耦合組合剛度非線性能量阱的線性振子動力學分析

張運法， 孔憲仁， 岳程斐

(1. 哈爾濱工業(yè)大學 衛(wèi)星技術研究所， 哈爾濱 150080； 2. 哈爾濱工業(yè)大學 空間科學與應用技術研究院， 深圳 518055)

航天器在發(fā)射時會面臨十分復雜的振動環(huán)境，在過去的數(shù)十年中，抑制有害振動進入到結構系統(tǒng),一直是值得關注的重要問題。結構減振的方法包括主動、半主動、被動和混合方法，在實際工程中由于被動減振應用方便，因此被廣泛的使用[1-4]。Frahm等[5-9]提出了一種典型的被動減振裝置線性動力吸收器(TVA)，其構造簡單、減振效果顯著，因此得到許多學者廣泛的研究。但是TVA僅能在特定固有頻率附近具有較好的減振性能，減振帶寬比較窄。為增加吸振器抑制帶寬，Roberson[10]提出了非線性能量阱(nonlinear energy sink, NES)，它是一個由黏性阻尼和強非線性(不可線性化)彈簧構成的輕型附件。NES中振動能量的吸收機制為靶能量傳遞(TET)，可以實現(xiàn)能量從源頭(系統(tǒng))到供體(NES)的單向不可逆?zhèn)鬟f[11]。NES與線性TVA相比，不僅減振帶寬更廣，抑制振動更有效，而且還提高了魯棒性[12-15]。從此，NES得到了越來越多的關注和研究[16-19]。NES現(xiàn)在種類豐富，可以分為分段線性NES、不光滑的剛度遞減NES、雙穩(wěn)定NES、內部旋轉NES等等[20-23]。

Gendelman等[24-26]在研究耦合NES的系統(tǒng)主結構受到與其固有頻率相同的簡諧激勵頻率時能量傳遞的情況，發(fā)現(xiàn)在NES和主結構1∶1共振頻率附近系統(tǒng)會發(fā)生不尋常的強調制響應(strongly modulated response, SMR)，其可以解釋為是由不同穩(wěn)定區(qū)間的跳躍現(xiàn)象引起。隨后利用數(shù)值方法對NES進行優(yōu)化結果表明SMR比穩(wěn)態(tài)周期響應在抑制振動方面具有更好的效果，為產生SMR需要系統(tǒng)含有非線性且NES與線性主結構比值足夠小。

由于在工程實際中NES理想的純立方剛度很難實現(xiàn)，因此為提高其在工程中的實用性，本文對耦合組合剛度NES的線性振蕩器動力學進行了相關的建模和分析[27]。首先利用復變量平均法對研究目標進行建模，得到了系統(tǒng)的慢變方程。然后系統(tǒng)進行鞍結分岔和Hopf分岔分析，對系統(tǒng)平衡點的個數(shù)和穩(wěn)定進行了分析。最后還利用能量譜對各部分質量比、激勵幅值、組合剛度NES的剛度及阻尼帶來的影響進行分析，并與純立方剛度NES在減振方面的應用進行比較，說明了組合剛度NES的減振效果。

1 研究對象動力學模型及方程

本文研究耦合組合剛度NES線性振子的系統(tǒng)模型，如圖1所示。

圖1 耦合組合剛度NES的線性振子模型圖Fig.1 Model diagram of the linear oscillator with combined stiffness NES

圖1中m1、m2分別表示線性振子和NES的質量，kl、knl分別表示線性振子的線性剛度和NES的非線性剛度，其中knl由線性剛度k21和非線性剛度k23組成，c1、c2分別表示線性振子和NES的線性阻尼，簡諧激勵F=F0cos(wt)，其中x1、x2分別表示線性振子和NES的位移，耦合組合剛度NES的線性振子運動方程如下所示

(1)

(2)

化簡為

(3)

本文將采取如下假設，假設一：NES的質量相對于線性振子的質量而言微不足道，即0<ε<<1；假設二：本文研究系統(tǒng)在共振下的系統(tǒng)運動情況，線性振子和簡諧激勵的頻率差距很小，假設兩者差別在ε1的范圍內，滿足w= 1+εδ，其中δ代表頻率失諧系數(shù)[28]。因此可將運動方程化簡為

