一類分數階分段Duffing振子的混沌研究

王 軍， 申永軍， 張建超， 王曉娜

(1.石家莊鐵道大學 省部共建交通工程結構力學行為與系統安全國家重點實驗室，石家莊 050043；2.河北軌道運輸職業技術學院 機電工程系，石家莊 050021)

關于系統產生混沌必要條件的問題，很多學者利用Melnikov方法對其進行了研究。如：牛玉俊等[1]利用Melnikov方法,研究了定點脈沖系統出現Smale馬蹄意義下混沌的必要條件，為定點脈沖系統的混沌研究提供了一種解析工具。李海濤等[2]利用Melnikov方法研究了三穩態能量收集系統同宿分岔以及混沌動力學的定性研究方法，得到了發生同宿分岔的閾值曲線。沈曉娜等[3]通過研究非線性碰撞振動系統共存的光滑Melnikov函數和非光滑Melnikov函數，得到光滑同宿軌分叉和非光滑同宿軌分岔產生Smale馬蹄混沌的必要條件。李海濤等[4]利用Melnikov方法對非對稱勢能阱的雙穩態能量采集系統進行研究得出了系統發生同宿分岔的閾值，研究結果將拓展非線性動力學的研究范疇，為實現混沌響應的調控提供一種策略。張紅麗等[5]利用Melnikov方法研究了一類帶有外激的非線性動力系統，得到當某些參數值取特定值時，平均方程的異宿軌破裂，這可能引起Smale馬蹄混沌。Wang等[6]利用Melnikov方法研究了準周期擾動下單壁碳納米管在參量激勵和外激勵下的共振行為，獲得了具有周期攝動近似系統的Smale馬蹄混沌的必要條件。劉彬等[7]利用Melnikov方法研究了一種液壓缸非線性剛度約束系統，得到了液壓缸非線性剛度約束系統發生Smale馬蹄變換意義下混沌的臨界條件。

還有一些文獻主要針對整數階 Duffing 振子產生混沌的問題進行研究。如：李航等[8]利用Melnikov方法對Duffing系統的主-超諧聯合共振系統進行全局分析，得到系統進入Smale馬蹄意義下混沌的條件。Wen等[9]用Melnikov方法研究了強迫激勵下的整數階Duffing振子在位移延遲反饋和速度延遲反饋下的異宿分岔和混沌，分析了產生混沌的必要條件。Sun等[10]利用Melnikov方法研究了在諧振激勵下具有延遲位移和速度反饋的整數階Duffing振蕩器的混沌行為，得出了同宿分岔產生混沌的必要條件。Shen等[11]基于Melnikov方法研究了在共振激勵下具有延遲位移和速度反饋的Duffing振蕩器的分叉和混沌行為，建立了Smale馬蹄鐵意義上混沌解析的必要條件。

針對分數階系統產生混沌問題的研究還比較少。Xing等[12]利用Melnikov方法分析了分數階導數欠諧波激勵下Duffing振子混沌運動的必要條件，建立了Smale馬蹄形意義上的混沌必要條件，然后得到了混沌閾值曲線。Nwagoum Tuwa等[13]利用 Melnikov 方法分析了分數階簡支非線性黏彈性板在參數和外部激勵作用下的混沌振動，提出了由同宿分叉引起的Smale馬蹄混沌現象的判據。Anague Tabejieu等[14]利用Melnikov方法分析了具有分數階黏彈性特性的階次對梁振幅的影響，得出了由異斜分叉引起的Smale馬蹄形混沌發生的必要條件。Liu等[15]利用Melnikov方法分析了具有分數階物理特性的壓電振動能量采集器(VEH)系統的混沌行為，得出了均方準則用于檢測該隨機系統混沌運動的必要條件。Chang等[16]利用Melnikov方法分析了具有分數階導數的非線性車輛懸架系統的混沌行為，發現分數階微分項的系數和階數，剛度系數和系統的阻尼系數均會影響必要條件，并分別對這些參數的影響進行分析。

通過以上文獻可以看出，現有研究多偏重于整數階或單獨的分數階系統研究，關于分數階和分段系統耦合作用下系統產生混沌必要條件的研究還很少。在含有分數階的分段光滑系統中，由于分數階和分段光滑系統非線性的雙重影響使產生混沌現象的必要條件更加復雜。

