基于力電耦合模擬的壓電懸臂板波激振動(dòng)獲能研究

郭興文， 周 贊， 顧水濤， 信志強(qiáng)

(1. 河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院， 南京 211100； 2. 沿海開發(fā)與保護(hù)協(xié)同創(chuàng)新中心, 南京 211000；3. 江蘇省風(fēng)電機(jī)組結(jié)構(gòu)工程研究中心, 南京 211000； 4. 重慶大學(xué) 土木與工程學(xué)院， 重慶 400030)

近年來(lái)，處在海洋環(huán)境下小型儀器和海上浮標(biāo)等設(shè)備的供電問(wèn)題引起了廣泛關(guān)注[1]，由于遠(yuǎn)離常規(guī)電力供應(yīng)的地點(diǎn)，能量供給以化學(xué)能為主，已經(jīng)越來(lái)越成為制約其使用和發(fā)展的關(guān)鍵技術(shù)難題[2]。更重要的是，它們功率不高，其所處的流體環(huán)境就蘊(yùn)含著大量的可再生能源，如風(fēng)能、海流能和波浪能等，探索如何高效利用它們所處流體環(huán)境實(shí)現(xiàn)電能自給已經(jīng)逐步成為熱點(diǎn)問(wèn)題[3]。

利用流致振動(dòng)現(xiàn)象捕獲流體能量是近年來(lái)發(fā)展出的使用可再生能源的新形式。振動(dòng)獲能裝置結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，力電轉(zhuǎn)換效率較高[4]，非常適用于解決這類設(shè)備的供電問(wèn)題。其中壓電式獲能裝置制作方便，獲能效率高[5]，可以直接將壓電材料貼合在夾持結(jié)構(gòu)上組成壓電式獲能裝置。流體作用下壓電式獲能裝置的振動(dòng)可以誘發(fā)壓電材料的正壓電效應(yīng)，引起壓電材料內(nèi)部正負(fù)電荷的規(guī)律排布[6]，在極化方向上產(chǎn)生電勢(shì)差，獲得電能。而壓電懸臂梁(板)因結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，是壓電式獲能裝置的常見形式[7]。壓電獲能裝置流致振動(dòng)獲能的主要形式有渦激振動(dòng)[8-9]、弛振[10]和顫振[11]等。鄒鴻翔等[12]設(shè)計(jì)了一種面內(nèi)壓電振動(dòng)能量采集裝置，建立了機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)模型，理論與數(shù)值仿真分析結(jié)果表明其可顯著降低占用空間并能保證較大的輸出功率。趙道利等[13]通過(guò)試驗(yàn)研究了壓電能量收集器的不同截面形狀柱體質(zhì)量塊對(duì)收集能量性能的影響，可為相關(guān)壓電獲能裝置的設(shè)計(jì)提供借鑒。吳沂寧等[14]針對(duì)多種結(jié)構(gòu)的氣動(dòng)彈性振動(dòng)的能量采集系統(tǒng)，對(duì)相關(guān)的氣動(dòng)模型進(jìn)行了總結(jié)討論，指出當(dāng)前氣動(dòng)模型不能精確計(jì)算出結(jié)構(gòu)大振幅下的振動(dòng)，未來(lái)研究中應(yīng)考慮使用三維非線性氣動(dòng)模型。趙道利等[15]在懸臂式壓電能量采集器分布參數(shù)模型的基礎(chǔ)上，對(duì)馳振作用下能量采集器的振動(dòng)和能量采集情況進(jìn)一步分析，得到質(zhì)量塊起振風(fēng)速以及從起振到馳振過(guò)程中所采集到的功率解析解。總的來(lái)說(shuō)，渦激振動(dòng)以卡門渦街為代表，常在液體流體中使用，馳振與顫振常用于氣體流體中[16]。

