初中數學之半角模型的應用

◎馬敏豇(江蘇省鎮江市江南學校,江蘇 鎮江 212000)

在初中階段，蘇教版數學課本中包含大量邊角論證的題目，這類題目對解題思路要求較高，對學生來說解題難度較大，并且很難較快學習和掌握學習方法.為了解決這一難題，廣大教師研究出了各式各樣的解題模板，其中半角模型脫穎而出，其能夠有效解決一系列論證問題，幫助學生解答幾何題目.

比如，根據圖1所示的圖形完成相關的解題任務.

圖1

在整個圖形當中，選取另外兩點E，F，保證E點在BC上，F點在CD上，∠EAF=45°，則EF=BE+DF，然后證明出來此結論能夠通過把△ADF繞A點順時針旋轉90°來獲得即可.此類圖形就是半角模型，學生可以利用這個模型結論進行論證.因為需要運用半角模型的題目越來越多，所以學生必須掌握應用半角模型解題的具體方法，不斷提升解題的能力.半角模型在初中數學題目中的形式多種多樣，具體的應用情況如下.

一、題目中已經存在半角模型

題目中存在半角模型的題非常多，也出現在了實際中考題目當中.本篇文章就以具體的例題為例，分析半角模型的應用情況.具體來講，以圖2中的圖形作為參照，已知條件中知道正方形的邊長是4，然后將A作為頂點，畫一個45度的角,角的兩邊和正方形兩邊的延長線分別相交，交點為點E和點F，假設CE=a，CF=b，再要求學生分析∠BAF繞A點旋轉期間，a與b的關系，列出關系式并闡明原因.

根據圖2，將M和N連到一起，就形成了半角模型，然后應用該模型即可解答上述問題.

圖2

分析的解題步驟如下：

假設DM=c，BN=d，那么CM=4-c，CN=4-d.

∵△ADM∽△ECM，∴AD∶EC=DM∶CM，

∵△ABN∽△FCN，∴AB∶FC=BN∶CN，

由半角模型可以推出MN=DM+BN，

∴MN2=(DM+BN)2.

在△CMN中，通過勾股定理可得

CM2+CN2=MN2=(DM+BN)2，

然后化簡整理即可.

此類題目都可以按照上述解題模式進行求解.

二、根據已知條件構造半角模型

仍然按照中考中已有的題型樣式進行分析.

比如，如圖3所示，已知在四邊形ABCD中，AD和BC邊平行，且∠BCD=90°，∠DAC=45°，AB=BC+AD，E點在邊CD上，且∠BAE=45°，若邊CD的長度為4，求三角形ABE的面積.

圖3

根據已知條件可得出AD=CD=4，又有∠BAE=45°，這樣我們就得出了正方形的部分圖形，解題時就可以根據正方形性質，在圖形中構造半角模型了.

以圖3為基礎作圖，過A點作線段AF，并保證AF和CB垂直，F點在CB的延長線上，這樣就得到了四邊形ADCF，可以直接論證四邊形ADCF是正方形，如圖4所示.

圖4

假設BC=a，則BF=4-a,AB=4+a.

在直角三角形ABF中，根據勾股定理可得

(4+a)2=(4-a)2+42，

解得a=1，

∴BF=3.

假設DE=b，則CE=4-b，

根據半角模型性質可知BE=BF+DE=3+b.

在Rt△BCE中，由勾股定理，得(3+b)2=(4-b)2+12,

還有很多中考題目可以應用半角模型來解答，同學們可以根據題目中的已知條件創設半角模型.

比如，如圖5所示，在平面直角坐標系xOy中，直線y=-x+m分別和x軸，y軸相交，交點為A，B，已有條件是點C的坐標是(2，0)，假設點P是線段OB的中點，連接PA，PC，且∠CPA=∠ABO，求m的值.

圖5

分析研究該題目就可以發現A點的坐標是(m，0)，B點的坐標是(0，m)，

可得∠CPA=∠ABO=45°,而且P是OB的中點.

圖6

在Rt△CDF中，由勾股定理可得m=12.

三、正方形中半角模型的應用

(一)模型例題

如圖7，在正方形ABCD中，E，F分別是正方形BC，CD邊上一點，∠EAF=45°，求證：EF=DF+BE.

