本原性問題驅動下的數學變式教學初探

◎孫 珊(北京師范大學附屬中學，北京 100052)

許多新入學的初中生學習數學沒有方法，不求甚解、機械地死記硬背，缺乏對數學知識本質的挖掘.為了改善學生的學習現狀，培養學生良好的學習習慣，激發學生對初中數學學習的興趣，筆者在初一年級的數學教學中嘗試了本原性問題驅動下的數學變式教學.數學學科中的“本原性問題”就是反映學科最原始、最本質的問題，“問題驅動”則是強調以問題為學習的媒介，引導學生帶著問題學習知識.數學變式教學，是指通過不同角度、不同側面、不同背景，從多個方面變更所提供的數學對象或數學問題形式，使事物的非本質特征發生變化而本質特征保持不變的教學形式.恰當變式的數學教學，有利于學生對知識的理解及問題解決方法和策略的形成.本原性問題驅動下的數學變式教學是圍繞本原性的問題，通過不斷地變更問題的情境或改變思維的角度，使事物的非本質特征發生變化而本質特征保持不變的教學形式.

認知心理學的現代研究結果表明，認知并非人腦對外部世界的簡單、被動反映，而是一個以已有的認知結構為基礎的主動建構過程或信息加工的過程.特別地，主體已有的知識和經驗在新知識的獲得過程中發揮了十分重要的作用.知識不是通過教師傳授得到的，而是在教師的指導下主動建構獲得的，學生以自己原有的知識經驗為基礎，對外部信息進行主動的選擇、加工和處理，建構自己的體系.

維果茨基的“最近發展區理論”，認為學生的發展有兩種水平：一種是學生的現有水平，另一種是學生可能的發展水平.兩者之間的差距就是最近發展區.教學應著眼于學生的最近發展區，為學生提供帶有難度的內容，調動學生的積極性，發揮其潛能，超越其最近發展區，然后在此基礎上進行下一個發展區的培養.本原性問題驅動下的數學變式教學就是在學生的最近發展區內設置問題，通過變式練習讓學生主動建構知識，從而達到對知識的深層次理解，進行高水平的思考.下面就以兩個案例來說明如何在本原性問題的引領下，進行有效的變式教學.

案例一：絕對值的幾何意義

1.課標要求

《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《課標》(2011年版))對絕對值的要求如下：借助數軸理解絕對值的意義，掌握絕對值的求法，知道|x|的幾何含義.可以看出，《課標》(2011年版)對絕對值的幾何意義有較高的要求，而絕對值的幾何意義比較抽象，對初一的學生來說是難點，這就要求教師在教學時應設計有利于學生思考、理解、掌握的教學情境.

2.教育價值

《課標》(2011年版)指出，數學思想蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等.因此，在數學教學活動中，教師應重視數學思想方法的滲透，注重對學生數學思想方法的培養，為學生的持續學習和發展奠基.絕對值的幾何意義比較抽象，要借助數軸來教學，因此在解決問題的過程中自然會用到數形結合的數學思想方法.利用數形結合解決絕對值的相關問題是學生在初中數學學習中第一次遇到，是課堂上除了掌握絕對值的幾何意義這個顯性知識外的另一個需要領悟的隱性知識.本節課可以讓學生體會思想方法在解決問題時的優勢.

3.絕對值的幾何意義教學分析

本節課是筆者在學生學習完絕對值的概念、意義，整式的加減，一元一次方程的解法后根據教材、學生情況自主開發的一節課.絕對值概念的形成及應用過程中蘊含著分類討論、數形結合的思想，剛開始教學絕對值知識時，雖然筆者對該方法進行了滲透，但學生因為數學知識積累不夠，所以不能充分理解、體會.學生對整式的加減及一元一次方程知識的掌握為絕對值的應用提供了很好的訓練素材，能幫助學生進一步體會、理解分類討論、數形結合的數學思想在解決問題中的作用，而解決問題的過程對發展學生的智力與能力都有積極的影響.

初一學生的認知水平有限，應用數形結合思想解決問題的意識不強，用數軸解決絕對值的問題時不知從何處下手.因此，在本節課的教學過程設計中，筆者以問題驅動引領學生思維聚焦的方向，通過合理設置有梯度的活動，不斷變換問題情境，促使學生思考，讓學生在先行知識的基礎上通過探究發現問題，在教師指導下做到“數”與“形”的結合，從而積累數學思考研究的經驗，加深對絕對值幾何意義的理解與體會.

4.教學安排

【驅動問題1】絕對值是怎么定義的？數軸上表示2的點到原點的距離是2，所以2的絕對值是2，數軸上表示 -3的點到原點的距離是3，所以-3的絕對值是3，數軸上表示a的點的絕對值等于什么？

設計意圖：確認學生的最近發展區，喚醒相關的知識和經驗，有利于知識的提取和遷移.

【驅動問題2】已知|x|=3，則x=________.

【變式問題1】已知|x-1|=3，則x=________.

【變式問題2】已知|x+2|-1=0，則x=________.

設計意圖：先從最簡單的|x|=3入手，讓學生用絕對值的概念求解，接著變換問題情境，將單項式x變為x-1和x+2，學生類比|x|=3的解法從代數意義角度應用分類討論的數學思想方法解決問題，在解決變式問題時將x-1和x+2看成整體，并理解和體會整體及分類討論的數學思想方法.

【驅動問題3】|x|的幾何意義是什么？

【變式問題1】|5|的幾何意義是什么？|5-2|的幾何意義是什么？|5+3|的幾何意義是什么？|-5+2|的幾何意義是什么？

【變式問題2】|x-3|的幾何意義是什么？|x1-x2|的幾何意義是什么？

設計意圖：從數軸上兩特殊點間的距離到數軸上任意兩點間的距離，讓學生逐步理解絕對值的幾何意義.由特殊到一般的過程符合學生的認知規律，可以讓學生逐步體會絕對值的幾何意義，發展學生的符號意識，讓學生從本質上理解絕對值的幾何意義，為后續解決問題做準備.

