例談平面向量問題解題思維的拓展

◎劉校星(東吳外師附屬越溪實驗中學,江蘇 蘇州 215000)

向量是中學數學的重要內容，在數學和物理學中同樣被應用廣泛.物理學中將向量稱為矢量，力、速度、加速度、位移等均是矢量；在數學中，向量是聯系代數和幾何的樞紐，是不同數學內容的媒介，所以中學平面向量問題解答時往往一題多法，常用的有向量法、坐標法和幾何法.

向量法實則依據平面向量基本定理，與物理學中“力的分解”理論一致.在數學解題中一般以平面向量正交分解為理論依據，先選擇一組基底，再運用平面向量基本定理將已知向量和結論向量表示為基底的線性組合，最后通過向量運算法則解決問題.

坐標法將向量代數化，是中學階段滲透數形結合思想的關鍵，也是幾何和代數的重要鏈接.解題時，主要結合平面直角坐標系和平面向量正交分解理論，通過表示有向線段兩端點的坐標，求出向量的坐標，將向量之間的代數關系轉化為坐標之間的代數關系，最后運用坐標運算法則進行計算.由于互相垂直的兩個向量坐標關系的特殊性，解題時也會以坐標軸上的向量作為基底來表示已知向量和未知向量，以達到簡便運算的效果.

幾何法結合法向量、數量積、向量與向量投影等知識，以及已知向量之間的數量關系，找尋結論向量的幾何意義，所以幾何法要求學生具備更完備的數學知識和敏捷的數學思維，對學生的數學素養提出了更高的要求.

以下通過例題展示三種方法的特點.

圖1

【方法一：向量法】

圖2

【方法二：坐標法】

解：如圖3所示，建立平面直角坐標系，

圖3

設C(0,t)，P(0，y)，

【方法三：幾何法】

解：如圖4所示，

圖4

陳小華：基本上這個行業里大部分創業者都認識，往往他們做不下去的都會來找我們溝通，姚勁波（58集團CEO）還經常感嘆悲劇一再重演。很多創業者會和我們說，你再給我一個億我就能干到一百億，因為我這個模式實在太好了。但我們在這個時候往往有一種無力感，這個教訓只有自己走過才能算教訓，別人提醒，你還會覺得是不是別人看我收入這么多眼紅？這種案例很多，我們會建議一些公司在現金為零的時候停止，出售企業或者放緩節奏，活下來就好。但是這些企業往往會進行最后一搏，就是去讓用戶充值，等到了不得不去找投資人救市的時候，這些公司就不僅是一個價值為零的公司，而是一個負數，一個非常大的坑，沒有投資人會愿意進來。

例2已知向量a，b，|a|=|b|=a·b=2，(a-c)·(b-c)=0，則|2b-c|的最大值是________.

【方法一：向量法】

分析：不同于例1中的基底轉換，本題直接將目標向量2b-c整體代換到已知等式中，經過化簡，將向量模的最值問題最終轉化為函數在定義域內的最值問題.

解：(a-c)(b-c)=(a-2b+2b-c)(2b-c-b)

=(2b-c)2-(a-3b)(2b-c)-b(a-2b)，

令t=|2b-c|，α是2b-c與a-3b的夾角，

【方法二：坐標法】

分析：本題不同于例1有很明顯的建系基礎，a，b兩者之間的位置關系和大小關系是確定的，所以將其平移到同起點，建系通過坐標法求解，就可將幾何問題轉化為函數最值問題.

解：a·b=|a||b|cos 〈a,b〉=4cos 〈a,b〉=2，

所以〈a,b〉=60°，

圖5

【方法三：幾何法】

分析：找尋幾何意義，根據已知條件，找到動點的軌跡，于是此題轉換為求定點和動點之間距離的最值問題.

解：由方法二得〈a,b〉=60°，如圖6所示，

圖6

C點在以A，B中點O為圓心的圓上，當直線CD經過圓心O時，|2b-c|存在最大值.

在平時練習中，學生對平面向量問題難以找到突破口，其原因可以歸結為對平面向量、向量的模、共線定理區分不清，對向量運算、向量模、向量數量積的幾何意義理解不透等.平面向量是代數和幾何的交匯點，從以上例題也可以看出，向量法、坐標法、幾何法，三種方法各自持有自己的主旋律，但又密不可分，相輔相成.向量法是基于對向量本質的理解，運用向量運算逐漸指向目標向量；坐標法則是建立平面直角坐標系，將幾何問題代數化加以解決；幾何法是利用數形結合找尋幾何意義，尋求直觀上的解釋.所以只要理解相關概念和幾何意義，解決問題就殊途同歸了.

從概念的角度來講，學生必須理解平面向量及其幾何意義、平面向量數量積的概念及其幾何意義，理解零向量、向量的模、共線向量、單位向量、平行向量、向量相等、向量夾角等概念；從運算的角度來講，學生要掌握平面向量加法、減法、數乘的法則，并理解其幾何意義，理解平面向量的基本定理及其意義，會用平面向量基本定理解決問題，掌握平面向量的正交分解及其坐標表示，平面向量數量積的坐標運算，數量積與兩個向量夾角之間的關系，平面向量加法、減法與數乘的坐標運算，會用坐標表示平面向量的平行和垂直等.

向量聯系著代數和幾何，解題時我們可以利用基底，運用基底的基本性質進行運算推導，也可以建立坐標系，用純代數法解題，還可以運用幾何意義，并且幾何意義更加直觀明了，但是幾何意義的尋找需要知識的積淀，對學生要求更高.一般情況下，學生更常用代數法，尤其是坐標法.每一種方法各有利弊，沒有絕對的好方法，適合學生的才是最好的.一線教師在平時教學中要堅持滲透思想方法.數學思想方法是處理數學問題的推導思想和基本策略，源于數學活動，也在數學活動中愈加成熟，是數學的靈魂.向量作為溝通數與形的橋梁，在數學學習中舉足輕重.在實際教學時，教師除了要幫助學生建構平面向量基本知識體系、形成坐標運算框架、展示向量的實際應用外，還要盡可能地通過一題多法教學，建立不同方法之間的聯系，揭示其本質，幫助學生拓寬解題思路，提升學生的數學素養.