在海洋環(huán)境中，由于渦激振動(dòng)、弛振和顫振等通常用于捕獲風(fēng)能和海流能，且對(duì)流速(雷諾數(shù))要求較高，而波浪能能量密度高于風(fēng)能和海流能[17]，為了高效利用海洋環(huán)境中的波浪能，少部分學(xué)者將流致振動(dòng)獲能拓展到波激振動(dòng)獲能。Xie等[18]將壓電懸臂梁豎直放置在線性淺水波中，其一端固支在海床上，用于吸收水平方向的波浪能量。考慮到梁的幾何尺寸相對(duì)于波浪參數(shù)較小，梁的變形較小，采用莫里森公式計(jì)算壓電懸臂梁上的波浪荷載，基于歐拉-伯努利梁理論建立壓電懸臂梁振動(dòng)數(shù)值模型，根據(jù)壓電理論得到壓電材料電能的輸出功率。不足之處是壓電懸臂梁豎直放置僅適用于水深較小的海況，而且淺水波能量密度較低，此裝置經(jīng)濟(jì)性略差。為了克服這一缺點(diǎn)，Xie等[19]改用立柱固支在海床上，將壓電懸臂梁水平固支在立柱上，用于吸收豎直方向的波浪能量，可適用于淺水波浪和中等水深波浪。考慮到裝置的幾何尺寸，仍基于上述理論建立其振動(dòng)獲能數(shù)值模型。改變關(guān)鍵物理參數(shù)后裝置輸出電功率可以提高到30 W。由此可見，豎直方向的波浪能量較大，后續(xù)研究都在此基礎(chǔ)上開展。為進(jìn)一步增加裝置的適用范圍，Wu等[20]設(shè)計(jì)了浮式壓電獲能裝置，該裝置由立柱、浮筒和立柱上水平固支的壓電懸臂梁組成，可以在波浪中做豎向單自由度運(yùn)動(dòng)。建立了壓電懸臂梁在線性深水波中單自由度振動(dòng)獲能的數(shù)值模型后，考慮了壓電懸臂梁、立柱和浮筒的幾何尺寸變化后對(duì)獲能效率的影響，結(jié)果表明，裝置的豎向單自由度運(yùn)動(dòng)會(huì)降低其獲能效率。為了進(jìn)一步提升獲能效率，Viet等[21]設(shè)計(jì)了由彈簧系統(tǒng)和壓電杠桿裝置組成浮式獲能裝置，彈簧系統(tǒng)可以將波浪運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為機(jī)械振動(dòng)，壓電杠桿裝置可以放大機(jī)械振動(dòng)并將其轉(zhuǎn)化為電能。基于拉格朗日-歐拉法模型建立的獲能數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)值方法求解電能輸出功率。結(jié)果表明該裝置可以放大收集到的機(jī)械振動(dòng)，電能輸出功率可以達(dá)到103 W。Liu等[22]基于線性波浪理論建立了大尺寸壓電懸臂梁在波浪作用下振動(dòng)獲能的數(shù)值模型，考慮到波浪的繞射作用，利用入射波理論分析了關(guān)鍵幾何參數(shù)，得出不同參數(shù)取值下裝置幾何參數(shù)對(duì)運(yùn)動(dòng)、輸出電壓和功率的影響趨勢(shì)。

以上研究表明，壓電懸臂式獲能裝置可以有效地吸收波浪能，已開發(fā)出一些試驗(yàn)性產(chǎn)品，但是還存在以下不足之處：① 對(duì)于真實(shí)波浪環(huán)境作用下壓電懸臂梁的獲能研究還不夠深入，以上研究在建立壓電懸臂梁振動(dòng)獲能方程時(shí)都采用二維模型，沒有考慮到波浪傳播方向?qū)Σɡ撕奢d的影響；② 利用解析的方法采用經(jīng)驗(yàn)公式得到計(jì)算波浪荷載，僅有少數(shù)文獻(xiàn)[22]因?yàn)閴弘姂冶哿撼叽巛^大而考慮到波浪的繞射作用，而采用數(shù)值造波的方法可以提升波浪荷載的求解精度；③ 在振動(dòng)方程建立過(guò)程中沒有考慮到壓電材料的貼合對(duì)基板振動(dòng)的影響；④ 沒有考慮到電壓產(chǎn)生過(guò)程中，壓電效應(yīng)對(duì)壓電懸臂梁振動(dòng)的影響；⑤ 為了簡(jiǎn)化振動(dòng)的數(shù)值模型，壓電懸臂梁上的壓電材料只有一片或數(shù)片并排貼合，沒有考慮到不同位置壓電材料對(duì)獲能的貢獻(xiàn)程度。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文將壓電材料按一定規(guī)律排布在基板上，首先采用數(shù)值波浪模擬的方法，計(jì)算出三維壓電懸臂板在深水波中所受的時(shí)程荷載；考慮到壓電材料的貼合和壓電材料壓電效應(yīng)會(huì)對(duì)壓電懸臂板振動(dòng)產(chǎn)生影響，再采用力電耦合模擬的方法，同時(shí)得到板的振動(dòng)響應(yīng)和每個(gè)壓電材料上的輸出電壓；最后通過(guò)對(duì)關(guān)鍵物理參數(shù)的計(jì)算討論，歸納出對(duì)壓電懸臂板振動(dòng)和獲能的關(guān)鍵影響因素，分析不同位置壓電材料對(duì)獲能的貢獻(xiàn)程度，總結(jié)分析波浪運(yùn)動(dòng)與振動(dòng)獲能二者的關(guān)系，得出提高獲能效率的通用方法。