本文基于Melnikov方法研究了分數階分段Duffing振子產生Smale馬蹄混沌現象的必要條件。本文的結構如下：在第1章中，基于Melnikov方法建立了系統同宿軌的Melnikov函數，并獲得了混沌的必要條件。在第2章中，通過數值仿真的方法對混沌必要條件進行了驗證，通過繪制系統的時間歷史，相圖和龐卡萊截面圖等驗證了解析結果的正確性。在第3章中，分析了分數階參數、分段參數等對混沌必要條件的影響。最后，對具體結論進行了總結和分析。

1 分數階分段Duffing系統的變換

研究如下分數階分段Duffing振子

(1)

(2)

關于分數階的定義有多種不同的形式，Caputo定義是最常用的形式之一。本章采用Caputo定義形式計算分數階導數如下

(3)

設式(1)存在周期解，即方程的一階穩態解。采用平均法進行研究，假設式(1)滿足

x(t)=acosφ

(4)

式中，φ=ωt+θ。

當0

(5)

利用等價系數替換公式中的分數階項，一階近似等價整數階系統可得到如下表達式

(6)

式中:系統等價的阻尼系數為C1=c+cp;系統等價的剛度系數為K=k-kp。

2 等效整數階分段Duffing振子的混沌必要條件

令εC=C1，εF=F1，將式(6)轉換為狀態方程的形式

(7)

當ε=0時，可得到式(7)的未擾系統。由于式(7)為分段系統，因此其未擾系統也為分段形式

(8)

由式(8)可以得到未擾系統的Hamilton方程，系統的Hamilton方程也為分段形式

(9)

(1)α1≤0且α2≤0時，系統只有一個鞍點(0，0)；

第一種情況系統不存在同宿軌，第二種和第三種情況系統僅存在一條同宿軌，第四種情況系統存在兩條同宿軌，本文僅考慮第四種情況。

(10)

同樣，當M13時，未擾系統的同宿軌道為

(11)

依據Melnikov方法，得到非光滑系統同宿軌的Melnikov函數表達式為

(12)

(13)

將式(13)分為M1、M2兩個部分分別進行計算，首先對第一部分M1進行計算

(14)

由于式(14)包含四部分內容，因此把它們分別定義為M11、M12、M13和M14，分別進行積分，其中M11的詳細積分過程如下

(15)

同理，可以得到M12、M13和M14的積分值，分別如下

(16)

(17)

(18)

綜上，將M11、M12、M13和M14四部分內容相加，即得到M1的結果

M1=

(19)

同樣的方法可得到M2的結果如下

(20)

將式(19)和式(20)的積分結果代入式(13)，經整理得到

M(t0)=

(21)

(22)

當M(t0)=0時，式(22)可變形得到

(23)

根據三角函數的基本性質，式(23)可近似為以下形式

(24)

式(24)即為系統產生Smale馬蹄變換意義下混沌的必要條件，經整理得到系統產生混沌的必要參數條件為

≤F

(25)

3 混沌必要條件的數值驗證

為了驗證解析得到的混沌必要條件，本節采用數值仿真方法進行驗證。選取系統的基本參數為：k=0.6，c=0.2，α1=0.5，α2=0.1，p=1.2，K=1，ω=0.8。

根據第2章得到的混沌必要條件的解析結果，即式(25)，得到隨分數階階次p變化的混沌必要條件的臨界線，如圖1所示，臨界線上各點即為系統產生混沌必要條件的最小激勵振幅Fmin。由圖1可以看出，臨界線將F-p平面分為兩部分，分別為周期運動和非周期運動。當F-p平面上的點處于臨界線下方及臨界線上的區域時，系統處于周期運動狀態；當F-p平面上的點處于臨界線上方的區域時，系統可能產生馬蹄意義上的混沌，即同宿軌發生了橫截相交，系統處于非周期運動狀態。為了驗證上述結果，下面分別選取F-p平面上的點進行數值仿真，包括位于周期區域內臨界線上的點①和點⑥、周期區域內位于臨界線下方的點③和點⑤，以及非周期區域內位于臨界線上方的點②和點④，逐一繪制這六個點的相圖、時間歷程圖和龐卡萊圖進行驗證，分別如圖2～圖7所示。

