一道解三角形綜合題的解法探究

◎朱 琦(云南師范大學，云南 昆明 650500)

解三角形是高考的考點之一，近幾年在題型上增加了結構不良試題，這在一定程度上增加了試題的開放性和難度.在解決解三角形問題的過程中，正弦定理和余弦定理是最常用的兩個定理，它們將三角形的邊、角有機地結合起來，實現了“邊”和“角”的互化，從而為解三角形提供了強有力的支持.在新課標的指導下，人教A版新教材對正弦定理、余弦定理進行了調整，其中最突出的變化就是編排順序，舊教材中將解三角形作為單獨一章，而新教材中將正弦定理和余弦定理放在了平面向量這一章，作為平面向量的應用出現.這一改變突出了向量在解決幾何問題上的簡潔性和價值.在日常的訓練中，與向量結合的解三角形問題也慢慢出現在學生的視野中，求解這類問題對于大多數學生來說都是難點.但進行深入探索之后也開發出了多種解法，下面筆者以一道解三角形的綜合題為例，從多個角度探究其解法，以拓寬學生的思維.

試題呈現

分析：該題是一道解三角形的綜合題，考查了向量的運算、正余弦定理、三角形的面積等多個知識點，涉及轉化與化歸、數形結合等數學思想與方法.題干所給條件大多是隱性的，需要做進一步轉化才能得出初步結論，因此對大多數學生來說，解題是困難的.在得到初步結論之后，最重要的是要能夠畫出相應圖形，借助數形結合找到問題解決的突破口.而在解決解三角形問題時，最常用的方法是幾何法和向量法，下面筆者從這兩種方法切入，多角度地探究問題的解法.

解法探究

所以點O為△ABC的重心.

角度1：等面積法

分別取BC，AC，AB邊的中點D，E，F，連接AD，BE，CF交于點O，如圖1.

圖1

由圖1可以看出，因為點D為BC邊的中點，所以S△ADB=S△ADC，即

評析：等面積法是解決幾何問題的一種很重要的方法，它以幾何圖形的面積公式為基礎，建立起幾何元素間的數量關系.利用等面積法解決數學問題，往往能達到事半功倍、出奇制勝的效果，上述解答過程就很好地說明了這一點.

角度2：利用正弦定理

評析：通過多次應用正弦定理建立起三角形邊角之間的數量關系，不失為一種巧妙的解法.值得注意的是，在解三角形問題中，要善于利用互補的兩個角正弦值相等、余弦值互為相反數這一等量關系.

角度3：利用余弦定理

如圖1所示，在△ABC中，∠ADB和∠ADC互補，

所以cos∠ADB=-cos∠ADC，即

化簡得AD2+CD2=18，(1)

化簡得

AD2-CD2+16=3AD，(2)

評析：上述解法利用互補的兩個角余弦值互為相反數這一結論，建立起了AD和CD之間的等量關系.但是，僅僅只有這個關系還不能解答此題，還需要建立其他的等量關系，可以通過再次使用余弦定理，最終構建起方程組.

角度4：借助輔助線

在幾何問題中，添加輔助線是問題解答的關鍵和難點，它可以將條件中隱含的圖形性質體現出來，使得問題迎刃而解，下面是該題兩種添加輔助線的方式.

(1)過點B作AC的平行線l,過點C作AB的平行線m,直線l和m交于點G，由此構造出平行四邊形ABGC,如圖2.

圖2

因為四邊形ABGC為平行四邊形，

所以BG=AC=4，∠AGB=∠CAG.

在△AGB中，由余弦定理得

(2)過點O作OK∥AB，交AC于點K，如圖3.

圖3

在△AOK中，由余弦定理得

評析：第一種解法巧妙地運用了平行四邊形的性質，將已知條件轉移到同一個三角形中，從而便于使用正、余弦定理.第二種方法多依靠初中平面幾何知識，通過構建相似三角形得出線段之間的數量關系.對比兩種解法，解法1更為便捷和巧妙，解法2相對復雜.在幾何問題中，輔助線的作用在于幫助學生快速解答問題，但是幾何方法靈活多變，如何構建恰當的輔助線是一大難點，學生往往不能理解添加輔助線的本質目的，只能憑借記憶模仿或盲目嘗試，因此，在很大程度上，問題的解決全憑運氣.在日常教學中，師生共同歸納總結常見的幾何模型，深刻理解模型的關鍵條件，有助于學生遇到類似問題時產生聯想，從而有目的地添加輔助線，構建恰當的解題模型.

角度5：向量法

如圖1所示，點D是BC邊上的中點，

又因為點O是△ABC的重心，

化簡得

因為點O是△ABC的重心，

評析：向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通代數和幾何的橋梁.利用向量法解決幾何問題可以把原來思辨的過程轉化為較為簡單的運算過程，降低了思考的難度，可以讓學生感受到向量在解決某些平面幾何問題中的優勢.

教學反思

“一題多解”作為變式教學的一種，不僅在完善學生知識結構、發散思維等方面起著至關重要的作用，而且能夠實現思維的分層教學，滿足不同層次學生的需求.“一題多解”教學意味著課堂開放性強，這在一定程度上對教師的專業素養提出了挑戰，下面針對“一題多解”教學提出三點策略.

1.精選解法，注重解法之間的聯系

在“一題多解”教學中，解法不是越多越好，也不是越簡潔越好，而是要有價值，有助于學生后續學習.這意味著教師首先要將問題研究透徹，精選解法，事先設計好教學環節，讓課堂教學在問題的引導下有序進行，而不是將問題一味地丟給學生，讓學生自主探索.其次是要注意解法之間的聯系.目前很多教師存在羅列解法的習慣，過分追求解法的數量，忽視了解法之間的聯系，導致學生對解法的本質認識不夠深刻.

2.因材施教，給學生提供平等的數學學習機會

高中數學課標指出：人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展，這表明學生之間存在差異性，教師在教學時要看到這種差異并有針對性地進行教學.

在“一題多解”教學中，解法有易有難，有的學生可能只理解其中一種，而有的學生可能理解所有解法，但無論如何，學生總能找到最適合自己的那一種，這樣一來便兼顧了不同層次學生的需求.因此，教師可以利用這種差異給不同學生創造數學學習機會.對于數學學困生，教師可以給其提供更多的課堂提問和板演的機會；對于數學學優生，教師要發揮好引導作用，鼓勵他們從多個角度解決問題.

3.注重過程，培養學生的數學核心素養

美國數學教育家波利亞曾指出：解題的價值不是答案的本身，而在于弄清“是怎樣想到這個解法的”“是什么促使你這樣想、這樣做的”，這表明了解題的目的不在于答案，而在于將知識和問題聯系起來思考、分析、探索的數學思維過程.在傳統教學過程中，學生的思維習慣于定向，而“一題多解”則是讓學生克服定式思維，培養思維靈活性的有效途徑.

因此，教師在日常教學中，要留意典型數學問題，適時開展“一題多解”訓練，讓學生親自體驗、感受、思考，在這個過程中對數學知識進行再創造，這樣一來學生不僅鞏固了數學知識，而且在思維上得到了訓練，有效促進了學生數學核心素養的培養和提升.