基于奇異攝動(dòng)理論的無(wú)人機(jī)反步飛行控制律設(shè)計(jì)

李 勇，常緒成，李樹(shù)豪

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院航空發(fā)動(dòng)機(jī)學(xué)院，鄭州 450046)

0 引言

未來(lái)空中交通的發(fā)展對(duì)新一代無(wú)人機(jī)和通用航空飛機(jī)的自主性、安全性和機(jī)動(dòng)性提出了更高的要求。未來(lái)的驅(qū)動(dòng)因素，如空中交通密度的增加，無(wú)人機(jī)交通的插入和增長(zhǎng)，多平臺(tái)協(xié)作任務(wù)和緊密編隊(duì)飛行的前景，以及在湍流和有限空域中的近地操作，都需要高度的機(jī)動(dòng)性和不插手或補(bǔ)充的自主控制機(jī)制。為了解決這些問(wèn)題，可以使用控制增強(qiáng)技術(shù)來(lái)創(chuàng)建簡(jiǎn)單和安全的飛機(jī)操縱特性。因此，針對(duì)小型飛機(jī)實(shí)用化飛行控制系統(tǒng)需求，討論了如何提高無(wú)人機(jī)或小型通用飛機(jī)飛行安全性和飛機(jī)的易操作性。

目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者圍繞飛機(jī)飛行控制領(lǐng)域開(kāi)展了大量的研究工作。費(fèi)愛(ài)玲等設(shè)計(jì)了基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的反步控制器抑制系統(tǒng)擾動(dòng)以提高無(wú)人機(jī)的控制性能。曹立佳等設(shè)計(jì)了一種帶有自適應(yīng)參數(shù)近似的塊控反步飛行控制器，所設(shè)計(jì)的控制器具有良好的指令跟蹤能力和較強(qiáng)的魯棒性。譚健等針對(duì)存在干擾的飛翼布局無(wú)人機(jī)縱向著陸控制問(wèn)題，提出一種基于 super twisting 滑模干擾觀測(cè)器與跟蹤微分器的反步L2增益魯棒控制方案。李繼廣等以帶有流體矢量方向舵的飛翼無(wú)人機(jī)為研究對(duì)象，設(shè)計(jì)了非線性控制器，并進(jìn)行飛行驗(yàn)證。另外針對(duì)飛翼布局無(wú)人機(jī)操縱能力不足的特點(diǎn)，提出了結(jié)合流體矢量控制技術(shù)控制策略。吳中華針對(duì)無(wú)人飛行器非線性系統(tǒng)控制問(wèn)題，綜合魯棒反演控制、預(yù)設(shè)性能控制和基于擾動(dòng)觀測(cè)器的控制方法進(jìn)行深入探討，給出了輸入、狀態(tài)受限與跟蹤誤差約束條件下的控制律設(shè)計(jì)方案。劉朝陽(yáng)在反步控制方法的基礎(chǔ)上，引入浸入映射與不變流形方法在無(wú)人機(jī)非線性控制方面開(kāi)展了相關(guān)研究。吳岸平針對(duì)無(wú)人機(jī)飛行控制系統(tǒng)采用基于PID神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法進(jìn)行了控制律設(shè)計(jì)，具有較高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。王芳針對(duì)高超聲速飛行器再入姿態(tài)控制問(wèn)題，完成了魯棒自適應(yīng)濾波反步控制器的設(shè)計(jì)并進(jìn)行了仿真分析。Swarnkar等針對(duì)固定翼無(wú)人飛行器六自由度模型設(shè)計(jì)了自適應(yīng)反步控制器。Choi等結(jié)合自適應(yīng)反步法與控制分配方法，為多操縱面飛機(jī)設(shè)計(jì)了飛行控制律。Sun等提出基于混合多傳感器的反步控制方法并實(shí)現(xiàn)了飛行控制系統(tǒng)的容錯(cuò)控制。Sonneveldt等應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和非線性自適應(yīng)方法針對(duì) F-16 飛機(jī)設(shè)計(jì)跟蹤控制器，仿真結(jié)果表明在參數(shù)未知和執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障的情況下，控制器仍具有閉環(huán)穩(wěn)定性。Choi等設(shè)計(jì)了一種參數(shù)不確定的四旋翼無(wú)人機(jī)(UAV)自適應(yīng)指令濾波反步飛行控制律，仿真結(jié)果表明，在參數(shù)不確定性和推力失準(zhǔn)誤差的情況下，所提出的控制律也能控制系統(tǒng)的內(nèi)部狀態(tài)，從而提高了系統(tǒng)的跟蹤性能。Kim等提出了一種利用角加速度測(cè)量的附加增廣控制方法，針對(duì)先進(jìn)教練機(jī)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了頻域線性分析和時(shí)域數(shù)值仿真，結(jié)果表明，該控制方法有效地減少了無(wú)指令側(cè)向運(yùn)動(dòng)，改善了飛機(jī)的操縱品質(zhì)。