1 問(wèn)題描述

本文研究的是壓電懸臂板在波浪激發(fā)下振動(dòng)獲能的機(jī)理，如圖1(a)所示，一個(gè)壓電懸臂板被固支在造波水槽中，利用推板造波法從水槽的左端生成波浪，波浪在水槽中單向傳播，板在波浪的激發(fā)下振動(dòng)，引發(fā)其表面壓電材料的形變而產(chǎn)生電能。為方便后續(xù)研究，模型中的量采用可變參數(shù)模式。

本文研究的流體為氣液兩相流，氣相為空氣，密度ρa(bǔ)=1.225 kg/m3，動(dòng)力黏度μa=1.789 4×10-5Pa·s；液相為水，密度ρw=998.2 kg/m3，動(dòng)力黏度μw=1.003×10-3Pa·s。考慮到深水波能量密度較大，綜合我國(guó)黃海和東海的波浪特征[23]，將本文波浪取為線性深水波，其波浪參數(shù)水深d=40 m，波高H=3 m，波長(zhǎng)L=80 m。

壓電懸臂板由基板和其上下兩側(cè)粘貼的壓電材料組成。基板材料為鋁合金，密度ρb=2 800 kg/m3，彈性模量E=78 GPa，泊松比ν=0.3。如圖1(b)和圖1(c)所示，基板長(zhǎng)為a(可變)，寬b=0.2 m，厚c=0.006 m，基板中性層與靜水面的間距定義為壓電懸臂板的工作水深h，基板長(zhǎng)度方向與波浪傳播方向的夾角定義為壓電懸臂板的布置角度θ。基板的一端固支，固支端平面的中心點(diǎn)與造波入口的距離為L(zhǎng)0。基板的上下兩側(cè)粘貼PZT-4壓電材料[24]，其長(zhǎng)a0=0.2 m(與基板的寬b相等)，寬b0=0.05 m，厚c0=0.000 6 m。

為了分析不同位置的壓電材料對(duì)獲能的貢獻(xiàn)程度，如圖2所示，將壓電材料間隔排布，在x方向上，每2b0的長(zhǎng)度范圍為一個(gè)獲能單元，其上下兩側(cè)各粘貼一片壓電材料，所以基板的長(zhǎng)度a應(yīng)為0.1 m的整數(shù)倍。

圖2 壓電懸臂板Fig.2 Piezoelectric cantilever plate

壓電材料的密度為ρp=7 500 kg/m3，以+z方向?yàn)闃O化方向，其彈性剛度矩陣C、壓電常數(shù)矩陣e、介電常數(shù)矩陣λ如下

1010N/m2

由于壓電懸臂板的幾何尺寸與波浪的參數(shù)相比較小，其變形對(duì)于波浪運(yùn)動(dòng)的影響可以忽略不計(jì)[25]，所以本文先忽略板在波浪作用下的變形，計(jì)算出波浪對(duì)壓電懸臂板的時(shí)程荷載；流體計(jì)算完畢后，再將此荷載施加到壓電懸臂板上，進(jìn)行力電耦合計(jì)算。

2 數(shù)值方法

2.1 控制方程

2.1.1 流體控制方程

本文研究的流體是非定常不可壓縮均勻流體，控制方程為雷諾平均方程[26]，如式(1)和(2)所示

(1)

(2)

使用RNGk-ε模型[27]模擬湍流，k、ε兩方程如式(3)和(4)所示

ρlε

(3)

(4)

使用流體體積分?jǐn)?shù)(volume of fluid，VOF)模型[28](5)和(6)模擬氣液兩相流。

(5)

(6)

式中，αk是單元內(nèi)第k相流體所占質(zhì)量比。本文中k=1代表空氣，k=2代表水。

2.1.2 固體控制方程

壓電懸臂板由基板和壓電材料組成，其中基板的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)控制方程[29]為式(7)

(7)

式中：ρs1為基板密度；d為位移矢量；g為重力加速度；P=F·S為第一Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量，其中F=I+?d為變形梯度張量，I為單位張量，S為第二Piola-Kirchhoff應(yīng)力張量。S如式(8)所示

S=2μE+λtr(E)I

(8)

