片狀顆粒間液橋力變化規律的計算研究1)

劉奉銀 姜景希 李棟棟

(西安理工大學巖土工程研究所,西安 710048)

引言

非飽和土是由氣體、液體、固體組成的多相體系[1].土水特征曲線描述了吸力與含水率之間的關系,是非飽和土力學中的基礎本構關系,對于分析非飽和土持水性、滲透性、變形及強度特性具有重要意義.然而土水特征曲線具有增、減濕路徑依賴性,反映了非飽和土增減濕過程中持水性能的變化,表現為相同吸力條件下土體中脫濕過程中賦存的水量比增濕過程多[2-4].

深入理解土水特征曲線滯回特性對非飽和土強度、變形、流動特性的影響,內因上從土性的角度涉及土的顆粒大小、級配、礦物成分、壓實度以及水的含量、賦存狀態與空間分布、孔隙氣體的賦存狀態(封閉、連通)與空間分布等因素,外因上需要考慮土體應力歷史、應力大小、應力路徑等因素[5-7].非飽和土中吸力和土水特征曲線的影響因素多,變化規律復雜,因此,固液作用機理亟待深入研究,然而僅通過宏觀土樣試驗難以解釋固液作用機理,因而從細觀角度研究土顆粒與液體相互作用機理揭示其本質更有必要.顆粒間的作用力涉及短程雙電層力、范德華力與毛細力(以下統稱液橋力).飽和土隨含水率降低進入非飽和狀態,土中產生吸力,在高飽和度、低吸力條件下,土的力學特性發生劇烈變化,此時毛細水起主要作用.而在低飽和度、高吸力條件下,土體中含水率趨于穩定[8-11].因而針對土顆粒間液橋力變化規律及其影響因素開展研究,具有重要的理論意義.

顆粒間液橋力常用的計算模型有能量法、幾何法、Young-Laplace 方程積分法[12].其中能量法有物理基礎,能考慮液體體積、接觸角的影響.幾何法假定液橋輪廓線為圓形或拋物線形(目前缺乏物理依據),幾何誤差無法避免[13-14].1926 年,Fisher[15]提出環形近似方法,并對相互接觸的顆粒系統中毛細作用進行了分析.Lian 等[16]指出基于環形近似的頸部法,在較大液橋體積、分離距離范圍內的穩態液橋的計算液橋力誤差小于10%,并基于最小能量原理確定了Young-Laplace 方程穩定數值解.Orr 等[17]基于橢圓積分求解Young-Laplace 方程,Nguyen 等[18]用微分幾何的方法求解Young-Laplace 方程,Lambert和Delchambre[19]提出雙重打靶法對Young-Laplace方程進行數值求解,同時系統闡述了基于能量法、幾何法及拉普拉斯方程法的固體顆粒間液橋力模型.

此外,由于自然界中顆粒形狀極其復雜,為了便于研究,深入理解非飽和土吸力特性的內在機理,將土顆粒簡化為規則的球體顆粒或者片狀顆粒.①當簡化為球體顆粒時,Willett 等[20]利用微分天平測量了一對等徑或不等徑的球體顆粒間附著液體時的液橋力變化;Damiano 等[21]通過小撓度的懸臂裝置,測量了一對等徑球體顆粒間液橋力的大小;Diana 等[22]和Wang 等[23]在兩顆粒拉伸試驗的基礎上進一步測量了三顆粒間液橋力的變化.②當簡化為片狀顆粒時,Sprakel 等[24]研究了在不同飽和度條件下平板和球面液橋的性質;莊大偉等[25]、朱朝飛等[26]分別從試驗和理論分析的角度研究了狹長平板間液橋的形態.

軟件模擬在一定程度上可以解決試驗過程中具體條件無法準確控制以及理論公式推導中假設脫離物理本質的困局.由K.A.Brakke 教授及其團隊整理的開源軟件Surface Evolver,能極好地模擬固、液、氣三相組成的各種穩定形態.王學衛和于洋[27]利用Surface Evolver 模擬了平面和不同曲率的球狀表面之間液橋的拉伸直至斷裂的動態過程;于洋等[28]進行了一對平面間的液橋拉伸-斷裂試驗研究,并利用Surface Evolver 進行了同條件下的液橋拉伸-斷裂模擬,但缺少對液橋拉伸直至斷裂過程中液橋力的研究.

