齒輪-軸承傳動系統擦邊碰撞的動力學特性分析

高建設， 崔秉奇， 丁順良， 楊林杰

(1.鄭州大學 機械與動力工程學院，鄭州 450000； 2.鄭州機械研究所，鄭州 450000)

齒輪傳動由于具有傳動準確、可靠性高等優點，漸漸成為廣泛使用的傳動裝置之一。隨著對齒輪性能要求的提高，如何減少齒輪副沖擊振動和噪聲是當前亟待解決的關鍵問題[1]。為便于潤滑和防止齒輪熱膨脹卡死，齒輪間需具有適當的齒側間隙，這會導致齒輪副齒面存在沖擊、碰撞等現象，對齒輪的性能、壽命等諸多方面產生一定的影響。例如，隨著齒面的磨損或工況的細微變化，沖擊可能會導致原本正常的周期運動突變為異常的振動，影響齒輪的使用壽命甚至安全性。因此，對齒輪系統的沖擊特性進行深入的研究，不僅有利于推動非光滑動力學的發展，而且有利于識別齒輪系統可能出現的不利工況，更重要的是通過分析齒輪系統的運動狀態來獲得理想的工作條件，避免沖擊碰撞以降低噪聲、增加齒輪壽命，提高齒輪系統的工作性能。

目前，齒輪系統動力學特性已經被廣泛地研究。向玲等[2]運用周期擴大法的思想，研究了支承阻尼對多自由度齒輪系統的影響。田亞平等[3]運用PNF法和延續算法對單級齒輪系統的周期運動進行了分析。Shi等[4]建立含接觸比的時變齒隙模型，研究了轉速、扭矩載荷和齒面溫度對時變齒隙的影響。林何等[5]基于OGY混沌控制理論對齒輪-軸承系統的混沌運動進行了多周期控制。陳思雨等[6]研究了在考慮時變剛度和摩擦時，輪齒間隙及載荷參數對齒輪系統沖擊動力學響應的影響。唐進元等[7]基于圖胞映射法討論了時變嚙合剛度和摩擦對系統全局特性的影響。He等[8]建立了考慮滑動摩擦和真實時變剛度的多自由度齒輪模型。上述研究為齒輪系統動力學的研究提供了重要思路。但關于齒輪副間擦邊碰撞的研究較少，其動力學機理仍然不是十分清楚。尹樁等[9]研究了重合度為1的單級齒輪嚙合過程中齒面沖擊對系統運動狀態的影響。

對齒輪系統動力學的研究主要采用頻閃映射的方法，但這種方法不能展現出齒輪副嚙入、嚙出時的動力學特性。為此，本文以含間隙齒輪-軸承系統為研究對象，定義齒面碰撞面Poincaré映射以及齒背碰撞面Poincaré映射，結合分岔圖、嚙合力變化圖、相圖、以及最大Lyapunov指數圖等揭示齒輪副嚙入、嚙出沖擊下系統運動狀態的變化，分析擦邊碰撞對系統動力學特性的影響。

1 齒輪-軸承系統動力學模型

齒輪-軸承系統由軸承支撐和齒輪副組成[10]，假設主、從動齒輪均為標準的漸開線直齒圓柱齒輪，不考慮運動時齒輪副、支撐軸承的摩擦力，且忽略軸的彎曲和變形。

基于上述假設，齒輪-軸承系統簡化模型如圖1所示。

圖1 齒輪-軸承傳動系統簡化模型Fig.1 Simplified model of gear-bearing transmission system

其動力學方程如下[11-13]

(1)

主、從動齒輪的轉動慣量、質量、基圓半徑、扭轉角位移、軸承的支撐力、外力矩、嚙合阻尼、支撐剛度分別用Ii，mi，Ri，θi，Fi，Ti，ci，ki(i=1,2)表示，時變嚙合剛度、靜態傳遞誤差、嚙合阻尼、齒輪等效質量、沿嚙合線載荷、波動載荷用kh(t)，e(t)，ch,mc,Fm,FaT(t)表示，fi(yi)和fh(p)分別表示軸承徑向間隙和齒側間隙的位移函數，表達式如下

(2)

(3)

其中

x=R1θ1(t)-R2θ2(t)

p=x+y1-y2-e(t)

Fm=T1/R1=T2/R2

FaT(t)=m1T1(t)/2I1

式中:kh(t)[14]以諧波級數形式展開;khm為平均嚙合剛度;khar(r=1,2,…)為各諧波分量系數;φhr為對應相位角;ω為齒輪嚙合頻率。

(4)

