數學小課題研究的“三項注意”

王雪晶

摘要：數學小課題研究，主要是在綜合與實踐理念的指導下，綜合運用數學知識與方法，多維探索，展開猜測、驗證、推理、計算、觀察、操作、調查、交流等活動，解決現實問題。在教學內容、教學活動、教學評價三個方面，需要注意以下三點：研究內容要兼顧現實性與數學性，突出趣味性與開放性;以學生為主體，促進學生經歷完整的研究過程;引導學生反思研究過程，發展元認知能力。

關鍵詞：數學小課題研究;綜合與實踐;“腳長與身高的關系”

數學小課題研究，就是在綜合與實踐理念的指導下，直面現實生活中的各種綜合性問題，運用已有數學知識與方法，通過查閱資料、調查分析、實驗操作與觀察、推理與計算等手段，經歷探索、研究、實踐、發現等過程，處理信息、解決問題，并運用數學的語言表達見解、得出個性化結論的活動，可以幫助學生增強應用意識、創新意識，積累數學活動經驗，提升數學核心素養。本文結合筆者的教學實踐與思考，以“腳長與身高的關系”（安排在四年級的“統計與概率”內容后）為例，談談帶領學生開展數學小課題研究需要注意些什么。

一、研究內容要兼顧現實性與數學性，突出趣味性與開放性

數學小課題研究，主要是運用數學知識與方法解決現實問題。因此，課題（研究內容）選擇應該兼顧現實性與數學性，引導學生用數學的眼光觀察現實世界（生活現象），提出有關問題;同時，突出趣味性與開放性，能引起學生的研究興趣，具有一定的研究空間。

【片段1】

師老師前一段時間看了一個綜藝節目，有一個片段很有意思，想分享給大家，我們一起看一看。（播放綜藝節目片段視頻，內容是一位足跡專家通過測量腳印長度準確地推斷出留下腳印的嘉賓的身高、年齡等個人信息）同學們，視頻中的警官是怎么推測出嘉賓身高的？

生測量腳印長度。

師哦，知道腳長就能知道身高。你有什么想說的嗎？

生為什么知道腳長就能知道身高呢？

生我覺得，腳長和身高之間可能存在一些關系。

生我想知道，腳長和身高之間究竟存在什么樣的關系。

師同學們都很善于思考！沒錯，腳長和身高之間確實存在一定的關系。今天，我們就來研究“腳長與身高的關系”。

這里，教師利用“足跡專家通過測量腳印長度推斷出留下腳印的嘉賓的身高”這一現實行為，激起學生的好奇，引發學生的思考，讓學生自己提煉出“腳長與身高的關系”的課題。這一課題不僅真實、有趣，而且與數學有關，可利用統計的知識與方法研究，同時研究方法與結論具有一定的開放性，小學生可利用平均數的知識初步解決，高中生則可利用相關性分析和線性回歸（擬合）的知識嘗試解決。

二、以學生為主體，促進學生經歷完整的研究過程

學生主動參與、親身經歷是數學小課題研究的主要特征。學生要在綜合運用數學知識與方法解決現實問題的過程中，多維探索，展開猜測、驗證、推理、計算、觀察、操作、調查、交流等活動。這些活動不僅是解決問題所必需的，而且是重要的過程性目標。在教學中，教師要以學生為主體，引導學生經歷數學小課題研究的完整過程。

【片段2】

師在研究之前，你們大膽地猜想一下：腳長和身高之間可能存在什么樣的關系？

生身高越高，腳長越長。

生身高和腳長可能存在倍數關系。

師我們做數學研究光有猜想可不行，有了猜想還得怎么樣？

生（齊）驗證。

師要驗證“身高和腳長存在一定的倍數關系”這個猜想，你想怎么做？小組內交流，設計出你們的研究方案。

生我們小組的方案是，先搜集一些身高和腳長的信息，然后計算出它們的商，看是不是有倍數關系。

……

[教師結合學生的回答，相機板貼：收集數據、計算（身高÷腳長）、分析數據。]