上述關于固液相互作用的研究涉及理論、試驗、模擬等多方面,且均取得了一定的成果.然而大多研究均集中在等徑或不等徑的球體顆粒,關于片狀顆粒的液橋力在各參數影響下的變化規律研究不足.為此,選擇以片狀顆粒為研究對象,使用Surface Evolver 開源軟件擬從最小表面能原理構建三維顆粒-液橋拉伸模型,分別對固液接觸角、液橋體積、分離距離和釘扎效應等多因素影響下的液橋力變化規律展開討論,同時與環形近似解對比驗證.

1 計算模型與理論基礎

1.1 片狀顆粒間液橋力計算模型與假設

圖1 為一對平行的片狀顆粒間液橋的幾何參數示意圖,r為固液接觸半徑,R1為液橋頸部半徑,R2為液橋頸部橫截面外輪廓上一點的外切圓半徑,s為兩片狀顆粒間分離距離,θ為固液接觸角.

圖1 一對片狀顆粒間液橋幾何參數Fig.1 Geometric parameters of liquid bridge between a pair of flaky particles

顆粒間液橋力與其形態密切相關,為了便于研究,此處有如下假設:

(1)片狀顆粒在拉伸過程中彼此平行,且顆粒表面光滑無摩擦;

(2)液橋在顆粒間呈軸對稱分布,且固液接觸區域為圓形;

(3)假定液橋拉伸過程中彎液面形態為圓弧,不計重力,且固液接觸角保持不變,體積守恒.

1.2 基于能量法的液橋力計算

在靜態條件下,顆粒間液橋總是趨于收縮成具有最小表面能的形態,其間液橋力等于系統關于無限小位移的能量變化率的負值.由于忽略了重力勢能,且液橋拉伸過程中液體體積恒定,即

液橋的表面能就是系統的總能量,因此,顆粒間液橋力計算公式為

式中,E和El分別是準靜態系統的最小總能量和最小表面能,s是顆粒間分離距離,δs是顆粒間微小位移,Fcap是顆粒間液橋力.

由于表面能與顆粒間液橋形態直接相關,為此,選擇Surface Evolver 軟件[29-30],基于所研究液體在給定條件下向系統總能量最小化狀態演變的原理,模擬片狀顆粒-液橋拉伸斷裂過程.圖2 是利用Surface Evolver 建立的片狀顆粒-液橋三維重構模型,其間,上下部灰色區域是固體片狀顆粒,中間藍色區域為液橋.利用Young 方程cosθ=(σSV?σSL)/σ,其中,θ為固液接觸角,σ,σSL,σSV分別是氣液、固液、固氣單位界面能,表示單位表面積所具有的自由能.系統的總能量表達式為

圖2 片狀顆粒-液橋三維重構模型Fig.2 Three-dimensional reconstruction model of plate-particle and liquid bridge

1.3 基于環形近似的液橋力計算

作用在片狀顆粒上的液橋力Fcap由兩部分組成,一部分是沿彎液面切線方向的表面張力分量,一部分是液體的內外壓差,表達式為

式中,ΔP為氣液界面內外壓差,γ為液體的表面張力,θ是液體與兩平面之間的接觸角,r表示固液接觸半徑,如圖1 所示.穩定時液橋的彎液面形態用Young-Laplace 方程[31]描述為

式中,P1為液體壓強,P2為氣體壓強,n為指向表面外的單位法向量.根據文獻[32]對液橋表面輪廓的數學描述,結合圖1,液橋表面輪廓滿足函數x=x(z),有

式中,H為由式(6)定義的液橋子午剖面的平均曲率.當假設液橋拉伸過程中彎液面形態為圓弧時,基于環形近似,同時將液體部分近似為圓柱體,圓柱半徑取液橋頸部半徑和固液接觸半徑的中間值時,可推得如下簡化的液橋力表達式[33]為

2 結果與討論

根據建立的顆粒-液橋模型,液體為蒸餾水,γ=0.072 N/m,進行不同條件下的液橋拉伸模擬,其具體方案設計和材料參數如表1 所示.