壓電材料的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)控制方程需結(jié)合其本構(gòu)方程導(dǎo)出，壓電材料的本構(gòu)方程[30]為式(9)

(9)

根據(jù)Hamilton原理，壓電材料的動(dòng)力學(xué)特性可用如式(10)所示的變分方程來(lái)表示

(10)

式中：δ為變分符號(hào)；K、U和W分別為動(dòng)能、勢(shì)能和外力功；t1和t2分別為振動(dòng)開始時(shí)刻和結(jié)束時(shí)刻。在不考慮系統(tǒng)阻尼的條件下，式(9)中變量K、U和W的定義分別為式(11)、(12)和(13)。

式中：u、Fb、Fc和Fs分別為作用位移、體積荷載、集中荷載和面荷載；q為面電荷量；ρs2為壓電材料密度；v和s為相應(yīng)作用體和作用面。將式(11)、(12)和(13)代入到式(10)即可得到壓電材料的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)控制方程。

基板與壓電材料的粘貼面為一層非常薄的界面過(guò)渡層，當(dāng)粘貼情況較好時(shí)，認(rèn)為壓電懸臂板的基板和壓電材料完全粘合，滿足完美界面假設(shè)[31]，粘貼面兩側(cè)物理量在通過(guò)粘貼面時(shí)是連續(xù)的。

在有限元求解中，考慮因幾何非線性因素引起固體的大變形，本文采用完全拉格朗日(total Lagrangian，TL)格式描述固體運(yùn)動(dòng)過(guò)程，所有變量均以初始時(shí)刻的位形作為參考位形。

2.2 計(jì)算域

2.2.1 流體計(jì)算域及邊界條件

流體模擬的計(jì)算域和邊界條件如圖3所示。造波水槽長(zhǎng)度取440 m，其中0～120 m為造波區(qū)和工作區(qū)，120～440 m為消波區(qū)；高度取50 m，其中靜水面以下40 m，靜水面以上10 m；寬度取2 m。

圖3 流體計(jì)算域和邊界條件Fig.3 Fluid computational domain and boundary conditions

(14)

由于右側(cè)面采用無(wú)滑移壁面邊界條件，可能會(huì)產(chǎn)生波浪反射現(xiàn)象，影響工作區(qū)計(jì)算精度，所以本文一方面采用了較長(zhǎng)的計(jì)算域，另一方面在消波區(qū)采用漸疏的網(wǎng)格，引入數(shù)值阻尼進(jìn)行消波。

2.2.2 固體邊界條件

壓電懸臂板固定端邊界條件為位移d1=d2=d3=0、轉(zhuǎn)角θ1=θ2=θ3=0；其余表面都為流固耦合邊界；基板的上下表面為零電勢(shì)邊界V=0，上側(cè)壓電材料的上表面和下側(cè)壓電材料的下表面添加耦合電壓，作為等電勢(shì)面求解。

2.3 數(shù)值驗(yàn)證

2.3.1 流體數(shù)值驗(yàn)證

為了確保壓電懸臂板波浪荷載求解準(zhǔn)確，首先要進(jìn)行造波模擬的準(zhǔn)確性驗(yàn)證。造波模擬計(jì)算總時(shí)長(zhǎng)為50 s，約為7個(gè)波浪周期，計(jì)算結(jié)束時(shí)波面如圖4所示。

圖4 數(shù)值波浪模擬(淺色相為空氣，深色相為水)Fig.4 Numerical wave simulation

因?yàn)楹罄m(xù)研究需確保工作區(qū)(40 m

從圖4和圖5中可以看出，在造波區(qū)和工作區(qū)內(nèi)波浪得以較好地生成；在消波區(qū)內(nèi)，波高被逐步削減，最終近似形成靜水面。在造波區(qū)和工作區(qū)內(nèi)，尤其在x=40 m和80 m處，數(shù)值造波波高與理論波高較為貼合，這表明本文數(shù)值造波精度較高；另外，從工程角度上講，當(dāng)波浪在x方向上傳播2～3個(gè)水深的距離后，由推板產(chǎn)生的立波的影響完全可以忽略[34]，因此為了兼顧數(shù)值造波的準(zhǔn)確性，后續(xù)壓電懸臂板固支端平面的中心點(diǎn)與造波入口的距離L0取為80 m。

2.3.2 固體數(shù)值驗(yàn)證

為了確保壓電懸臂板力電耦合計(jì)算準(zhǔn)確，選取如圖6所示算例做驗(yàn)證[35]。

圖6 固體數(shù)值驗(yàn)證算例計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.6 Numerical validation example of solid

