從科研思想角度出發對高等數學中泰勒公式的一點淺析

譚秀輝 王鵬 李有文 張庚為

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?從泰勒公式在科研中的應用出發，討論了對同一函數的逼近問題中設置不同的泰勒展開點及泰勒展開式階數的重要作用，為泰勒展開式的實際應用提供一定的參考依據。

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?泰勒公式;泰勒展開式誤差;科研思想;高等數學

[中圖分類號] ?G642 ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號] ?2096-0603（2022）25-0052-03

現階段是科技高速發展的時代，是一個急需各類高素質創新型人才的時代，高校承擔著培養科技人才的主要任務，因此培養出具有一定科研素質及科研能力的本科畢業生是本科教學階段的一個重要任務。高等數學課程是工科專業本科生的必修課程，也是工科類學生在各自研究領域必然會應用到的知識儲備，在有限的學習時間內，高等數學課程的教學內容多而廣，同時教學要求往往在短短的兩個學期內完成，這就會造成很多時候學生對高等數學課程的學習往往只停留在知識點的表面，看似已經掌握了，但當真正遇到科研問題時往往不能夠將相應的知識與問題自然地聯系起來，要做到游刃有余地將高等數學知識應用于問題之中仍存在很大的差距。一方面掌握了高等數學這門基礎知識工具的學生，并不知曉這些工具知識的深遠意義及實際用途。另一方面當他們進入更高層次學習階段進行具體問題研究時，面對已修過的數學基礎知識又茫然不知從何入手。因此，在高等數學教學中對一些知識點教授需要教師進行深入的研究和設計。

泰勒公式是高等數學教學中的難點、重點，也是教學方法討論比較多的對象[1]。很多學生對這一部分知識的學習帶有一定的抵觸情緒，主要源于泰勒公式的表達形式較繁雜，這是因為學生對泰勒公式的本質及作用不能深刻體會。此部分的教學步驟通常沿用教材中的安排：首先介紹定理內容，其次進行證明，再次是一些基本函數的泰勒展開式，最后介紹一些簡單的應用。這樣的教學安排從邏輯推理上非常嚴謹，但對學生的學習理解過程并非最佳。為了讓學生更好地理解泰勒公式的內涵，很多更加生動的導入方法被提出，如例題導入法、直觀導入法、類比法、誤差“撿回法”[1]等。

繪制各點處不同階數泰勒展開式對應的圖形如圖1，為了對比方便，區間分別取以展開點為中心、6為半徑的區間進行觀察。可以看到，從二階展開式一次函數的直線型擬合逐步過渡到越來越接近原曲線走勢的八階多項式展開式對應圖像，隨著展開式階數的增加對函數f（x）=ex的近似逼近程度越來越高，由于在展開處具有相應階數導數相等，因此曲線具有相同的性態，并且這種共同的性態隨著泰勒展開式階數的提高而增多，因此擬合精度更高。當自變量遠離展開點時，這種共同性態的誤差逐漸顯現，隨著展開階數的增加可以看出誤差“撿回”[3]的過程。

如圖2所示為泰勒展示與函數f（x）=ex真實值之間的絕對誤差，同樣在以展開點為中心、6為半徑范圍內進行繪圖。可以看出在不同點處進行泰勒展開式時，其附近的絕對誤差是有區別的，同樣是距離中心點距離相等的點處，誤差的數量級有巨大的差別，同樣距離展開點距離為6的點處，相同階數展開式的絕對誤差數量級從10變化到105，這與f（x）=ex曲線不同區間形態變化的劇烈程度密切相關。因此在具體問題的泰勒公式應用過程中，要密切關注這一因素所引起的變化。

總之，對于泰勒公式的理解需要向學生強調以下幾點：第一，泰勒公式以增加更高次數冪函數項使函數逼近精度不斷提高，這種精度上的提高依據具體要求而定，展開項數可進行調節。第二，泰勒公式的展開是以x0為中心進行的，即要求所處理的問題要在x0處具有各階導數，并且導數值易于求出。第三，泰勒公式的近似是以x向x0的接近程度為前提的，因此要明確問題所考慮范疇是否圍繞x0進行，即選擇恰當的x0點處對函數進行泰勒公式展開也是具體問題中的重要因素。

參考文獻：

[1]智紅燕，張丹青，張艷華，等.“泰勒公式”的導入與剖析[J].教育教學論壇，2021（1）：125-128.

[2]同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[3]康建梅，陳占華，鄭麗霞，等.對“泰勒公式”教學的探討[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版），2017，30（3）：139-141.

編輯 馬燕萍

An Analysis of Taylor’s Formula in Higher Mathematics from the Perspective of Research Thought

TAN Xiu-hui，WANG Peng，LI You-wen ，ZHANG Geng-wei

Abstract：From the application of Taylor’s formula in scientific research， the important role of setting different Taylor expansion points and the order of Taylor expansions in approximation problems for the same function is discussed to provide some reference basis for the practical application of Taylor expansions quality of students’ mathematical thinking.

Keywords：Taylor formula;error of Taylor’s formula;scientific research thought;Advanced Mathematics