式中：x1、x3、x5表示軸承徑向和齒輪嚙合綜合誤差無量綱位移；x2、x4、x6分別表示無量綱位移相應的無量綱速度；ki3、ζi3(i=1,2,3)表示時變嚙合剛度和齒面嚙合阻尼系數；kii、ζii(i=1,2)表示軸承支承剛度和阻尼系數；Fm、Fah1表示負載系數和內部激勵系數。

無量綱化后齒輪間隙函數和軸承徑向間隙函數為

(5)

(6)

式中：D為無量綱齒側間隙;bi為無量綱軸承徑向側隙。

用最小嚙合綜合誤差xmin與齒側間隙D來判斷齒輪系統中存在的無沖擊、單邊沖擊、雙邊沖擊等沖擊狀態。

用F表示齒輪嚙合時齒輪副之間產生的無量綱嚙合力

F=-2ζ33x6-k33(t)fh(x5)

(7)

當齒輪嚙合綜合誤差x5=D時，則齒輪副之間發生齒面擦邊碰撞;若x5=-D，則發生齒背擦邊碰撞。

定義符號“P-Q-R”為系統的運動狀態，其中P表示系統的周期數,Q表示一個嚙合周期內齒面碰撞數，R表示一個嚙合周期內齒背碰撞數。即P-0-0表示無沖擊，P-Q-0表示單邊沖擊，P-Q-R表示雙邊沖擊。

2 Poincaré截面分析

根據系統相軌跡和碰撞面(x5=±D)相交的情況，可以分為以下幾種類型[15-17]：

(1) 相軌跡和碰撞面Σ始終保持無交集的狀態，即相軌跡只在區域Σ+內運動。

(2) 相軌跡從區域Σ+穿越碰撞面Σ到區域Σ-，運動一定時間后再次穿越碰撞面Σ回到區域Σ+，并且可能會發生多次類似運動。

(3) 相軌跡和碰撞面Σ相切，即相軌跡和碰撞面Σ僅相交于一點X3，整個過程中，相軌跡僅在區域Σ+內運動。

一般分析系統非線性特性使用頻閃映射的方法[18-19]，但是，這種方法會掩蓋碰撞面(圖2碰撞點Xi(i=1,2,3))處的特性。因此，在相軌跡每次到達碰撞面時采樣，若存在采樣點，則說明相軌跡經過碰撞面。據此探究擦邊碰撞對系統動力學特性的影響。

圖2 相軌跡和碰撞面Σ相交示意圖Fig.2 Schematic diagram of the intersection of phase trajectory and impact surface Σ

根據以上碰撞分析，針對模型定義三種Poincaré截面：

(1) 時間Poincaré截面

時間Poincaré截面也稱頻閃采樣，即每隔一個激勵周期2π/Ω對相軌跡進行采樣。Poincaré截面可記為

σ1={(x1,x2,x3,x4,x5,x6,θ)∈6×S1,

θ=Ωt=0mod(2π)}

(2) 齒面碰撞面Poincaré截面

選擇主、從動齒輪嚙合綜合誤差x5=D作為Poincaré截面，取嚙合后的瞬間建立Poincaré映射。每當相軌跡到達齒面碰撞面時進行采樣，并計算此時的無量綱嚙合力F，揭示此時齒輪系統所處的沖擊狀態。Poincaré截面可記為

σ2={(x1,x2,x3,x4,x5,x6,F,θ)∈7×S1,x5=D}

(3) 齒背碰撞面Poincaré截面

選擇主、從動齒輪嚙合綜合誤差x5=-D作為Poincaré截面，采樣方法和齒面碰撞面Poincaré截面類似，Poincaré截面可記為

σ3={(x1,x2,x3,x4,x5,x6,F,θ)∈7×S1,x5=-D}

3 非線性動力學擦邊特性分析

3.1 無量綱激勵頻率Ω對擦邊特性的影響

首先研究激勵頻率變化下的擦邊碰撞特性。忽略軸承徑向間隙的非線性力-位移關系，取基準參數為：Fm=0.2,Fah1=0.05，ε=0.2，D=1.0，ξ11=ξ22=0.01，ξ13=ξ23=0.012 5，ξ33=0.05，F1=F2=0.1，k11=k22=1.25，無量綱激勵頻率Ω∈[0.7,1.6]。運用Runge-Kutta法對方程組(4)進行求解并計算碰撞面嚙合力，結合最大Lyapunov指數圖[20]分析擦邊碰撞對系統的影響。

對Poincaré截面進行分析，圖3為σ1截面的分岔圖。圖4為σ2和σ3截面嚙合力F的周期變化圖。其中，虛線(F=0)以下區域表示σ2截面上采樣點計算的嚙合力，虛線以上區域表示σ3截面上采樣點計算的嚙合力。圖中虛線以上區域不存在點，說明相軌跡未到達齒背碰撞面。當Ω∈[0.811 75,1.301 00]時，系統處于無沖擊狀態，當Ω∈[0.700 00,0.811 75]∪[1.301 00,1.600 00]時，系統處于單邊沖擊狀態。圖5為最大Lyapunov指數圖(the largest Lyapunov exponents, TLE)。