壓電懸臂板的基板為鋁，密度為2 800 kg/m3，彈性模量為75 GPa，泊松比為0.33；壓電材料同為PZT-4壓電材料，以+z方向?yàn)闃O化方向，基板左端固定，自由端施加-z方向、大小為1 N的力，基板與壓電材料接觸面為零電勢(shì)邊界條件，壓電材料的上表面施加耦合電壓，作為等勢(shì)面計(jì)算。計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 固體數(shù)值驗(yàn)證算例計(jì)算結(jié)果Tab.1 Numerical validation results of solid

從表1中可以看出，本文壓電懸臂板力電耦合模擬計(jì)算方法準(zhǔn)確，軟件使用無(wú)誤。

2.3.3 網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證

為保證本文數(shù)值計(jì)算準(zhǔn)確，選取參數(shù)h=2 m、a=1 m、θ=0°進(jìn)行網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證。如圖7所示，流體網(wǎng)格為結(jié)構(gòu)網(wǎng)格。本文理論波面高度范圍為z=38.5～41.5 m，為了能準(zhǔn)確模擬出波面，在z=38～42 m的范圍內(nèi)加密網(wǎng)格，網(wǎng)格尺寸不超過(guò)H/30=0.1 m；在造波區(qū)和工作區(qū)內(nèi)，x方向網(wǎng)格尺寸不超過(guò)L/50=1.6 m，在消波區(qū)采用了漸疏的網(wǎng)格。此外，在波高范圍內(nèi)、板周圍流場(chǎng)范圍內(nèi)均進(jìn)行了加密，詳細(xì)尺寸如表2所示。

(a) 流體網(wǎng)格正視圖

(b) 流體網(wǎng)格局部俯視圖圖7 流體網(wǎng)格Fig.7 Fluid grid system

表2 流體網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證結(jié)果Tab.2 Grid validation results of fluid

選取三種不同疏密程度的流體網(wǎng)格，此時(shí)固體計(jì)算采用同樣的網(wǎng)格，分別計(jì)算得到板自由端z方向位移見表2。

可見用中等疏密程度的流體網(wǎng)格固體所受波浪荷載已很準(zhǔn)確。流體計(jì)算都使用此網(wǎng)格，固體網(wǎng)格如圖8所示，為全六面體網(wǎng)格，再選取三種不同疏密程度的固體網(wǎng)格，分別計(jì)算得到板自由端z方向位移如表3所示。

圖8 固體網(wǎng)格Fig.8 Solid grid system

表3 固體網(wǎng)格無(wú)關(guān)性驗(yàn)證結(jié)果Tab.3 Grid validation results of solid

可見用中等疏密程度的固體網(wǎng)格對(duì)壓電懸臂板進(jìn)行固體計(jì)算已很準(zhǔn)確。

在本文的后續(xù)計(jì)算中，都采用上述的中等疏密程度的流體網(wǎng)格和固體網(wǎng)格。

3 結(jié)果與分析

將壓電懸臂板從固定端到自由端所有獲能單元分別編號(hào)為1～n，用獲能單元質(zhì)心到固定端平面的距離表示其所在位置。

在力電耦合模擬完成之后，得到每個(gè)獲能單元上下表面壓電材料的輸出電壓曲線。用輸出電壓曲線的均方根值來(lái)描述電壓的有效值(有效電壓)，如式(15)所示

(15)

式中，Vi(t)為第i個(gè)獲能單元壓電材料的輸出電壓曲線，積分時(shí)間取電壓曲線較為穩(wěn)定的時(shí)間段。

而壓電懸臂板整板的有效電壓為所有獲能單元有效電壓的平均值，可由式(16)計(jì)算得出

(16)

式中:n為獲能單元總數(shù)；t為上側(cè)壓電材料；b為下側(cè)壓電材料。整板有效電壓的大小可以用來(lái)衡量整板獲能效率的高低。另外，從后續(xù)計(jì)算結(jié)果中可以得出，由本文壓電材料的粘貼方式?jīng)Q定，上下側(cè)壓電材料有效電壓幾乎相等，后續(xù)僅需討論上側(cè)壓電材料的有效電壓。

