4 個特征點處的正交方向直接平移繪制到圖8 中p-(σa?σr) 面上的相應位置.需要特別指出的是,圖7中的點F實際上是圖8 中三軸伸長屈服線上頂點的對應點.

圖7 MCC 模型在-( ?) 面上的屈服線及其對應的正交方向Fig.7 Yield locus of generalized MCC model and the orthogonal directions in -( ?) plane

圖8 變換應力三維化的MCC 模型在p-(σa ?σr) 面上的屈服線及流動方向Fig.8 Yield locus and plastic strain flow directions of generalized MCC model using TS method in p -(σa ?σr) plane

通過比較圖8 與圖5 可知,圖8 中所表示的三軸壓縮和三軸伸長的屈服線均與圖5 中歸納的屈服線特性一致;非常有趣的是,圖8 中4 個特征點處的流動方向也均與圖5 中繪出的塑性應變流動方向一致.

下面把在上述不同應力空間平面上的MCC 模型的屈服面繪制在相應的三維空間中.

圖9 是根據式(19)繪制的與圖7 相對應的變換應力三維空間中的屈服面.

圖9 三維化MCC 模型在變換應力空間內屈服面Fig.9 Yield surface of generalized MCC model in transformed stress space

基于兩空間的應力變換式(12),將式(19)中的變換應力自變量張量變換成真應力自變量張量,可得到真應力空間中各向異性的屈服函數,同式(18).將相應的屈服面繪制在真應力三維空間中,見圖10.

圖10 是與圖8 相對應的三維真應力空間中的屈服面,其屈服面既可以由各向同性函數式(19)通過應力變換后得到,也可以直接由真應力空間中的各向異性函數式(18)繪出.

圖10 三維化MCC 模型在真應力空間內屈服面Fig.10 Yield surface of generalized MCC model in real stress space

下面繼續在兩個三維應力空間中探討塑性應變的流動方向.

如前所述,塑性應變的流動方向即通過在變換應力空間中采用正交流動法則確定,

式中,Λ 為表示塑性應變增量大小的一個標量,稱之為塑性標量因子,由所給出的塑性應變的增量方向與變換應力空間中的屈服面正交.

將變換應力空間中的屈服函數式(19)一般化表達為

式中fe為各向同性的屈服函數的應力項.

在變換應力空間中,根據式(21)所得的相容方程為

聯立式(20)和式(22)得

式(23)可進一步寫為

相容條件(24)隱含了關于屈服以及塑性應變增量分配的兩層內含,式(24)中的第一項是關于變換應力空間中屈服面的相關計算,第二項是基于變換應力空間中滿足正交條件的塑性應變增量的計算.圖11 中給出的變換應力空間的屈服面及相應的正交的塑性應變流動方向就是其幾何描述.

圖11 三維化MCC 模型的屈服面及其相應的塑性應變流動方向Fig.11 Yield surface of generalized MCC model with corresponding plastic strain directions

利用變換應力關系(12),對式(21)進一步變換得

式中fσ為各向異性的屈服函數的應力項.

對式(25)進行全微分可得

式(27)中的第一項是關于真應力空間中屈服面的相關計算,第二項則保留了基于變換應力空間中滿足正交條件的塑性應變增量的計算.與式(24)不同,式(27)同時隱含了真應力空間中的屈服以及變換應力空間中的塑性應變流動方向這兩個空間中的兩種關系.通過TS 方法中應力關系的橋梁,可將由變換應力空間正交得到的塑性應變流動方向平移至真應力空間中相應的應力點上.因此,以變換應力空間中的塑性應變流動方向所表示的真應力空間中的流動方向與試驗規律一致,但并不與真應力空間中的屈服面正交.

需要強調的是,在圖11 中真應力空間屈服面上只有三軸壓縮的子午線上的塑性應變流動方向是正交的,其他全不正交.但變換應力空間屈服面上的塑性應變流動方向全部正交.

4 結論

(1) TS 方法是鄭泉水院士的各向同性化定理的發展和具體表達.在各向異性問題各向同性化處理的過程中,TS 方法通過搭建一個應力間關系的橋梁,構造了一個能與真應力空間互相轉換的各向同性的變換應力空間,并在此空間中討論土的屈服特性和塑性流動.對于土的應力誘導各向異性的描述,TS 方法直接給出了各向同性的變換應力張量,避免了構造相應的結構張量的困難.

(2)在變換應力空間與屈服面的正交,給出了塑性應變的合理流動方向,退回到真應力空間的屈服特性又與試驗規律一致.因此,TS 方法充分地發揮了兩個應力空間的優勢,既達到了對屈服特性正確描述的目的,又解決了塑性應變的合理流動方向.