表1 方案設計與材料參數Table 1 Experimental design and the parameters of material

需要注意的是,下文中如果沒有特別強調,則在模擬過程中顆粒-液橋系統的三相接觸線是可以進行滑移的,從而保持固液接觸角為常數.

2.1 液橋體積與固液接觸角的影響

圖3 是當固液接觸角不變(此處,以θ=30°為例)時,不同分離距離下顆粒間液橋力隨液橋體積的變化關系曲線.

圖3 固液接觸角θ=30°時,片狀顆粒間液橋力與分離距離和液橋體積的變化規律Fig.3 The evolution of the liquid bridge force between the flake particles,the separation distance and the volume of the liquid bridge,when the solid-liquid contact angle θ=30°

從圖3 中可以看出,在其他條件相同時,隨其間液橋體積的增大,片狀顆粒間液橋力整體上呈線性遞增的趨勢.當兩顆粒間的分離距離越小時,隨著液橋體積的增加,其液橋力的變化幅度越大,變化速率越快,此結果與文獻[34]中的描述一致,這是因為相同條件下,液橋體積增大時,液體與片狀顆粒表面的浸潤區域擴大,固液間黏附力增大,此時液橋頸部半徑增加,液橋穩定性增強.

圖4 是當液橋體積固定不變時,不同分離距離下顆粒間液橋力隨固液接觸角的變化曲線,其中,圖4(a)～ 圖4(c) 分別對應液橋的體積為0.1 μL,0.5 μL,1.0 μL.整體上看,液橋體積固定時,當顆粒間分離距離s<0.5 mm 時,隨著固液接觸角的增大,其液橋力逐漸降低,且降低的速率不斷增大,這是因為接觸角大小表示了液體對固體表面的浸潤性大小,距離較小時,液橋力對接觸角敏感度大,接觸角越小,液體對該固體表面的浸潤性越好,導致相同條件下液橋力越大;當顆粒間分離距離s≥0.5 mm 時,其液橋力值會隨固液接觸角的增加先增大然后緩慢降低,體積越小,這種現象越明顯,且當分離距離越小,液橋力的變化幅度越大.這是因為,顆粒間距較大時,液橋力對接觸角敏感度降低,導致液橋力變化小.

圖4 固定液橋體積分別為(a) 0.1 μL;(b) 0.5 μL;(c) 1.0 μL 時的一系列分離距離下的液橋力隨固液接觸角的變化規律Fig.4 The capillary force evolution of a fixed liquid bridge with a fixed volume of (a) 0.1 μL (b) 0.5 μL and (c) 1.0 μL at a series of separation distances with solid-liquid contact angle was studied

2.2 拉伸過程中的液橋形態及接觸半徑

圖5 為初始條件液橋體積V=2 μL,固液接觸角θ=0°時液橋拉伸至斷裂過程中的形態演變.其中,圖5(a)是液橋在初始距離s=0.5 mm 時形成的穩定形態,此時的固液接觸半徑r=1.290 mm,頸部半徑R1=1.108 mm,s<2R1,液橋呈現扁平型.隨著顆粒間距離的增大,液橋被拉伸,其頸部收縮,固液接觸區域變小,具體表現為顆粒-液橋系統的三相接觸線在液橋被拉伸的過程中會向內產生滑移,即液橋為了維持自身的穩定性,需要不斷地改變自身形態和位置,如圖5(a)～ 圖5(e)所展示的液橋形狀變化,在這個過程中s<2R1,固液接觸半徑一直在減小,液橋均呈現扁平型.當顆粒間距離增加到1.0～1.2 mm 之間某一數值附近時,s=2R1,即液橋形態達到轉折點,會呈現短暫的中間型,固液接觸半徑也達到最小值,此時的液橋形態介于圖5(e)和圖5(f)之間.此后,兩顆粒不斷分離,液橋頸部不斷收縮,s>2R1,液橋形態呈現細長型,如圖5(f)～ 圖5(i)所示,固液接觸區域不再內收,而開始向外擴張,即三相接觸線開始向外滑移,接觸半徑增大.當顆粒間距接近斷裂距離時,顆粒間液橋形態開始急劇變化,具體表現為:固液接觸區域迅速擴張,液橋頸部急劇收縮,此時液橋處于極不穩定的狀態,極其微小的擾動就會導致液橋斷裂,斷裂后的液橋會被分割成兩部分,分別附著上下固體顆粒表面,并在自由狀態下向外擴散達到新的穩定狀態.