圖1 混沌臨界曲線及驗證點Fig.1 Chaotic critical curves and verification points

(1) 點①是臨界線上的點，分數階階次p=0.6，激勵振幅F=0.9，系統的相圖、時間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖2所示，此時系統做穩定的周期運動，由圖2可知系統正處于單周期的運動狀態。

(2) 點②位于非周期運動區域，分數階階次p=0.6，激勵振幅F=1.15，系統的相圖、時間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖3所示，此時系統處于混沌運動狀態。

(3) 點③位于周期運動區域，分數階階次p=1，激勵振幅F=1.5，系統的相圖、時間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖4所示，此時系統也處于單周期運動狀態。

(4) 點④位于非周期運動區域，分數階階次p=1，激勵振幅F=1.7，系統的相圖、時間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖5所示，此時系統處于混沌運動狀態。

(5) 點⑤位于周期運動區域，分數階階次p=1.2，激勵振幅F=1.55，系統的相圖、時間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖6所示，此時系統正處于周期五運動狀態。

(6) 點⑥也是臨界線上的點，位于周期運動區域，分數階階次p=1.2，激勵振幅F=1.848，系統的相圖、時間歷程圖和龐卡萊截面圖分別如圖7所示，此時系統正處于周期二運動狀態。

圖8～圖10分別為分數階階次p=0.6、1和1.2時的系統分岔圖。由圖8的系統分岔圖可以看出，當分數階階次p=0.6時，系統產生混沌的激勵振幅Fmin為1.130；由圖9的系統分岔圖可以看出，當分數階階次p=1時，系統產生混沌的激勵振幅Fmin為1.685；由圖8的系統分岔圖可以看出，當分數階階次p=1.2時，系統產生混沌的激勵振幅Fmin為1.855。而由Melnikov解析方法得到的混沌必要條件如圖1臨界線所示，對應于p=0.6、1和1.2混沌必要條件的激勵振幅Fmin分別為0.900、1.620和1.848，可以看出由仿真得到的數值結果和由解析得到的結果存在一定誤差，這是由于使用Melnikov函數只是近似結果，同時分數階微分也是采用的近似等價結果，因此解析結果與數值計算存在一定的誤差。由于誤差在可接受范圍內，因此把系統中的分數階系統變換成等價的整數階系統這種方法是可行的。

圖8 p=0.6時系統分岔圖(k=1,c=0.2,α1=0.5,α2=0.1,p=0.6,K=0.6,ω=0.8)Fig.8 System bifurcation diagram when p=0.6

圖9 p=1時系統分岔圖(k=1,c=0.2,α1=0.5,α2=0.1,p=1,K=0.6,ω=0.8)Fig.9 System bifurcation diagram when p=1

圖10 p=1.2時系統分岔圖(k=1,c=0.2,α1=0.5,α2=0.1,p=1.2,K=0.6,ω=0.8)Fig.10 System bifurcation diagram when p=1.2

4 主要參數對混沌必要條件的影響

由式(25)可知，所選參數不同，系統產生混沌的必要條件也不同。為了更好地了解各項參數對分段非線性振子混沌必要條件的影響，下面采用數值仿真的方法進行分析。所選基本參數為k=0.6，c=0.2，α1=0.5，α2=0.1，p=1.2，K=1，ω=0.8。

4.1 線性剛度和線性阻尼系數對混沌必要條件的影響

本節分析系統線性剛度系數k和線性阻尼系數c對系統混沌必要條件的影響。圖11和圖12分別為線性剛度系數k和阻尼系數c變化時，由式(25)得到混沌必要條件的臨界線。

圖11 線性剛度系數k對混沌必要條件的影響Fig.11 Influence of linear stiffness coefficient k on necessary conditions of chaos

圖12 阻尼系數c對混沌必要條件的影響Fig.12 Influence of damping coefficient c on necessary conditions of chaos

由圖11可以看出，隨著系統線性剛度系數逐漸增大，系統產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin也隨之不斷增大，臨界線斜率也逐漸變大。同樣，由圖12可以看出，隨著系統線性阻尼系數的增大，系統產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin值也隨之不斷增大。這是因為阻尼的增大會使系統消耗更多的能量，意味著系統同宿軌產生橫截相交發生混沌所需要的Fmin就越大。因此，增大線性剛度系數和阻尼系數均可以減小系統非周期運動的區域，能夠在一定程度起到抑制混沌的作用。

