立足數學核心素養的高中數學實驗課的教學設計案例
——以“雙曲線與直線的位置關系”為例

◎辛蘭萍(山東省聊城市第一實驗學校，山東 聊城 252800)

數學核心素養倡導自主、合作、探究學習，注重學生的學習過程，要求學生參與特定的數學活動，并在具體的情境中，通過觀察、實驗、推理等活動發現對象的某些特征與其他對象的區別與聯系.美國著名的哲學家、教育家杜威認為：知識的獲得不是個體旁觀的過程，而是探究的過程，探究是主體在與某種不確定的情景相聯系時所產生的解決問題的行動.在行動中，知識不是存在于旁觀者的被動的理解中，而是表現為主體對不確定情景的積極反應.知識是個體主動探究的結果.”數學實驗課的實質是：教師創設實驗問題情景，學生自己動手操作，把靜態的灌輸學習轉化為動態的數學探究，利用計算機等媒介，以數學理論為原理，以數學素材為對象，通過數值分析、圖形演示等來實例分析，開展探究性問題的教與學.下面本文以“雙曲線與直線的位置關系”為例開展數學實驗課.

一、課前準備

教師給每臺電腦安裝好GeoGebra，并對學生進行必要的技術培訓，制作實驗報告單(如下表).

實驗名稱雙曲線與直線的位置關系實驗地點、人員指導教師日期實驗器材電腦(每個同學一臺)、希沃電子白板、希沃助手、Geo-Gebra等實驗原理:在數學實驗環境下,利用GeoGebra平臺創建過定點直線系,通過改變滑動條,觀察雙曲線與直線相離、相切、相交的位置關系,應用運動變化的觀點,從特殊到一般,結合以數論形、數形結合、分類討論的數學思想總結出雙曲線與直線的位置關系實驗步驟:(1)學生打開GeoGebra和教師同步作圖;(2)繪制雙曲線x2a2-y2b2=1及直線y=kx+b的圖像;(3)通過創建滑動條k,改變直線的斜率,探索直線y=kx(過原點的直線系)與雙曲線x2a2-y2b2=1相離、相切、相交時滿足的條件;(4)通過滑動條,改變直線的斜率,探究直線y=k(x-2a)[過雙曲線張口內部定點(2a,0)的直線]與雙曲線x2a2-y2b2=1相離、相切、相交時滿足的條件;(5)通過滑動條k,改變直線的斜率,探究直線y=kx-1[過定點(0,1)的直線系]與雙曲線x2a2-y2b2=1相離、相切、相交時滿足的條件;(6)應用運動變化的觀點,從特殊到一般,借助數形結合、分類討論的數學思想總結出雙曲線與直線的位置關系

實驗數據處理表(一)斜率交點個數雙曲線與直線的位置關系實驗數據處理表(二)斜率交點個數雙曲線與直線的位置關系實驗數據處理表(三)斜率交點個數雙曲線與直線的位置關系實驗心理體會:

二、教學過程

1.借助信息技術，創設實驗問題情景，教師播放雙曲線與直線的動態圖像并提出問題

問題1：根據動畫演示，觀察圖像，可以發現雙曲線與直線有幾種位置關系？分別從什么角度來判斷？

圖1

學生1：通過觀察圖像，可以發現雙曲線與直線有三種位置關系，分別是相離、相切、相交.

教師：這位同學從直觀上得到了三種位置關系，回答得非常正確.

問題2：還有其他的判定雙曲線與直線的位置關系的方法嗎？

學生2：將雙曲線與直線方程聯立得到方程組，消去一元，得另一元的二次方程，然后根據其判別式的符號判定相離、相切、相交.

教師：這位同學從代數(方程)的角度類比橢圓與直線的位置關系的判定方法，回答得非常棒，掌聲鼓勵.兩位同學分別從幾何圖形、代數方程的角度對問題進行了闡述.下面老師指導同學們通過作圖進行下面的實驗探究，并填寫相應的實驗報告單.

2.實驗探究，小組合作交流，實驗成果展示

教師選一名同學將其電腦桌面投屏到希沃電子白板演示其操作，并進行總結發言.(自主探究、小組交流、成果展示)

圖2

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當滑動條k=0.2和k=1.7的時候，我們分別得到上面兩種情況，將其推廣到一般情況，并填寫實驗報告單(一).

實驗數據處理表(一)斜率交點個數雙曲線與直線的位置關系|k|≥ba無交點相離|k|

教師將上述直線的定點變化為雙曲線張口區域內的點，以點(2a，0)為例進行下面的實驗探究.

2.2 探究直線y=k(x-2a)[過雙曲線張口內部定點(2a，0)的直線系]與雙曲線相離、相切、相交時滿足的條件

根據第一個實驗操作步驟，同學們通過滑動條k的變化，很容易完成下面的實驗報告單.