圖3 齒輪嚙合綜合誤差x隨Ω變化分岔圖Fig.3 The bifurcation diagram of gear comprehensive error of meshing x changing with Ω

圖4 無量綱嚙合力F的周期變化圖Fig.4 The periodic variation diagram of dimensionless meshing force F

圖5 最大Lyapunov指數圖Fig.5 The largest Lyapunov exponent

當Ω>1.530 00時，系統為周期1運動，無量綱齒面嚙合力F也為1周期，這說明主、從動齒輪每次齒面嚙合時，嚙入點的速度均相同，運動規律，TLE值小于零且保持穩定，此時系統處于單邊沖擊狀態。當Ω=1.530 00時，由“1-1-0”(根據上文定義，第一個“1”代表系統周期為1，第二個“1”代表齒面碰撞為1周期，第三個“0”代表無齒背碰撞情況)向“2-1-0”轉遷時發生倍周期分岔，突變點處TLE值近似為0。

當Ω=1.506 75時，無量綱齒面嚙合力F趨近于0，系統發生擦邊碰撞(x=D，齒面碰撞面)并發生分岔。無量綱齒面嚙合力F由2周期突變為3周期，突變點TLE近似為0，系統由“2-2-0”向“4-3-0”轉遷。擦邊碰撞點前后的相圖如圖6(a)、圖6(b)和圖6(c)所示。當Ω=1.508 00時，相軌跡穿越σ2截面4次，發生2次脫嚙。隨著Ω的減小，系統發生擦邊碰撞(圖6(b))，系統相圖的拓撲結構發生突變?？梢妶D6(c)，相軌跡穿越σ2截面6次，發生3次脫嚙。

當Ω=0.811 75時，系統再次發生擦邊碰撞(x=D，齒面碰撞面)，由“1-0-0”向“1-1-0”轉遷，無量綱齒面嚙合力F突變為1周期，但擦邊碰撞未對系統周期造成影響，TLE值保持穩定。擦邊碰撞前后系統相圖如圖7(a)、圖7(b)和圖7(c)所示。當Ω=0.812 50時，如圖7(a)所示，系統處于無沖擊狀態，相軌跡全部位于x=1的右側。隨著Ω的減小，系統發生擦邊碰撞(圖7(b))，當Ω=0.811 00時(圖7(c))，系統由無沖擊狀態轉變為單邊沖擊狀態，但其相軌跡和圖7(a)、圖7(b)相軌跡相同，其拓撲結構未發生改變，可看作是相軌跡向左平移而系統周期保持不變。

當Ω=0.804 40時，向“2-2-0”遷移時發生倍周期分岔，分叉點TLE值向0發生突變。當Ω=0.797 00時，系統再次發生擦邊碰撞(x=D，齒面碰撞面)，轉遷至“2-3-0”運動。此次擦邊碰撞依然未對系統周期造成影響，TLE值保持穩定。擦邊碰撞前后系統相圖如圖8(a)、圖8(b)和圖8(c)所示?？梢婟X輪副在一個嚙合周期內脫嚙次數增加一次，相軌跡的拓撲結構未發生改變且沖擊狀態保持不變。隨著Ω的持續減小，系統逐漸由倍周期分岔通向混沌。TLE值突變并大于0，呈震蕩上升態勢。

由上述分析可知，隨著Ω的變化，系統會不斷地改變其運動的軌道。而齒面擦邊碰撞的發生，有可能會對系統的運動狀態(P-Q-R)產生不可預見的影響，改變系統的運動周期和沖擊狀態。當擦邊碰撞發生，TLE值突變時，系統產生分岔，齒輪的運動狀態發生較大改變。而當TLE值保持穩定時，系統未出現分岔現象，系統周期數保持穩定但嚙合力發生改變，相軌跡可視為向左平移穿過碰撞面而其拓撲結構未發生變化。

3.2 齒側間隙D對擦邊特性的影響

為了保證正常的裝配和潤滑，齒輪副必須保證必要的齒側間隙，其大小對擦邊碰撞特性會產生一定影響。忽略軸承徑向間隙引發的非線性力-位移關系，取基準參數固定為：Fm=0.2,Fah1=0.05，ε=0.2，Ω=1.45，ξ11=ξ22=0.01，ξ13=ξ23=0.012 5，ξ33=0.05，F1=F2=0.1，k11=k22=1.25，無量綱齒側間隙D∈[0,1.0]。