文中針對(duì)某小型無(wú)人機(jī)飛行控制提出了一種新的非線性控制器設(shè)計(jì)方法，該方法基于反步法、奇異攝動(dòng)理論和近似動(dòng)態(tài)逆理論，這種方法被稱為基于傳感器的反步法(SBB)，它不使用動(dòng)態(tài)模型信息，僅依賴于測(cè)量。通過(guò)建立某型無(wú)人機(jī)系統(tǒng)模型和基于奇異攝動(dòng)理論的反步控制器模型，比較了兩種反步控制器設(shè)計(jì)對(duì)參數(shù)不確定性、傳感器噪聲、干擾、時(shí)延等對(duì)飛機(jī)響應(yīng)的影響。結(jié)果表明，基于傳感器的反步(SBB)控制器比傳統(tǒng)的反步法具有更大的優(yōu)勢(shì)，即模型不確定性對(duì)性能的影響較小，測(cè)量噪聲對(duì)飛機(jī)的響應(yīng)影響很小同時(shí)保證了受控系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，提出的新的控制器設(shè)計(jì)能夠滿足無(wú)人機(jī)飛行控制需要，對(duì)模型不確定性、傳感器偏差、傳感器噪聲和時(shí)間延遲具有魯棒性，同時(shí)要足夠快和準(zhǔn)確，以適應(yīng)小型飛機(jī)相對(duì)靈活的動(dòng)態(tài)特性。

1 無(wú)人機(jī)系統(tǒng)模型

建立了一種用于飛行控制律設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)飛機(jī)模型。提出了一組參考框架來(lái)定義飛機(jī)的動(dòng)態(tài)行為，并用運(yùn)動(dòng)方程來(lái)確定這種行為。該模型僅適用于巡航條件下的無(wú)人機(jī)飛行控制律設(shè)計(jì)，并且控制律需要對(duì)模型不確定性具有較強(qiáng)的魯棒性。

飛機(jī)的動(dòng)態(tài)行為可以用一組稱為運(yùn)動(dòng)方程(equations of motion,EOM)的方程來(lái)描述。由于運(yùn)動(dòng)僅在參照系中有意義，因此先從第1.1節(jié)定義一組參照系開(kāi)始。下面將在第1.2節(jié)中推導(dǎo)EOM。

1.1 飛機(jī)模型參照系

開(kāi)發(fā)的飛機(jī)模型使用了6個(gè)參照系。這些參照系廣泛用于飛機(jī)建模，因此僅在此處列出。

1)地球固定參照系在相對(duì)于地球的位置和姿態(tài)上是固定的，并且假定是慣性的。

2)裝備局部-地球參照系的飛行器，與飛行器平行，但姿態(tài)與相同。

3)運(yùn)動(dòng)學(xué)參照系指向飛機(jī)相對(duì)于地面的移動(dòng)方向，并通過(guò)在航跡角、飛行軌跡角和運(yùn)動(dòng)學(xué)傾斜角上旋轉(zhuǎn)來(lái)獲得。

4)機(jī)身固定參照系指向飛機(jī)機(jī)頭，通過(guò)在偏航角、俯仰角和滾轉(zhuǎn)角上旋轉(zhuǎn)而獲得。

5)空氣動(dòng)力參照系指向飛機(jī)相對(duì)于空氣的行進(jìn)方向，并通過(guò)在側(cè)滑角和攻角上旋轉(zhuǎn)或在空氣動(dòng)力軌跡角、飛行軌跡角和氣動(dòng)傾斜角上旋轉(zhuǎn)來(lái)獲得。