圖5 V=2.0 μL,θ=0°時液橋拉伸過程中的形態演變Fig.5 Morphology evolution of liquid bridge during stretching at V=2.0 μL,θ=0°

為了定量化描述液橋拉伸過程中其形態和位置的變化,將液橋在拉伸過程中其子午剖面平均曲率、固液接觸半徑和頸部半徑隨分離距離的變化關系繪制如圖6 所示.從圖中可以看出,隨著分離距離的增大,其平均曲率一直遞減,且遞減的速率開始時很快,隨著顆粒間距增大逐漸變慢,接近斷裂時遞減的速率又急劇增加,而液橋頸部半徑和平均曲率具有相同的變化趨勢;不同的是,液橋在拉伸過程中其固液接觸半徑會先緩慢減小,而后會有一個短暫的基本穩定值,隨后,又緩慢增大,接近斷裂時會急劇增大.

圖6 V=2.0 μL,θ=0°時液橋拉伸過程中幾何參數變化Fig.6 Geometric parameters change in liquid bridge stretching process with V=2.0 μL,θ=0°

2.3 自由滑移時液橋力的演化規律

圖7(a)和圖7(b)分別為恒定液橋體積下改變固液接觸角和恒定固液接觸角下改變液橋體積時其液橋力隨顆粒間分離距離的關系曲線.從圖中可以看出,所有條件下,顆粒間液橋力均在初始狀態下處于最大值,隨著其間分離距離的增加,其液橋力值不斷降低,最后隨著液橋的破裂而消失,且其液橋力降低的速率都是由快變慢,最后在接近斷裂時又急劇增加.這與文獻[34-35]所得結果一致,這是因為片狀顆粒間分離距離的變化導致液橋形狀發生改變,表現為液橋平均曲率改變及三相接觸線不斷滑移,如圖6 所示,在這個過程中,液橋穩定性減弱,液橋力減小,直至顆粒間分離距離增加到一定值時液橋無法再保持穩定而斷裂,液橋力消失.由此表明,片狀黏土樣孔隙越小,顆粒間相互作用力越強,越有利于黏土樣吸持水分.

圖7 不同條件下片狀顆粒間液橋力隨分離距離的變化規律Fig.7 The evolution of liquid-bridge capillary force with separation distance under different conditions

值得注意的是,對于圖7(a),在恒定液橋體積為0.1 μL 的條件下,當顆粒間分離距離小于0.5 mm 時,固液接觸角愈小的液橋力愈大;而當顆粒間分離距離大于0.5 mm 時,固液接觸角愈大的液橋力愈大,這說明不同固液接觸角對應的液橋力曲線隨著分離距離的增加存在一個交點,而在這個交點前后,液橋力大小反轉.對于圖7(b),在恒定固液接觸角為30°的條件下,體積為0.1 μL 的曲線整體最低,體積為4.0 μL 的曲線最高,且各曲線均表現出液橋力隨著分離距離的增大而減小.