(4)

用u、v分別表示系統(tǒng)質心運動位移和線性振子與NES之間的相對運動位移，如下式所示

u=x1+εx2,v=x1-x2

(5)

代入式(4)進行變量替換，可化為

(6)

本文對式(6)利用復變量平均法進行相關研究，并進行下式所示的變量替換

(7)

上式將系統(tǒng)周期解近似分解為快速振動部分e(1+εδ)t和振幅慢調制部分φi(t)，在研究系統(tǒng)能量傳遞時主要考慮慢變部分，因此略去快變部分，可以得到系統(tǒng)的慢變方程，如下

(8)

2 分岔研究

將平衡固定點φ10、φ20代入耦合組合剛度NES系統(tǒng)的慢變方程式(8)可得

(9)

由式(9)第一式可解得

(10)

將式(10)代入式(9)第二式可將其化簡為

(11)

式中，M= (2εδ+1)/(2εδ+2δ+1)，將式(1)進一步化簡可以得到鞍結分岔邊界條件為

α0+α1Z+α2Z2+α3Z3=0

(12)

α1+2α2Z+3α3Z2=0

(13)

對式(13)求解可以得到

(14)

將式(14)代入式(12)可以得到

(15)

式(15)已化為A與各參數(shù)的方程，即A=f(λ,δ)，其可以進一步表示鞍結分岔邊界曲線，并區(qū)分周期解的情況，如圖2所示。在圖2中參數(shù)選取為ε= 0.1，k1= 1/3，k3= 4/3[25，28]。

圖2 δ = 2時組合剛度NES的鞍結分岔圖Fig.2 Saddle-node bifurcation diagram of combined stiffness NES when δ= 2

從圖2可得耦合組合剛度NES系統(tǒng)鞍結分岔邊界曲線的形狀近似為類三角形，且[λ,A]平面被劃分為兩部分，在曲線與坐標軸圍成封閉曲線內任取一點λ= 0.2，A= 0.9，此時可以得到三個平衡點，即具有三個不同的實數(shù)根；在封閉曲線外的上下部分各取一點，本文分別抽取λ= 0.2，A= 0.5和λ= 0.2，A= 1.4，此時可以得到一個平衡點，即只有一個實數(shù)根。因此由圖2可以得出當λ固定時，改變A的值可以得到不同數(shù)目的平衡點。

接著研究頻率失諧系數(shù)對鞍結分岔圖的影響,即改變δ的值，其它參數(shù)不變，可以得到不同δ的鞍結分岔圖，如圖3所示。

從圖3中可以得出，當δ> 0時，隨著δ值增大，A的最大值在逐漸增大；當δ= 0時，鞍結分岔不存在；當δ< 0時，隨著δ值增大，A的最大值在逐漸減小。

由圖2、圖3可以得出，改變λ或δ都可能影響實根個數(shù)，而兩者影響方式不同，當δ固定時，鞍結分岔形狀、所屬范圍不變，改變λ可以導致其實數(shù)根數(shù)目變化，是因為其改變了所屬的實數(shù)根數(shù)目區(qū)域導致。而當λ固定，能固定其所屬的位置不變，改變δ可以導致實數(shù)根數(shù)目變化，則是因為其改變了鞍結分岔所屬范圍導致。

接下來本文將利用Hopf分岔來考慮組合剛度NES系統(tǒng)所求平衡點的穩(wěn)定性，對動力學系統(tǒng)在平衡點附近考慮擾動運動，令

φ1=φ10+ο1,φ2=φ20+ο2

(16)

代入慢變方程式(8)可得

(17)

式(17)的特征方程可以化簡為

μ4+γ1μ3+γ2μ2+γ3μ+γ4=0

(18)

式中，μ為特征值。對上式系數(shù)進行如下簡化

(19)

可得特征方程各系數(shù)的表達式為

γ1=λ(1+ε)

3k223(k221(1+ε)2-2εδ(1+ε)-1)Z+

εδk221(1+ε)