圖9為σ1截面上分岔圖。圖10為σ2和σ3截面上嚙合力F的周期變化圖，D<0.171 60時虛線(F=0)以上和以下區域均存在點，系統處于雙邊沖擊狀態，D>0.171 60時僅虛線以下區域存在點，系統處于單邊沖擊狀態。圖11為最大Lyapunov指數圖。

圖9 齒輪嚙合綜合誤差x隨D變化分岔圖Fig.9 The bifurcation diagram of gear comprehensive error of meshing x changing with D

圖10 無量綱嚙合力F的周期變化圖Fig.10 The periodic variation diagram of dimensionless meshing force F

圖11 最大Lyapunov指數圖Fig.11 The largest Lyapunov exponent

由圖9可見，當D∈[0,0.596 40]時，系統為周期1運動，齒面嚙合力和齒背嚙合力同時存在并且均為1周期。隨后系統運動在D=0.059 72和D=0.065 24處發生跳躍且于前一點處發生分岔。跳躍點處TLE值出現突變且近似為零。值得注意的是，D=0.065 24處齒面嚙合力突然急劇減小至零附近但未極限接近零，系統處于“2-1-1”運動，為探究此時系統是否發生擦邊碰撞，其相圖如圖12所示。此時，xmin<-D，運動狀態和圖9、10相互對應，但未存在擦邊碰撞的情形。

圖12 D=0.065 24系統相圖Fig.12 Phase portraits of system in D=0.065 24

當D=0.106 80時，齒背碰撞面發生擦邊碰撞(x=-D，齒背碰撞面)，σ3截面上無量綱齒背嚙合力F突變為2周期，系統轉遷為“2-1-2”運動，TLE值未發生改變。擦邊碰撞點前后的相圖如圖13(a)、圖13(b)和圖13(c)所示。當D=0.106 10時(圖13(a))，相軌跡穿越齒背碰撞面2次，發生1次脫嚙。擦邊碰撞(圖13(b))后，當D=0.107 60時(圖13(c)),相軌跡穿越齒背碰撞面4次，發生2次脫嚙，但相軌跡拓撲結構未發生改變，系統始終保持雙邊沖擊的狀態。

當D=0.121 86時，齒背碰撞面再次發生擦邊碰撞(x=-D，齒背碰撞面)并發生分岔，系統發生分岔且TLE值突變至零附近，齒背嚙合力F突變為3周期，齒面嚙合力F突變為2周期。系統由“2-1-2”向“4-2-3”狀態轉遷。碰撞前后相圖如圖14所示。當D=0.120 80時(圖14(a))，相軌跡穿越齒背碰撞面4次，發生2次脫嚙。相軌跡和齒背碰撞面發生擦邊碰撞(圖14(b))后，拓撲結構發生變化。如圖14(c)所示，相軌跡穿越齒背碰撞面6次，發生3次脫嚙。

隨后，當D=0.141 00時系統突變至“n-n-n”運動，TLE值突變并大于0，呈高位震蕩態勢，齒面嚙合力和齒背嚙合力均突變為長周期。當D=0.172 20時，系統發生邊界激變向“4-3-0”轉遷。隨后，TLE值和系統的運動狀態保持基本穩定，系統對齒側間隙D的變化不再敏感。

綜上所述，齒背擦邊碰撞會對系統的運動狀態產生影響。擦邊碰撞發生時，當系統相圖未發生拓撲變化且TLE值保持穩定，齒輪副間嚙合力改變而周期數保持不變。當相圖發生拓撲變化時，系統運動狀態改變，特征同前。并且，當齒側間隙較小時，系統的運動狀態較不穩定且存在雙邊沖擊的現象，擦邊碰撞現象頻繁。當D>0.172 20時，系統發生激變后運動狀態保持穩定，齒輪嚙合綜合誤差隨著齒側間隙的改變呈線性變化。

4 結 論

本文在齒輪-軸承傳動系統模型的基礎上，分析了擦邊碰撞對系統動力學特性的影響，研究表明：

(1) 隨著激勵頻率或齒側間隙的改變，擦邊碰撞對系統運動狀態(P-Q-R)有較大影響，引起系統周期和嚙合力的改變。當TLE值近似等于零時，系統發生分岔，系統周期數和齒輪副間嚙合力均發生較大變化。當TLE值未出現向零突變時，齒輪副間嚙合力發生變化但系統周期數保持不變，相軌跡的拓撲結構未發生改變。

(2) 擦邊碰撞容易發生在激勵頻率較高/低時或齒側間隙較小的工況下，同時易伴隨著沖擊狀態的改變。此時，齒輪系統的振動特性較不穩定。適當控制激勵頻率和齒側間隙，避開系統的擦邊碰撞和不理想的沖擊狀態能夠提高齒輪傳動的穩定性。