所有的初始顆粒間距均為0.16 mm,此條件下形成液橋,此時的液橋力記為初始液橋力,隨后,增大顆粒間距,液橋被拉伸直至被拉斷.值得注意的是,當顆粒間距較小時,微小的擾動便會引起其間液橋力值的劇烈變化,即變化速率大,而隨著分離距離的增加,液橋力值的變化速率逐漸降低,直到液橋接近斷裂時,其液橋力的變化速率會突然增大,而后趨近于0.如果將液橋斷裂距離與其初始距離之間的差值記為液橋的總伸長量l,則液橋拉伸過程中的每一個位置處的伸長量記為ls,ls與l的比值記為拉伸率δ;同時,由于片狀顆粒間的液橋力在初始位置處最大,其液橋的拉伸過程是液橋力的減小過程,則液橋力在拉伸過程中的損失率即為其初始液橋力與每一個分離距離下液橋力的差值對初始液橋力的比值.以圖7(a)中的模擬結果為例,繪制出液橋力損失率與其對應伸長率之間的關系曲線,見圖8,可以看出,當液橋伸長率接近30%時,其液橋力的損失已經高達50%以上,可見液橋力的損失主要集中在拉伸過程的前期.

圖8 V=0.1 μL 時顆粒間液橋損失率隨伸長率的關系Fig.8 Relationship between loss ratio of liquid bridge between particles and elongation at 0.1 μL

2.4 釘扎效應對其液橋力的影響

從學者們的研究[36-37]發現,土水特征曲線存在滯回現象,究其原因,一方面是因為土體在增濕和減濕過程中接觸角的不同,即接觸角的滯后;另一方面則是因為土體內不規則的孔隙分布造成的毛細現象.其中,孔隙分布涉及非飽和土樣的幾何特征,而接觸角滯后是滯回現象的微觀機理.

在實際液橋拉伸過程中,由于物理或化學的不均勻性,固體顆粒表面并不光滑,致使液橋在被拉伸時并非一直在理想狀態下滑移,而是階段性地有釘扎效應.所謂釘扎效應,實際上是液橋在被拉伸過程中由于固體表面的束縛而導致其固液氣三相接觸線被約束在固體表面而局部不能向后退縮的現象,表現為接觸角的滯后.當液橋釘扎時,其固液接觸半徑不變,而固液接觸角變化;當液橋掙脫釘扎時,則固液接觸角不變,而固液接觸半徑變化,即接觸角的滯后會阻礙三相接觸線的滑移[38-40].實際過程中一次完整的液橋拉伸其實伴隨著液橋釘扎與退縮的交替進行,實際過程太過復雜,目前無法全部考慮,為方便研究,考慮主要因素的簡化情況,即三相接觸線一直處于釘扎狀態下,液橋力隨分離距離的變化規律.

圖9 為給定液橋體積V=2.0 μL,并在自由滑移和釘扎兩種狀態下分別進行液橋拉伸的模擬結果.橫坐標為拉伸過程中顆粒間分離距離,縱坐標為對應分離距離處液橋力的變化.從曲線結果看,在自由滑移狀態下,對應于恒定的固液接觸角,其液橋力隨分離距離的增加一直遞減;而在釘扎條件下,對應于恒定的固液接觸半徑,其液橋力隨分離距離的增加先增大,直到峰值出現,隨后一直遞減.兩種狀態下的模擬結果對比表明,液橋釘扎的特征在于力隨分離距離的增加存在一個峰值,這是因為釘扎效應使得液橋在被拉伸過程中無法向內或向外滑移以調整自身的穩定性,而使接觸角發生跳躍變化,導致液橋力受接觸角與分離距離共同主導,液橋穩定性較差,不利于片狀黏土顆粒持水.

圖9 液橋釘扎和自由滑移下液橋力的變化Fig.9 Evolution of liquid-bridge forces under hydraulic bridge nailing and free slip

如圖9,在固液接觸半徑分別為1.050 mm,0.976 mm,0.939 mm,0.866 mm 時,其對應的液橋力峰值點分別為f1,f2,f3,f4,可以看出,液橋釘扎的范圍越大,其液橋力峰值就越高,隨距離的增加出現的也就越早,隨著分離距離的增加,為適應分離距離的變化,其固液接觸角會不斷發生調整;與之對應的是液橋處于自由滑移狀態時,增加分離距離會使三相接觸線前進或后退,具體表現為固液接觸半徑會不斷減小至最小值,隨后保持基本穩定,在接近斷裂時迅速增大,如圖6(b)所示.由此可知,液橋釘扎效應的產生會影響液橋的穩定性,使液橋力減小,削弱顆粒間相互作用,不利于片狀黏土顆粒吸持水分.