(6)軌道固定參照系是一種右手正交軸系，其指向地球固定軌道，通過(guò)在軌道角上旋轉(zhuǎn)而獲得。

1.2 動(dòng)態(tài)飛機(jī)模型運(yùn)動(dòng)方程

通過(guò)推導(dǎo)給出了描述飛機(jī)運(yùn)動(dòng)的12個(gè)微分方程和一系列假設(shè)。第一組三個(gè)微分方程用于計(jì)算飛行器的平移運(yùn)動(dòng)：

(1)

其中：是飛行器質(zhì)量;,,分別為飛行器在縱軸、橫軸、垂直軸上的受力。機(jī)體坐標(biāo)軸系的3個(gè)速度分量(,,)是飛行速度在機(jī)體坐標(biāo)軸系各軸上的投影分量。機(jī)體坐標(biāo)軸系的3個(gè)角速度分量(,,)是機(jī)體坐標(biāo)軸系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度在機(jī)體坐標(biāo)軸系各軸上的投影分量。

第二組三個(gè)微分方程用于計(jì)算飛機(jī)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)：

(2)

其中：為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;,,分別為飛行器的滾轉(zhuǎn)力矩、俯仰力矩、偏航力矩。

第三組三個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程用來(lái)描述中飛機(jī)姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)變化率。

(3)

式(1)～式(3)稱為物體方位方程式。其中為偏航角;為俯仰角;為滾轉(zhuǎn)角。

最后一組三個(gè)微分方程，稱為導(dǎo)航方程，用于描述中物體的平移運(yùn)動(dòng):

(4)

式中，表示空氣相對(duì)于地球的恒定速度：

其中表示參考高度的風(fēng)速；表示相對(duì)于的風(fēng)向。

并且

此外，中的力方程可以寫(xiě)為:

(5)

其中：為飛行器的實(shí)際空速；為飛行器在中所受到的力。將式(5)代入式(1)，則這些導(dǎo)數(shù)也可以從式(6)獲得：

(6)

地面速度和軌道角的變化可以使用類似的形式來(lái)描述：

(7)

其中：為飛行器的地面速度；為航跡角；為飛行軌跡角。上述公式在飛行控制律設(shè)計(jì)中得到了應(yīng)用。

上述微分方程式在以下假設(shè)下成立:

1)假設(shè)地球是平坦的、不自轉(zhuǎn)的，因此地球固定的參照系與慣性參照系相同。

2)飛機(jī)是剛體，因此飛機(jī)內(nèi)的任何兩個(gè)點(diǎn)都保持在固定的相對(duì)位置。

3)飛機(jī)的質(zhì)量在模擬時(shí)間段內(nèi)是恒定的。因此，可以在沖量方程的時(shí)間導(dǎo)數(shù)之外計(jì)算所有質(zhì)量元素的積分。

4)飛機(jī)的俯仰角以-π/2<<π/2為界。這一假設(shè)防止了式(3)中的奇點(diǎn)出現(xiàn)。

其他有關(guān)飛行器的力和力矩模型、大氣環(huán)境模型、氣動(dòng)模型等的建模方法參見(jiàn)參考文獻(xiàn)[17]。

2 控制方法

2.1 反步控制

反步法又稱反推法、后推法或反演法，它是科克托維奇等在1995年首先提出的用來(lái)解決非線性系統(tǒng)控制問(wèn)題的有效方法之一。反步法屬于遞歸非線性設(shè)計(jì)策略的一類。其主要思想是在一個(gè)小的子系統(tǒng)的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一個(gè)控制李雅普諾夫函數(shù)(CLF)，然后在每個(gè)步驟中將這個(gè)設(shè)計(jì)逐步應(yīng)用于一個(gè)擴(kuò)展的子系統(tǒng)。當(dāng)擴(kuò)充部分恢復(fù)到整個(gè)系統(tǒng)時(shí)，設(shè)計(jì)就完成了。Backstep從控制輸入中移除的積分步數(shù)最多的子系統(tǒng)開(kāi)始。每一步用一個(gè)“虛擬控制輸入”穩(wěn)定子系統(tǒng)，然后用一個(gè)積分方程增廣，直到最終得到原始控制輸入和完整的系統(tǒng)。在圖1中，從離控制輸入最遠(yuǎn)的積分器開(kāi)始，在每一步添加積分方程式，看起來(lái)是在向后移動(dòng)。這就是反步的由來(lái)。