師對，收集數據、整理數據、分析數據是統計的基本方法，我們學過的統計知識都是圍繞這一方法展開的，而統計可以幫助我們解決很多現實問題。那么，收集多少身高和腳長的數據合適呢？一個人的身高和腳長行嗎？

生太少了，越多越好。

師是的。數據越多，越能看出有沒有規律，得到的結論也越符合實際的情況。但是，世界上有那么多人，有那么多的身高和腳長數據，我們能把這些數據都收集到嗎？

生太難了！

生辦不到。

師是的，辦不到，但其實，也不需要。根據一些客觀規律，可以隨機抽取一部分數據，用來代表所有的數據。這就是統計中的抽樣方法，同學們到中學會進一步學習，這里不細說。回到我們的問題，今天我們大家坐在一起學習，怎么利用集體的力量獲得盡可能多的數據呢？

生把我們每個人的身高和腳長數據匯總到一起。

師很好！除了我們自己的數據，還可以加上我們熟悉的人（比如家人）的數據哦。昨天，老師請同學們做了一份自己的家庭檔案，其中有你需要的數據嗎？

生有，有我爸爸、媽媽、爺爺、奶奶的身高和腳長數據。

師那我們就來匯總一下吧。全班直接匯總到老師這兒要用很多時間，那就各個小組先匯總到組長那兒吧。老師給每個小組發了一張表，請組長將組員和家人的身高和腳長數據填在表中，填完表的格子為止，并分別計算出它們的商。

（學生小組統計、計算。）

師（投影展示各個小組完成的表格）全班的數據都在這里，觀察“商”這一欄，有什么感覺嗎？

生商都很接近。

生有幾個商與其他的差距大一點。

師這樣的商多嗎？

生很少。

師這是一個很重要的發現。由此，拋開測量誤差以及各種導致個體差異的因素不談，我們可以認為，身高和腳長確實存在一定的倍數關系。但是，這些商畢竟還是有一些差異的，那么，取什么數據來表示身高和腳長的倍數關系最合理呢？

生用平均數。

師沒錯，我們剛剛學習了平均數，平均數是一個重要的統計量，可以代表一組數的水平。不過，我們也知道，平均數代表一組數的水平也有一定的局限性，主要是一組數中，如果有一個（些）數特別大或特別小，那么平均數受其影響，就不能很好地代表一組數的水平。這時，可以怎么辦？

生去掉最大值和最小值。

師很好！既然異常的值可能影響平均數的代表性，我們就把它們去掉。去掉最大值和最小值是一個好方法。這樣，我們能不能算一算全班數據的平均數？

（學生遲疑。）

師有什么困難嗎？

生有一百多個數據，算起來太麻煩了！

師有什么好辦法嗎？

生可以先算出各小組數據的平均數，再算出全班數據的平均數。

師同意嗎？（稍停）這里有一個問題：怎么由各小組數據的平均數得到全班數據的平均數？

生對各小組數據的平均數再求平均數？

師為什么各小組數據平均數的平均數等于全班數據的平均數？

（學生遲疑。）

師這個問題有一點難度，和同學們今后會學到的加權平均數有關。老師來舉一個例子，一組數是1、2，一組數是3、4、5，它們的平均數分別是多少？它們合在一起的平均數是多少？

生它們的平均數分別是1.5和4，它們合在一起的平均數是3。

師1.5和4的平均數是多少？等于3嗎？

生2.75，不等于3。

（學生驚奇。）

師為什么會這樣？（稍停）其實，是因為這兩組數據的個數不等。只要各組數的個數相等，它們平均數的平均數就等于合在一起的平均數了。有興趣的同學課后可以仔細想一想為什么。那么，我們可以用這個方法算全班數據的平均數嗎？為什么？