3.1 關(guān)鍵物理參數(shù)對(duì)壓電懸臂板獲能效率的影響及分析

本節(jié)先針對(duì)壓電懸臂板的工作水深h、基板的長(zhǎng)度a和壓電懸臂板的布置角度θ這三個(gè)參數(shù)進(jìn)行一系列的數(shù)值模擬計(jì)算，從中歸納出這三個(gè)參數(shù)對(duì)壓電懸臂板振動(dòng)規(guī)律和獲能模式的影響規(guī)律，總結(jié)分析了波浪運(yùn)動(dòng)與振動(dòng)獲能二者的關(guān)系，從而得出提高獲能效率的方法。

3.1.1 壓電懸臂板的工作水深h

將θ取為0°，a取為1.0 m，h分別取1 m、2 m、3 m、4 m和5 m。

圖9給出了h不同取值時(shí)板自由端z方向位移曲線，從中可以看出，板的振動(dòng)頻率都近似相等，隨著工作水深h的不斷增加，板自由端z方向振幅不斷減小。當(dāng)h=2 m、3 m、4 m和5 m時(shí)，正負(fù)位移幅值相差不大，振動(dòng)較為對(duì)稱；而當(dāng)h=1 m時(shí)，板自由端正負(fù)位移極值相差較大，正位移幅值比負(fù)位移幅值大很多。

圖9 h不同取值時(shí)板自由端位移變化圖Fig.9 Displacement of the free end of the plate with different h

由于本文波高H=3 m，理論上波谷最低可以到達(dá)自由水面以下1.5 m(H/2)處。當(dāng)h>H/2時(shí)，板完全浸沒在水中；當(dāng)h

圖10和圖11分別給出了h不同取值時(shí)各個(gè)壓電材料的有效電壓值和整板的有效電壓值。從中可以明顯看出，h取值越小，整板的輸出電壓越高，且靠近固定端的壓電材料能獲得更高的能量。但當(dāng)hH/2)的適當(dāng)位置較為合理。

圖10 h不同取值時(shí)不同位置處壓電材料有效電壓變化圖Fig.10 Effective voltage of the piezoelectric materials at different positions with different h

圖11 h不同取值時(shí)整板有效電壓變化圖Fig.11 Effective voltage of the plate with different h

從圖中可以計(jì)算得出前兩個(gè)獲能單元獲能占比達(dá)到50%，前五個(gè)獲能單元獲能占比接近90%。

3.1.2 基板的長(zhǎng)度a

將h取為2 m，θ取為0°，a分別取為0.6 m、0.8 m、1.0 m、1.2 m和1.4 m。

圖12給出了a不同取值時(shí)板自由端z方向位移曲線，從中可以看出板的振動(dòng)頻率都近似相等。隨著板長(zhǎng)a的增大，板自由端z方向位移在顯著增大。這是因?yàn)橐环矫妫褰邮懿ɡ撕奢d的面積不斷增加，有更多的波浪能轉(zhuǎn)化為板的應(yīng)變能；另一方面，板的長(zhǎng)寬比減小，從而降低了板的固有頻率，使板更容易振動(dòng)變形。

圖12 a不同取值時(shí)板自由端位移變化圖Fig.12 Displacement of the free end of the plate with different a

對(duì)板做模態(tài)分析，如表4所示，可以看出板的一階固有頻率在不斷降低，且一階固有振型都為z方向的彎曲振型，這就使得板長(zhǎng)a增加時(shí)，板的一階固有頻率在不斷接近波浪荷載的頻率(0.139 Hz)，板的振動(dòng)形態(tài)逐步接近一階振型，使得板端位移在顯著增大，從而獲能效率不斷增加。

表4 a不同取值時(shí)板的固有頻率Tab.4 Natural frequencies of the plate with different a

圖13和圖14分別給出了a不同取值時(shí)各個(gè)壓電材料的有效電壓值和整板的有效電壓值。從中可以看出，當(dāng)板長(zhǎng)a增加時(shí)，距固定端相同距離的壓電材料電壓增長(zhǎng)明顯，板上每一個(gè)獲能單元的獲能效率大大提升，這就引起整板有效電壓大幅度增加，獲能效率提高明顯。

圖13 a不同取值時(shí)不同位置處壓電材料有效電壓變化圖Fig.13 Effective voltage of the piezoelectric materials at different positions with different a

圖14 a不同取值時(shí)整板有效電壓變化圖Fig.14 Effective voltage of the plate with different a

從圖中還可以計(jì)算得出前兩個(gè)獲能單元獲能占比達(dá)到50%，前五個(gè)獲能單元獲能占比接近90%。

本文所選取壓電材料強(qiáng)度極限約為100 MPa[36]，而基板的強(qiáng)度極限約為200 MPa。本文圖15給出了a不同取值時(shí)壓電材料的等效應(yīng)力(Von Mises應(yīng)力)圖，從圖中可以看出，當(dāng)a=1.4 m時(shí)，靠近固定端的壓電材料應(yīng)力極值約為95.6 MPa，還沒有達(dá)到強(qiáng)度極限，但此時(shí)已容易發(fā)生強(qiáng)度破壞，所以增大板長(zhǎng)a提高獲能效率需考慮壓電材料的強(qiáng)度。