()=0?()<0

(8)

在反步控制器的設(shè)計(jì)中使用CLF的原因是，CLF的存在等同于全局穩(wěn)定控制律的存在。換言之，當(dāng)找到CLF時(shí)，反步控制律將是全局穩(wěn)定的。圖1顯示了所產(chǎn)生的閉環(huán)系統(tǒng)的框圖。綠色箭頭表示用于確定反步控制律的模型信息。反步過(guò)程也可以推廣到階嚴(yán)格反饋系統(tǒng)。

圖1 二階非線性系統(tǒng)和反步控制律閉環(huán)系統(tǒng)

2.2 奇異攝動(dòng)理論

奇異攝動(dòng)，即不能近似為零的小攝動(dòng)，導(dǎo)致系統(tǒng)中的時(shí)間尺度分離行為。這可以從系統(tǒng)對(duì)外部輸入的反應(yīng)的慢瞬變和快瞬變中看出。考慮一個(gè)奇異攝動(dòng)的非線性系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為：

(9)

其中和平穩(wěn)地依賴于小的正參數(shù)。

在奇異攝動(dòng)理論中，給出系統(tǒng)：

(10)

2.3 近似動(dòng)態(tài)逆(ADI)控制器

Hovakimyan等提出了一種基于奇異攝動(dòng)系統(tǒng)時(shí)間尺度分離特性的控制器。針對(duì)非線性系統(tǒng)

(11)

其中對(duì)于(,)∈×，(0)=。?和?是包含相應(yīng)原點(diǎn)的區(qū)域。這里表示狀態(tài)向量，表示輸入向量。函數(shù)的自變量是連續(xù)可微的。此外，假設(shè)??對(duì)于(,)∈,?×是從零起有界的，其中,是一組可能的初始條件的緊湊集合，即存在>0使得|??|>。

為狀態(tài)定義基準(zhǔn)信號(hào)，并且狀態(tài)和該基準(zhǔn)之間的跟蹤誤差由=-給出。因此，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)誤差可以寫(xiě)成:

(12)

一種用于式(12)的ADI控制器可以基于式(13)快速動(dòng)態(tài)來(lái)構(gòu)建：

(13)

其中(,,)是映射×→。

2.4 基于傳感器的反步法

假設(shè)式(13)中的函數(shù)(,,)可以寫(xiě)成:

(14)

(15)

(16)

(17)

稱為基于傳感器的反步(sensor-based backstepping,SBB)控制器。圖2顯示了SBB控制器的框圖，綠色箭頭表示控制器設(shè)計(jì)中使用的模型信息。

圖2 基于傳感器的反步法控制器框圖

3 對(duì)比與分析

針對(duì)式(5)，其中表示作用在飛機(jī)上的力的總和，也包含不確定的參數(shù)。操縱面偏轉(zhuǎn)和油門(mén)桿角度(=)對(duì)的影響可寫(xiě)為:

(18)

其中:表示推進(jìn)模型;為不確定參數(shù)作用在飛機(jī)上的力，并再次假設(shè)系統(tǒng)是仿射控制。在姿態(tài)模式下，使用速率命令姿態(tài)保持(rate command attitude hold，RCAH)策略控制俯仰角和滾動(dòng)角，應(yīng)抑制側(cè)滑并保持速度。

為了實(shí)現(xiàn)速率命令姿態(tài)保持控制，結(jié)合式(3)、式(5)，整個(gè)系統(tǒng)可以寫(xiě)成：

(19)

針對(duì)某型飛機(jī)動(dòng)態(tài)模型將提出的基于傳感器的反步控制器與一般增量反步(incremental backstepping，IB)控制器進(jìn)行仿真對(duì)比分析，對(duì)于一般的增量反步控制器設(shè)計(jì)，考慮系統(tǒng):

(20)

可以使用線性化系統(tǒng)近似來(lái)構(gòu)造使該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)誤差=-穩(wěn)定的IB控制器:

(21)