生可以。因為每組的表格中都只有10個數據。

師那我們就來算一下吧。

（學生分組計算，匯總再算。）

師最終結果是多少？

生6.72。

師這說明身高大約是腳長的6.72倍。為什么是大約？

生因為我們用平均數代表了一組數，而一組數中的每個數其實都不一樣，也就是說，具體到每個人，身高不一定是腳長的6.72倍，但差不多是腳長的6.72倍。

生還因為我們用一個班同學和家人的數據代表了所有人的數據，而其他人群的數據可能和我們班的不一樣。

師同學們很厲害，已經知道平均數和抽樣方法的意義和局限性了。其實，通過更多數據的分析，人們發現了身高與腳長有一定的倍數關系，這個倍數關系因為地區、種族、性別、年齡等因素，會有一些差別。而我們只是通過腳長推斷大約的身高，為了方便計算，通常說身高大約是腳長的7倍。

這里，教師引導學生直面問題，展開自然、深入的思考和探究，先根據經驗提出猜想，再聯系實際制訂驗證方案，然后經歷收集數據、整理數據、計算以及分析數據的驗證過程，最終得出結論，經歷課題研究的全過程。這一過程中，教師以學生為主體，充分尊重學生的想法，讓學生相互交流，只在學生認識不夠到位之處介入講解;特別是，在制訂驗證方案、選擇統計量及其計算方法、認識驗證結果時，教師不斷追問，引發學生的認知沖突，促進學生展開合情推理以及統計推斷，完善想法，加深理解。

三、引導學生反思研究過程，發展元認知能力

“成長=經驗+反思”，這是波斯納的成長公式。評價具有促進反思、激勵與改進教學的功能。學生經歷了數學小課題研究的完整過程后，教師可以通過評價，引導學生反思研究過程，以感悟研究方法，發展元認知能力（學習遷移能力），并找到不足之處，明確改進的方向。

【片段3】

師回顧一下剛剛的研究，看看我們做得怎么樣，有哪些經驗與教訓值得總結。首先，我們經歷了哪些過程？

生我們經歷了猜想，收集數據，整理數據，計算、分析數據和得出結論的過程。

生我們經歷了猜想、驗證和得出結論的過程。

師沒錯，收集數據、整理數據、計算和分析數據就是驗證猜想的過程。如果換一個課題，可能驗證的方法會不同，但依然要經歷猜想、驗證、得出結論的過程。（稍停）那么，在今天的研究過程中，我們用到了哪些數學知識和方法呢？

生統計的方法，平均數的知識。

師你覺得自己本節課的表現如何？（出示自我評價卡，如圖1所示）根據自己的表現完成自我評價卡。

師我來采訪幾位同學，每一項給自己打了幾顆星，有什么需要改進的地方。

生第一項5顆星，第二項3顆星，第三項4顆星;我覺得我需要改進的地方是在小組合作方面不夠積極。

生第一項5顆星，第二項4顆星，第三項3顆星;我覺得我需要改進的地方是不知道怎么反思。

……

師同學們的自我評價基本上比較客觀，既看到了優點，也看到了不足，很了不起！只要改進自己的不足，就能成為更好的自己，加油！

師最后，老師想請一些同學談談上完這節課的收獲以及感受。

生我知道了身高和腳長之間的關系，我也能根據腳印判斷身高了。

生小課題研究很有意思，我還想研究腳長和年齡有什么關系。

生只要用心去觀察，用數學的眼光去發現，用數學的方法去研究，就可能得出一些有趣的結論，幫助我們解決難題。

生原來我們身邊處處都有數學，學好數學真的很有用！

……

這里，教師引導學生帶著評價的目的反思研究過程，體會研究思路與方法，然后利用評價的工具評價研究過程，找到自己的不足之處，最后進一步提升認識，感悟數學的價值。這樣的做法，有助于學生提升活動經驗，實現從知識、經驗向能力、素養的轉化。