2.5 與環形近似解的對比分析

上述結果是基于Surface Evolver 從能量角度對片狀顆粒間液橋力的數值解,為了分析模擬結果的可靠性,將對液橋體積V=1.0 μL,液橋處于自由滑移狀態下拉伸的結果為例,與同條件下的環形近似解[33]進行對比分析,環形近似的相關理論如1.3 小節內容所述.液橋力采用式(7)計算,計算結果和數值解的對比見圖10(a).

從圖中可以看出,數值解和已有的環形近似解整體規律一致,且對于不同的固液接觸角以及不同的分離距離范圍內二者在數值上相差不大.對圖10(a)中的結果進行誤差分析,繪制如圖10(b)所示的相對誤差隨液橋拉伸率的關系曲線.其中,當θ=60°和θ=80°,數值解和環形近似解在斷裂前整個拉伸過程中的結果都具有極好的一致性,二者之間的誤差相對于環形近似解基本上在6%以內,在斷裂前,二者的誤差急劇增加;當固液接觸角θ為0°,15°,30°,液橋的拉伸率在10% 以內時,二者的誤差基本在6%以下,而隨著液橋拉伸率的增加,其誤差會不斷增大,當增加到30%時,二者之間的最大誤差會迅速增加到40%.

圖10 恒定液橋體積為1.0 μL,不同固-液接觸角下其(a)液橋力的數值解和環形近似解的對比及其(b)誤差分析Fig.10 Comparison of (a) numerical solution and annular approximate solution and (b) its error analysis when the constant liquid bridge volume is 1.0 μL,the liquid bridge force at different solid-liquid contact angles

對于上述現象,是由于環形近似并不能完整描述整個液橋拉伸過程中其外輪廓的形態變化,實際中液橋只有在小距離時其外輪廓比較接近于環形,而隨著顆粒間距離的增加,液橋被拉長,頸部收縮,其外部輪廓的形態會逐漸偏離環形,且顆粒間距越大,這種偏離程度會越嚴重,當接近最大分離距離時,液橋形態變得極不穩定,具體表現為其頸部收縮加劇.另一方面,接觸角越小時,固體顆粒對液橋的影響越大,即在拉伸的過程中液橋越不穩定,所以表現為接觸角越小時,液橋力的數值解和環形近似解的誤差越大.

3 結論

利用開源軟件Surface Evolver 通過最小表面能原理建立了片狀顆粒-液橋三維模型,在此基礎上系統地研究了液橋體積在0.1～ 4.0 μL,接觸角在0～80°條件下,液橋力與固液接觸半徑的變化規律,并與環形近似解進行了比較;同時,還研究了釘扎效應對模擬結果的影響,結論如下.

(1) 片狀顆粒間在初始位置處(初始間距0.16 mm)存在峰值液橋力,最大液橋力在0.197～21.831 mN 之間內變化,其中,當固液接觸角為80°,液橋體積為0.1 μL 時,峰值液橋力有最小值0.197 mN;當固液接觸角為0°,液橋體積為0.1 μL 時,峰值液橋力有最大值21.831 mN.

(2) 片狀顆粒間液橋在拉伸過程中,其固液接觸半徑均先呈現遞減的趨勢,而后保持水平,隨后在接近斷裂時急劇增大;與此同時,隨著分離距離的增加,液橋形態會經歷扁平型、中間型和細長型三種形態變化.

(3) 當其他條件相同時,片狀顆粒間液橋力在一定范圍內隨其體積的增大基本呈現線性遞增;隨分離距離的增大呈現遞減的趨勢,且遞增的速率先快后慢;隨固液接觸角的增大先增后減或一直遞減.

(4) 液橋體積一定時,在釘扎狀態下,其液橋力會隨著分離距離的增大迅速遞增達到峰值,而后逐漸降低.