圖3和圖4顯示了SBB控制器對(duì)飛機(jī)響應(yīng)的影響。請(qǐng)注意，飛機(jī)響應(yīng)在這里指的是文中描述的飛機(jī)模型的響應(yīng)，顯然，控制器能跟蹤姿態(tài)速率命令信號(hào)，并在沒(méi)有輸入的情況下保持姿態(tài)角。

圖3 基于傳感器的反步和增量反步控制縱向飛機(jī)響應(yīng)曲線

圖4 基于傳感器的反步和增量反步控制橫向飛機(jī)響應(yīng)曲線

使用傳感器模型對(duì)測(cè)量的輸入和輸出信號(hào)進(jìn)行噪聲處理。在仿真環(huán)境中增加了一個(gè)用于角加速度計(jì)的模型。結(jié)果如圖5和圖6所示。顯然，兩個(gè)控制器仍然能夠跟蹤參考信號(hào)。在每個(gè)繪圖的前5 s內(nèi)，可以看到偏移量，這些偏移量是由于角加速度計(jì)的傳感器偏置而存在的。圖5(e)顯示SBB控制器與IB控制器相比，生成更平滑的油門(mén)桿角度PLA命令。圖6顯示，當(dāng)存在噪聲時(shí)，IB控制器相對(duì)于SBB控制器在處理側(cè)滑方面的優(yōu)勢(shì)消失了。與IB控制器生成的方向舵命令相比，SBB控制器生成的方向舵命令也更平滑。

圖5 傳感器噪聲存在時(shí)基于傳感器的反步和增量反步控制的縱向飛機(jī)響應(yīng)曲線

圖6 傳感器噪聲作用下基于傳感器反步和增量反步控制的飛機(jī)橫向響應(yīng)曲線

4 結(jié)論

提出了一種基于奇異攝動(dòng)理論的反步控制器設(shè)計(jì)方法，稱為基于傳感器的反步法。該方法在實(shí)施過(guò)程中使用測(cè)量數(shù)據(jù)，而不是模型知識(shí)，因此有可能在很多小型飛機(jī)上使用。無(wú)論是對(duì)簡(jiǎn)單標(biāo)量系統(tǒng)，還是對(duì)某型無(wú)人機(jī)的飛行控制，使用這種方法可以獲得良好的跟蹤性能(無(wú)論是否存在不確定性)。

將基于傳感器的SBB控制器同另一種基于泰勒展開(kāi)的IB控制器進(jìn)行對(duì)比分析。仿真結(jié)果表明，在存在傳感器噪聲的情況下，SBB控制器提供了更好的結(jié)果，測(cè)量噪聲對(duì)飛機(jī)的響應(yīng)影響很小，與傳統(tǒng)的反步方法得到的結(jié)果相似。由于該反步控制器是基于李雅普諾夫分析的，因此保證了受控系統(tǒng)的穩(wěn)定性。開(kāi)發(fā)的新控制器比傳統(tǒng)的反步法具有更大的優(yōu)勢(shì)，即模型不確定性對(duì)性能的影響較小，因此該控制器設(shè)計(jì)方法很可能是向小型飛機(jī)/無(wú)人機(jī)先進(jìn)飛行控制律認(rèn)證邁出的重要一步。

在設(shè)計(jì)任何一種先進(jìn)的控制器之前，仍有一些實(shí)際因素需要考慮。目前文中開(kāi)發(fā)的新控制器的主要缺點(diǎn)是需要對(duì)執(zhí)行器輸出進(jìn)行測(cè)量，以便對(duì)時(shí)間延遲具有魯棒性。初步的仿真結(jié)果表明，使用執(zhí)行器模型也可以得到較好的結(jié)果，在今后的工作中，執(zhí)行器模型的精確度是一項(xiàng)值得研究的內(nèi)容。

此外，還需要進(jìn)一步研究并尋找更科學(xué)的控制器增益選擇方法。文中使用的大部分控制器增益是通過(guò)試驗(yàn)和誤差選擇的，可以改進(jìn)。未來(lái)可以采取最小化控制誤差、噪聲衰減、干擾抑制和跟蹤性能的成本函數(shù)方法，以找到最優(yōu)的控制器增益。或者，可以使用類ANOVA方差分解方法提供的控制性能評(píng)估來(lái)調(diào)整控制器增益，以便找到能夠更好地抑制噪聲的控制器增益。