教師：在指令欄輸入直線方程y=k(x-2a)，表示過定點(2a，0)的直線系，創建滑動條k，通過播放動畫演示，觀察兩者位置變化，并完成下列實驗報告單(二).(自主探究、小組交流、成果展示)

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實驗數據處理表(二)斜率交點個數雙曲線與直線的位置關系|k|=ba一個交點相交(直線與漸近線平行)|k|ba兩個相交(交點位于同一支上)

教師將上述直線的定點變化為雙曲線張口外的兩漸近線之間的點，以此為例進行下面的實驗探究.

2.3 探究直線y=kx-1[過定點(0，1)的直線系]與雙曲線相離、相切、相交時滿足的條件

教師：下面請大家將滑動條m調到m=1，通過滑動條改變k的數值，觀察雙曲線與直線的位置關系，將實驗結果填入實驗報告單.

教師選一名同學將其電腦桌面投屏到希沃電子白板，并演示其操作，同時進行總結發言.由上面的實驗操作，同學們很快觀察到雙曲線漸近線的作用，并能夠操作發現位置關系的變化規律.

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當滑動條k=1、k=0.5、k=2.1時分別得到上面三種情況.學生通過動手操作，移動滑動條，不但發現了直線與雙曲線的漸近線平行時，兩者相交，交點只有一個，而且有同學發現了上面的第四種情況，直線與雙曲線相切的時候，先預設ko，小組合作交流，勇于發言，同學們提出聯立方程組可以求出相切時的直線斜率，課堂上同學們通過如下推導：

消元并整理得(1-k2)x2+2kx-5=0

學生由此得到過定點(0，1)的直線與雙曲線相切時的情況.還有同學觀察到當交點有兩個時的相交情況有兩種：兩交點分別在雙曲線的兩支上和兩交點都在雙曲線的同一支上.教師引導學生，點擊交點選項，作出直線與雙曲線的交點，通過啟動滑動條k的動畫演示，進一步明確了過定點(0，1)的直線系與雙曲線的位置關系，引導學生將此結論推廣到一般的過定點(0，m)的直線系y=kx+m與雙曲線的位置關系，并將結論填入實驗報告單(三).

3.教師引導學生進行課堂總結(實驗心理體會)

(1)雙曲線與直線的位置關系判斷方法：

①通過畫圖像觀察，特別注意三種特殊位置關系，與坐標軸平行、與漸近線平行、與雙曲線相切的情況，通過動態變化，判斷其位置關系.

②聯立方程組，特別注意消元整理后得到的一元二次方程的二次項系數含有參數，需要對二次項系數進行討論，然后根據判別式的情況來判斷交點情況.

(2)直線與曲線相交并不一定有兩個交點，交點只有一個并不一定是相切關系.

(3)體會到從特殊到一般、數形結合、分類討論的數學思想.

(4)通過動手實驗操作，發現數學是很有趣的.

三、教學反思

1.立足核心素養，反思學生發展

教師要踐行生態課堂，尊重知識的發生、發展規律，尊重學生的認知規律.在研究雙曲線與直線的位置關系時，學生從特殊位置到一般情況，腦中有圖形，再結合代數方程思想研究相切情況；應用運動的觀點，將兩者雜而亂的位置關系整理得非常清晰，從而降低了難度，并且通過親自動手操作，勇于探究實驗，思考與動手操作的積極性非常高，這節課收獲頗多.圖像上的直觀感受，再加上代數方程方面的計算，使同學們對錯綜復雜的雙曲線與直線的位置關系有了進一步的認識和提高.本節數學實驗課充分調動了同學們學習數學的積極性，提高了學生運用從特殊到一般、數形結合、分類討論的數學思想方法的自覺性，并且進一步發展了學生思維的嚴密性和靈活性.

2.立足學生生成，反思教學設計

本節“雙曲線與直線的位置關系”數學實驗課的教學與探索，教師在實驗操作、探究問題、合作交流的過程中不但培養了學生動手操作、細致觀察的能力，而且培養了學生的表達能力和數學概括能力，以及質疑問題和獨立解決問題的數學核心素養.在學生獨立計算過程中，學生情緒飽滿，思維活躍，并不是被動地去接受新知，而是非常積極主動地去探索新知，筆者認為這是本節實驗課最成功的地方.

3.數形結合與深度學習

華羅庚先生說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休.”學生在數和形兩方面同時把握，不僅有直觀的想象，更有深刻的理解、深入的思維和深切的體驗.比如在探究中，教師通過GGB展示，讓學生能夠直觀想象，然后通過推理求證得出具體的數值，合情合理，有理有據，深入人心.

4.不足之處，反思理念改革

筆者認為本節課的教學過程還有不足的地方，主要在于學生在對GeoGebra軟件的操作上有些難度.我認為這并不是障礙，對于這種既方便又容易操作的數學軟件，本節課只是起到拋磚引玉的作用，隨著逐步的學習，學生應該很容易熟練操作.本節課研究過定點直線系的定點屬于下面的前兩類點，后面的兩種情況由同學們課下探究.

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