γ3=(ελ(4ε2δ2+4εδ2+4εδ+1))/4

64δ((1+2εδ)2(δ-k221)+λ2(ε+1))+

64δ2λ2(ε+1)2+16λ2))/256+3Z(k221+

2k221δ(ε+1)-2δ-4δ2ε)k223δ2(2δ(ε+1)+

(20)

當Hopf分岔出現(xiàn)時，平衡點穩(wěn)定性發(fā)生變化，且通過復平面的正負虛軸，因此有μ= ±iΩ，代入式(18)分離實虛部可得

Ω4-γ2Ω2+γ4=0,Ω(γ1Ω2-γ3)=0

(21)

消去Ω，式(21)可進一步化簡為

(22)

將式(22)可以整理為Z的表達式，如下所示

ν1Z2+ν2Z+ν3=0

(23)

其中

(24)

對式(23)進行求解可得

(25)

從式(12)可得Hopf分岔穩(wěn)定區(qū)域的邊界為

(26)

當δ=2，ε=0.1，k221=1/3，k223=4/3時，耦合組合剛度NES系統(tǒng)的鞍結分岔和Hopf分岔如圖4所示。圖中在Hopf分岔曲線右側為穩(wěn)定區(qū)域，左側為不穩(wěn)定區(qū)域，從圖中可以得出鞍結分岔和Hopf分岔不同區(qū)域之間存在交叉。

圖4 系統(tǒng)的鞍結分岔和Hopf分岔圖Fig.4 Saddle node bifurcation and Hopf bifurcation diagrams of the system

同時本文研究頻率失諧系數(shù)對Hopf分岔的影響，如圖5所示。從圖5中可以得出，隨著δ值增大，A的最大值及所屬的面積在逐漸增大。由圖4、圖5我們可得其他參數(shù)不變時，改變λ或δ影響穩(wěn)定性的規(guī)律和影響鞍結分岔時的類似。

當δ=3,ε=0.1,k221=1/3,k221=4/3,λ=0.2時，系統(tǒng)所受激勵幅值變化對響應幅值的影響如圖6所示。當A=0.6，ε=0.1,k221=1/3,k221=4/3,λ=0.2時，系統(tǒng)所受激勵頻率變化對響應幅值的影響如圖7所示。

在圖6中隨著A的增大，系統(tǒng)平衡點先是處于穩(wěn)定狀態(tài)，隨后處于不穩(wěn)定狀態(tài)，最后又回到穩(wěn)定狀態(tài)；系統(tǒng)平衡點的個數(shù)是先處與單個平衡點個數(shù)階段，隨后處于三個平衡點個數(shù)階段，最后又回到單個平衡點個數(shù)階段。在圖7中隨著δ的增大，系統(tǒng)穩(wěn)定性與增大A時的情況整體趨勢相同, 而平衡點個數(shù)在類似于增大A的三階段過程后又增加了一個三個平衡點個數(shù)階段和最后回到單個平衡點個數(shù)階段。

圖6 當激勵幅值變化時對系統(tǒng)響應幅值的影響圖N20= |φ20|，實線：穩(wěn)定分支，星號：不穩(wěn)定分支Fig.6 The influence diagram of the system response amplitude when the excitation amplitude changes. N20= |φ20|, solid line: stable branch, asterisk: unstable branch

由上面分析可知，平衡點實根個數(shù)與穩(wěn)定性皆可以被λ或δ的取值影響，但方式不同。當δ固定時，鞍結分岔、Hopf分岔形狀固定，改變λ可以導致位置移動，進而影響實根個數(shù)、穩(wěn)定性。然而當λ固定時，其在鞍結分岔、Hopf分岔圖上位置不變，改變δ可以導致形狀變化，進而區(qū)域覆蓋范圍發(fā)生變化，從而影響實根個數(shù)、穩(wěn)定性。同時還得出當激勵幅值、頻率發(fā)生變化時，對系統(tǒng)響應幅值大小、平衡點個數(shù)及穩(wěn)定性帶來影響的規(guī)律。因此，調節(jié)以上參數(shù)可以使系統(tǒng)更容易處于不穩(wěn)定和系統(tǒng)響應幅值更小的狀態(tài)，對系統(tǒng)減振具有重要意義。