(a) a=1.2 m

(b) a=1.4 m圖15 壓電材料的等效應(yīng)力圖(Pa)Fig.15 Effective stress of the piezoelectric materials (Pa)

3.1.3 壓電懸臂板的布置角度θ

將h取為2 m，a取為1.0 m，θ取0°、45°、90°、135°和180°。

圖16給出了θ不同取值時(shí)板自由端z方向位移圖，從圖中可以看出，板的振動(dòng)頻率都近似相等。θ=0°和45°時(shí)，板自由端的+z方向振幅比-z方向振幅略大，θ=135°和180°時(shí)，板自由端的+z方向振幅比-z方向振幅略小，而當(dāng)θ=90°時(shí)，板自由端+z和-z方向振幅近似相等。

圖16 θ不同取值時(shí)板自由端位移變化圖Fig.16 Displacement of the free end of the plate with different θ

從圖16中還可以看出，θ=0°與θ=180°、θ=45°與θ=135°時(shí)，板自由端凈位移分別近似相等，相對(duì)而言，θ=90°時(shí)，板端凈位移數(shù)值最大，從而獲得的能量最大。

圖17和圖18分別給出了θ不同取值時(shí)各個(gè)壓電材料的有效電壓值和整板的有效電壓值。

圖17 θ不同取值時(shí)不同位置處壓電材料有效電壓變化圖Fig.17 Effective voltage of the piezoelectric materials at different positions with different θ

圖18 θ不同取值時(shí)整板有效電壓變化圖Fig.18 Effective voltage of the plate with different θ

從圖中可以看出，靠近固定端的壓電材料均能獲得更高的能量，其中θ=90°與θ=0°、45°、135°和180°相比，板上相同位置的各個(gè)獲能單元均獲得了最大的能量，所以整板的有效電壓最高。而從圖17和圖18中還可以看出，θ=0°和180°、θ=45°和135°時(shí)獲得了幾乎相等的能量，這是因?yàn)榘遄杂啥藘粑灰茢?shù)值大致相等，這由板所受波浪力的規(guī)律決定。從圖中仍可以計(jì)算得出前兩個(gè)獲能單元獲能占比達(dá)到50%，前五個(gè)獲能單元獲能占比接近90%。

不同θ取值時(shí)板沿長(zhǎng)度方向流體壓力分布圖如圖19所示。當(dāng)θ=90°時(shí)，如圖19(a)中所示，其上下表面分布的壓力分布比較均勻，壓力梯度垂直于板平面，板可以獲得最大的合力，這是因?yàn)榘甯鱾€(gè)獲能單元處的uz大小較為一致，所以接收的波浪力大體相同；當(dāng)θ≠90°時(shí)，如圖19(b)，板上下表面壓力分布不均勻，壓力梯度與板平面斜交，這就導(dǎo)致板無(wú)法獲得最大的合力，而這是因?yàn)楦鳙@能單元處uz大小不均勻，部分獲能單元接收的波浪力有所超前或滯后。

(a) θ=90°

(b) θ=0°圖19 板沿長(zhǎng)度方向的壓力云圖Fig.20 Pressure coutours along the length of plate

3.2 壓電懸臂板的振動(dòng)規(guī)律

由3.1的計(jì)算結(jié)果可以看出，壓電懸臂板自由端z方向位移規(guī)律大體相同，振動(dòng)頻率近似相等，板在波浪激發(fā)下的振動(dòng)表現(xiàn)為受迫振動(dòng)，所以板端凈位移越大，其獲能效率越高。

3.2.1 波浪力與板自由端位移的關(guān)系

以參數(shù)h=2 m、θ=0°、a=1 m的算例為例，圖20給出了板受力曲線和板自由端z方向位移曲線。從圖中可以看出，受力曲線和位移曲線走勢(shì)基本同步。在較早的時(shí)間內(nèi)，波浪還沒有傳播到板處，板只受+z方向的浮力和-z方向的重力作用，位移表現(xiàn)為負(fù)向，這是因?yàn)榘宓拿芏缺人螅渲亓Ρ雀×Υ螅粡?0秒開始，板處的波浪運(yùn)動(dòng)變得穩(wěn)定，其振動(dòng)也穩(wěn)定下來(lái)，板在波浪中的振動(dòng)呈現(xiàn)典型的周期性，且板振動(dòng)頻率與波浪頻率保持一致。由表5可知，本文中板的一階固有頻率均為幾赫茲以上，一階振型都為z方向的彎曲振型，而波浪荷載頻率為0.139 Hz，所以板還沒有被激發(fā)出一階振型。