【驅動問題4】已知|x|=3，則x=________.怎樣用數軸來表示？若|x|>3，則x的取值范圍是什么？|x|<3呢？

【變式問題1】剛才已用分類討論的方法解了方程|x-1|=3，借助數軸能解決這個問題嗎？

【變式問題2】若將上述方程改為|x-1|>3，則x的取值范圍是什么？若|x-1|<3呢？

設計意圖：以上述例題|x|=3為例，先討論除了用分類討論的方法解決外，還可以用絕對值的幾何意義來解決，再由方程問題到不等式問題，變換問題情境，引導學生借助數軸解決問題，并和分類討論的代數解法做比較，讓學生逐步體會借助絕對值的幾何意義解決問題的優勢.

【驅動問題5】式子|x-1|+2的最小值是________.

【變式問題1】式子|x-1|+|x+2|的最小值是________，此時x的取值范圍是________.

【變式問題2】若|x-1|+|x+2|>3，則x的取值范圍是________.

【變式問題3】解方程|x-1|+|x+2|=7；若|x-1|+|x+2|>8，則x的取值范圍是________.

【變式問題4】解方程|x-1|+|x+2|=a.

【變式問題5】方程|x-1|+|x+2|=a有解的條件是什么？

設計意圖：從解決含有一個絕對值的方程和不等式到解決含有兩個絕對值的方程和不等式，圍繞本原性問題——絕對值的幾何意義，以問題為驅動，不斷變換問題情境，利用數形結合，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從形感知，逐步提高學生利用數學圖形解決問題的思維能力,開闊學生的思維，讓學生在解決問題的過程中，不斷地加深理解絕對值的幾何意義.

建構主義學習觀認為，學生的學習本質上是一種“認知建構”的過程.新知識只有在其成為個體認知結構的一個組成部分時，才算是意義建構的真正完成.在本節課中，教師先以學生當前的認知——絕對值的概念為新的建構起點，圍繞絕對值的幾何意義(本原性問題)，不斷地變換問題情境(問題變式)，引導學生經歷一次數學思維活動過程，讓學生領略數學思維方式、方法的魅力，從而實現基礎知識、基本技能、基本思想、基本經驗的獲得目標.

案例二：三角形中角平分線專題復習

1.三角形中角平分線專題復習教學內容分析

一般來說，幾何知識的復習，很難找到一條思維的主線，將待復習的內容串成一線.因此，對于幾何復習課，教師一般會選擇幾道典型的習題，用解題來代替復習.這種復習方法固然能起到回顧知識、訓練思維、發展能力的效果，但是還是有知識結構、學科體系自主構建不到位的問題.如何在學科體系、學科結構下進行幾何復習，讓學生在學科系統下看清知識的結構，并在此過程中有機地構建思維通道，進而發展學生的能力？基于上述對幾何復習課的理解，本節課的教學設計嘗試通過圍繞本原性問題，進行幾何圖形的變式處理，達到開闊學生思維、提高學生能力的教學目的.

2.教育價值

在數學教學中，教師不僅要重視對顯性數學知識的教學，也要注重對學生進行隱性知識即數學思想方法的滲透、培養和積淀.轉化和方程是數學思想的核心，本節課圍繞本原性問題——三角形的內角和定理及推論，綜合角平分線的知識，設置各種變式問題供學生思考探索，學生在知識解決和認知沖突中不斷反復體會轉化、方程思想，既很好地解決了三角形的角平分線的綜合問題，也進一步培養和提升了學生的學習能力.

3.教學安排

圖1

圖2

設計意圖：三角形的內角和及其推論是三角形一章中的重點內容.學完三角形一章后，學生根據三角形內角和等于180°這一本原性問題，能夠通過設未知數列方程較容易地解決三角形內的角平分線的問題，但對于變式問題就顯得無從下手了.對此，學生若有了解決驅動問題的方法經驗，就能較容易地類比遷移，從而解決變式問題.

圖3

圖4

設計意圖：類比驅動問題1，將三角形的內角平分線變為外角平分線進行考查，進而變式為三等分角及n等分角的問題，變式練習的精髓在于將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題，從而使問題得解.布盧姆在《教育目標分類學》中指出：數學轉化思想具備把問題元素從一種形式向另一種形式轉化的能力.在解決問題的過程中，學生能夠體會轉化和方程的數學思想.

圖5

圖6

設計意圖：圍繞三角形的內角和定理及推論(本原性問題)，將三角形的內角平分線和外角平分線綜合起來進行多角度的推廣變式，力求覆蓋這類問題的各種類型，讓學生“做一題，會一類”，在有效地提高學生學習效率的同時，提高學生思維的發散性，加深學生對幾何知識的整體理解.

本節課圍繞本原性問題——三角形的內角和定理及其推論，和角平分線知識進行綜合，不斷變換問題情境來展示思維的生長過程，內化學生的知識，提高學生的轉化能力.

數學問題可分解為表面形式特征和深層結構特征，表面形式特征指問題呈現的表述形式方面的淺層特征；深層結構特征指涉及問題本質的概念、關系、原則等方面的深層特征.驅動問題及變式問題相對于本原性問題來說，不僅表述形式方面的淺層特征發生了變化，而且在涉及問題本質的概念、關系、原則等方面的深層次特征也發生了變化，可使學生在學習的過程中體悟知識的發生、發展過程，訓練其思維，發展其能力.