圖7 當激勵頻率變化時對系統(tǒng)響應幅值的影響圖N20= |φ20|，實線：穩(wěn)定分支，星號：不穩(wěn)定分支Fig.7 The influence diagram of the system response amplitude when the excitation frequency changes, N20= |φ20|, solid line: stable branch, asterisk: unstable branch

3 耦合NES系統(tǒng)的減振應用

本部分將研究耦合組合剛度NES的系統(tǒng)在減振方面的應用。通過對系統(tǒng)參數(shù)進行優(yōu)化，使其在減振方面達到最優(yōu)，并比較其在減振方面的差異。由于耦合NES系統(tǒng)在發(fā)生共振時具有十分復雜的響應機制和時變振幅。因此為了更準確的表示不同NES的振動抑制效果，本文利用能量譜來進行比較分析。本文依據式(3)，可將耦合NES的系統(tǒng)線性振子的能量表示為

(27)

其中〈·〉t表示在時間區(qū)間t內取平均值，前面提到使耦合NES的系統(tǒng)在減振方面達到最優(yōu)可以等價為使上式E的值在共振頻率附近達到最小，基于此本文進行相關分析，選取t∈ [2 000,3 000]。

接下來對考慮頻率失諧影響的耦合單自由度NES系統(tǒng)在不同質量比ε、不同激勵幅值A、不同NES剛度及阻尼下的減振情況進行分析。先對不同質量比ε、不同激勵幅值A、不同NES剛度情況下的減振情況進行研究，其中k221/k223= 0.1，λ1= 0.2，主結構在共振頻率附近的能量譜如圖8所示。同時利用Poincare映射和時間響應對ε= 0.1,A= 0.3時不同剛度的系統(tǒng)進行抽查分析，可得圖9 (a)、(b)。

由圖8可知當ε、A固定時，耦合組合剛度NES的系統(tǒng)在共振頻率附近的平均能量隨著NES剛度不斷增加在逐漸減小且調制、減振帶寬在不斷增大，此時系統(tǒng)發(fā)生SMR如圖9(a)所示。但當k223過大時，在共振頻率附近略小于共振頻率1處出現(xiàn)一個共振峰，對此處用Poincare和時間響應進行分析，由圖9(b)可知該處出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)周期響應，不利用系統(tǒng)減振，應該在NES選值時避免這一情況。由圖8可知當ε固定時，增大A會使達到最優(yōu)減振效果的剛度減小，同時使得最優(yōu)減振效果得到能量譜面積增大，不利于系統(tǒng)減振。當A固定時，增大ε同樣會使達到最優(yōu)減振效果的剛度減小，且會使得最優(yōu)減振效果的能量譜帶寬增大，同樣不利于系統(tǒng)減振。綜上，在設計NES時，應選取較小的ε、A和適當大的NES的剛度以減小系統(tǒng)主結構能量譜帶寬和面積，降低系統(tǒng)主結構的平均能量，達到最優(yōu)的減振效果。

進一步對不同質量比ε、不同激勵幅值、不同NES阻尼情況下的減振情況進行研究，在k223= 1、k221= 0.1條件下分別取不同阻尼值，其主結構在共振頻率附近的能量譜如圖10所示。同時當ε= 0.1,A= 0.3時，利用Poincare映射和時間響應對λ1= 0.1、λ1= 0.5的系統(tǒng)進行分析，可得圖11。

由圖10可以得出當ε、A固定時，增大NES的阻尼并不能使得線性主結構平均能量減小，通過圖11能更清楚地得出當NES選的阻尼較小時，在共振頻率附近系統(tǒng)存在SMR，此時對線性主結構振動抑制效果更好；當NES的阻尼較大時，系統(tǒng)會出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)周期響應，此時不利于線性主結構減振。由圖10可以得出當ε固定時，增大A會使達到最優(yōu)減振效果的阻尼增大，同時使得最優(yōu)減振效果得到能量譜面積增大，不利于系統(tǒng)減振。當A固定時，增大ε同樣會使達到最優(yōu)減振效果的阻尼增大，且使得最優(yōu)減振效果的能量譜帶寬和能量譜面積增大，同樣不利于系統(tǒng)減振。綜上，在設計NES時，應選取較小的ε、A和適當小的NES阻尼以減小系統(tǒng)主結構能量譜帶寬和面積，降低系統(tǒng)主結構的平均能量，達到最優(yōu)的減振效果。