4.2 分數階階次和分數階系數對混沌必要條件的影響

首先分析系統分數階階次p對系統混沌必要條件的影響。圖13為分數階階次變化時，由式(25)獲得的系統產生混沌必要條件的臨界線曲線圖。由圖13可以明顯看出，隨著分數階階次p的增大，系統產生混沌必要條件的激勵幅值Fmin先升高后降低，最大門檻值Fmin出現在p=1.2附近。

圖13 分數階系數kp對混沌必要條件的影響Fig.13 Influence of fractional coefficient kp on necessary conditions of chaos

由式(5)分數階項引起的等效阻尼表達式可以看出，當分數階階次p由0逐漸增加到2時，等效阻尼先增大后減小，而同樣由式(5)分數階項引起的等效剛度表達式可以看出，分數階階次p由0逐漸增加到2時，等效剛度一直是逐漸減小。由4.1節可知，系統線性阻尼的增大會使系統產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin增大，而等效阻尼減小則會使系統產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin減小，因此當p由0逐漸增加到2時，由等效阻尼部分引起的混沌必要條件激勵振幅Fmin先增大后減?。煌瑯樱?.1節得知，等效剛度的減小會使系統產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin減小。又由圖11和圖12可知當系統線性阻尼和線性剛度較小時，線性阻尼對系統產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin的影響更大，因此，當分數階階次p由1增加到2時，系統產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin隨之先增大后減小。

其次分析分數階系數kp對系統產生混沌的必要條件的影響。保持基本參數不變，分數階系數kp分別為0.2、0.4、0.6、0.8和1.0時，相應的混沌必要條件臨界線如圖13所示，它們分別采用不同類型的曲線表示。

從圖13中曲線的變化情況可以看出，分數階階次p取較小值p

由圖13可以看出，隨著分數階階次p繼續增大(pmin1時，由于分數階等效剛度kp的變號，系統剛度K變為隨著kp的增大而增大，而系統線性剛度K的增大會導致混沌必要條件的Fmin增大， 因此，在p>1時，隨著kp的增大，系統混沌必要條件的激勵振幅Fmin也隨之增大。綜上可知，在p較大時(pmin

4.3 分段非線性剛度系數對混沌必要條件的影響

分析分段非線性剛度系數比值s=α1/α2對系統發生混沌必要條件的影響。同樣保持其他參數不變，選取α2=0.1，0.5和0.9時，得到隨著s變化的混沌必要條件臨界線如圖14所示。由圖可以看出同樣的s下，α2越小，系統產生混沌的必要條件的激勵振幅值Fmin越大，可見s一定時，選取較小的α2會抑制分數階分段非線性系統的混沌現象。同樣由圖14還可以看出，當α2不變時，隨著s增大，產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin先迅速減小，到s=1附近時激勵振幅Fmin的降幅逐漸變緩，而后繼續緩慢減小，s越大的地方，Fmin的變化越平緩。

圖14 分段非線性剛度系數比值s對混沌必要條件的影響Fig.14 Influence of piecewise nonlinear stiffness coefficient ratio s on necessary conditions of chaos

由混沌必要條件式(25)可知，分段非線性系數α1和α2對混沌必要條件的影響是一致的，因此可以得到：隨著α1或者α2的減小，系統產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin越大，而對于任意選定的α1或者α2，應盡可能選取較小的α2或者α1，這樣會使系統產生混沌必要條件的激勵振幅Fmin越大，系統非周期運動區域越小，越不易產生混沌。

5 結 論

本章對含有分數階微分的分段Duffing系統的混沌閾值進行了研究。

(1) 基于Melnikov方法，得到了系統產生Smale意義下混沌的必要條件。建立了各參數之間的關系，通過混沌必要條件得到了系統產生混沌的周期運動區域和非周期運動區域。

(2) 通過數值模擬相圖、時間歷程圖和龐卡萊截面圖以及系統分岔圖對混沌必要條件進行了驗證，并詳細分析了系統參數對混沌必要條件的影響，得出系統的剛度系數、阻尼系數、分數階參數以及分段非線性參數均對系統產生混沌的必要條件有著重要影響，通過改變這些參數可以改變系統的周期運動和非周期運動區域，研究結果對類似系統的混沌抑制有一定意義。