圖7

習題解析：該題是常見的半角模型旋轉應用題，可以利用旋轉來構建全等三角形，將EF，DF，BE轉化到同一直線上，進而求證.

解法：

思路1，如圖8所示，將△ABE繞點A逆時針旋轉90度，得到△ADE′,使得E′D，E′F，DC在同一直線上，利用△ABE和△ADE′的邊角關系，證得△AEF≌△AE′F,得出EF=E′F.在直線E′C上，E′F=E′D+DF，從而得出EF=DF+BE.

圖8

思路2，利用軸對稱變換構建全等三角形，如圖9所示，將△ABE沿AE對折，連接FB′，EB′.由軸對稱可得，△ABE≌△AB′E,則B′E=BE，根據∠AB′E+∠AB′F=180°，得出EB′，EF，FB′共線，再證△AB′F≌△ADF,得出DF=B′F,就可以得到EF=DF+BE.

圖9

解法總結：以上兩種解題思路是應用正方形半角模型的常規思維，是借助相等線段進行旋轉和折疊，從而構造兩個全等三角形進行求解的.具體特征為：由正方形頂點發出的兩條射線，所夾的角為45°.解題方法總結：把半角一側的三角形借助旋轉或者軸對稱進行變化構建，構建新的三角形，再利用三角形的全等關系來探究正方形內邊與邊的關系.如圖10所示.

圖10

(二)拓展模型

對半角模型中常見的90°，45°模型進行拓展，能夠進一步開拓學生的解題視野，起到更好的教學效果.

變式1：如圖11所示，在正方形ABCD中，點E,F分別在BC,DC上，∠EAF=45°，連接BD，分別交AE，AF于點M,N,求證△DMA∽△AMN.

圖11

變式2：如圖12所示，在正方形ABCD中，M，N分別在CB，DC的延長線上，∠MAN=45°,求證：MN+BM=DN.

圖12

四、初中數學之半角模型的解題反思

(一)深度挖掘教材,拓展解題思路

數學教材是教與學的核心，數學定義、原理、例題等是經過反復篩選、驗證后精編而成的，在知識解讀和習題學習上有豐富的潛在價值.因此，數學教師需要在半角模型應用中，充分挖掘教材相關知識，讓學生能夠由教材看到半角模型的衍生規律和原理，剖析圖形的本質規律和解題思路，通過“看題型、套模型、出結果”的解題思路來應對不同變式的數學習題，簡化習題難度，掌握更加正確的解題思維和路徑.

(二)重視課堂教學，創新教學方式

半角模型的應用對學生的解題思維有較高的要求.數學教師需要重視課堂教學，要借助互聯網技術來創新教學方式，將半角模型的多種變式生動形象地呈現出來，讓學生能夠直觀地感受到圖形的構建和變化，更加清晰地梳理其中的邊角關系，培養學生的解題思維能力.

基于此，數學教師需要不斷創新教學理念，更新教學模式，提高自身的教學水平，這樣才能培養學生的數學思維能力和解題能力，由點及面地促進學生數學成績的提升.

(三)重視問題意識，培養學生的問題探究能力

半角模型是基于數學習題衍生出來的，數學教師需要通過變條件、變結論、變圖形等方式引導學生進行探究，讓學生感受到圖形的變化，從而針對半角模型進行深入探究，對不同的問題進行系統性的總結、歸納，學生借助半角模型經歷應用、變式、解題等循環步驟，鍛煉自身解決問題的能力，進而培養數學學習能力，實現數學綜合能力的提高.

結 語

總而言之，分析研究近年來各地區的中考數學試題后發現：題型越來越豐富，檢驗的內容越來越多，這就要求學生具備較強的解題能力，掌握豐富的解題方法.教師在進行數學知識的教學工作當中，會給學生滲透多種解題模式.目前來看，要想解決幾何問題，學生可以積極應用半角模型，因為中考中的很多題目都直接給出了半角模型；也可以根據題目中所給的條件創設半角模型，再根據半角模型的相關結論解答題目中的具體問題.在初中階段的數學解題過程中，半角模型的應用范圍越來越廣，能夠幫助學生更快地解答相關習題.