由上面分析可知通過改變材料參數(shù)，根據能量譜可以找出最優(yōu)減振效果的NES參數(shù)，本文選用評價最優(yōu)減振效果的標準主要是能量譜中E的面積最小；其次是能量譜中E的各處峰值最小。根據本文優(yōu)化標準同樣可得耦合組合剛度的單自由NES的系統(tǒng)，在立方剛度與線性剛度比為0.1時，取ε= 0.1,A= 0.3,k223= 3.38，λ1= 0.12，組合剛度NES取得最優(yōu)減振效果，并將其與文獻[26,30]中純立方剛度NES在ε= 0.1,A= 0.3時取得的最優(yōu)能量譜進行對比可得圖12。

圖12 不同NES最優(yōu)時能量譜對比圖Fig.12 The comparison of the energy spectrum of the best vibration suppression for different NESs

由圖12可得各NES在共振頻率附近具有較好的振動抑制效果；組合剛度NES相較于立方剛度NES在能量譜中，E的面積較小，且大多數(shù)位置處幅值要低，因此可以認為，此時組合剛度NES比立方剛度NES振動效果整體要好。

4 結 論

在承受諧波激勵載荷下耦合組合剛度NES系統(tǒng)具有豐富的動力學特性，本文首先對所研究系統(tǒng)進行了建模, 利用復變量平均法得到了系統(tǒng)的慢變方程。其次，對慢變方程進行了鞍結分岔和Hopf分岔分析，在進行鞍結分岔分析中，得到了鞍結分岔邊界曲線的形狀皆近似為類三角形，其將[λ,A]平面劃分為三個實數(shù)根和僅一個實數(shù)根的兩部分；同時得到了頻率失諧系數(shù)與激勵幅值的關系，即在其他參數(shù)固定的情況下，隨著δ模的增大A的最大值在逐漸增大。在進行Hopf分岔研究中，得到所求平衡點的穩(wěn)定性區(qū)域，并分析了激勵幅值、頻率變化對響應幅值的影響，即隨著激勵幅值的增大響應幅值在逐漸增大，且僅在A= 3附近為不穩(wěn)定部分；在改變激勵頻率時，僅在δ= 0附近存在不穩(wěn)定部分。還得到了耦合組合剛度NES系統(tǒng)平衡點實根個數(shù)與穩(wěn)定性皆可能被λ或δ的取值影響。當δ固定時，鞍結分岔、Hopf分岔形狀固定，改變λ導致所屬的區(qū)域變化，進而影響實根個數(shù)、穩(wěn)定性。然而當λ固定時，其在鞍結分岔、Hopf分岔圖上的位置不變，改變δ導致所屬的區(qū)域范圍變化，進而影響實根個數(shù)、穩(wěn)定性。這一部分還可以得出當激勵幅值、頻率發(fā)生變化時對系統(tǒng)響應幅值的大小、平衡點個數(shù)及穩(wěn)定性帶來影響。由于SMR在不穩(wěn)定狀態(tài)更容易發(fā)生，因此分岔研究為后面減振應用的優(yōu)化提供合理的參數(shù)選值建議。再次，利用能量譜對不同質量比ε、不同激勵幅值、不同NES剛度及阻尼下的減振情況進行分析，在本研究NES模型的前提下，在一定范圍內增加NES的剛度可以有利于系統(tǒng)減振，而增大NES的阻尼不一定利于系統(tǒng)的減振，SMR出現(xiàn)有利于系統(tǒng)減振。在其它參數(shù)固定的前提下，ε、A取值越小越有利于系統(tǒng)減振。最后，本文還將組合剛度NES與立方剛度NES最優(yōu)減振時的能量譜進行比較，驗證了組合剛度NES減振性能的優(yōu)越性。