圖20 板受力曲線與板自由端位移曲線Fig.20 Fluid force and the displacement of the free end of the plate

3.2.2 波浪力與波面形態(tài)的關(guān)系

圖21給出了板受力曲線和板處波面高程曲線，從中可以看出，受力曲線與板處(x=80 m)波高曲線相比有約為T/4的相位差，波浪力最大值在從波谷到波高爬升中取得，波浪力最小值在波高到波谷的下降中取得。

圖21 板受力曲線與板處波高曲線Fig.21 Fluid force and the wave height near the plate

(17)

(18)

此例中，壓電懸臂板的固定端位于(x，z)=(80，38)處，可以用此點(diǎn)處的速度規(guī)律描述板附近流體的速度規(guī)律。如圖22所示，板處流體速度分量ux與uz恰好也存在T/4的相位差。

圖22 板附近流體理論速度Fig.22 Theoretical velocity near the plate

綜合圖20、圖21和圖22可以得出，板受力曲線和自由端位移曲線都與uz正相關(guān)，而波高曲線與ux正相關(guān)。板的受力與否與流動(dòng)方向有關(guān)，力的大小與流速大小有關(guān)。z方向的流體速度帶來(lái)的動(dòng)壓能量是板在z方向受力和振動(dòng)的主要原因。

波浪傳播方向上水質(zhì)點(diǎn)速度分布圖如圖23所示。當(dāng)板處波面在波峰位置①或波谷位置②時(shí)，ux達(dá)到峰值，而uz=0，板周圍流體質(zhì)點(diǎn)沿x方向運(yùn)動(dòng)，此時(shí)板上z方向受力為0，板自由端不發(fā)生位移，板幾乎處于水平狀態(tài)；板處波面在波谷到波高爬升位置③或在波高到波谷的下降位置④時(shí)，ux=0，uz達(dá)到峰值，板周圍流體質(zhì)點(diǎn)沿z方向運(yùn)動(dòng)，此時(shí)板的受力(或自由端位移)也達(dá)到峰值。這也正解釋了為什么板的受力(或自由端位移)曲線與板處波高曲線相比有T/4的相位差。

圖23 一個(gè)波長(zhǎng)范圍內(nèi)水質(zhì)點(diǎn)的速度分布Fig.23 Velocity distribution of fluid in the range of wavelength

式(18)中x取80 m，z取39 m、38 m、37 m、36 m和35 m，分別得到不同工作水深h=1 m、2 m、3 m、4 m和5 m處uz的時(shí)程曲線如圖24所示。

圖24 h不同取值時(shí)流體豎向速度變化圖Fig.24 Vertical velocity of fluid with different h

從圖24中可以看出，越靠近自由水面，水質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)越劇烈，從而可以產(chǎn)生更高的能量，引發(fā)更大的板端位移，這正解釋了3.1.1中得到的規(guī)律。

3.3 壓電懸臂板的獲能模式

由3.1中的計(jì)算結(jié)果可知，不同位置處壓電材料有效電壓變化規(guī)律大體相同，都表現(xiàn)為從固定端到自由端，板表面壓電材料的輸出電壓逐漸降低。

以h=2 m、θ=0°、a=1 m的算例為例，圖25給出了每個(gè)壓電材料的輸出電壓曲線和板自由端z方向位移曲線，從圖中可以看出可以看出每個(gè)獲能單元輸出電壓曲線與其板自由端位移曲線呈正相關(guān)，越靠近自由端，獲能單元輸出電壓越低。

圖25 壓電材料輸出電壓曲線與板自由端位移曲線Fig.25 Output voltage of the piezoelectric materials and the displacement of the free end of the plate

當(dāng)板向上彎曲時(shí)，基板的中性層應(yīng)力為零，中性層以上受到壓應(yīng)力作用，中性層以下受到拉應(yīng)力作用，基板表面的上壓電材料在xoy平面內(nèi)同樣會(huì)受到壓應(yīng)力作用。如圖26所示，由于上壓電材料的下表面電勢(shì)為零，極化方向?yàn)?z方向，所以誘發(fā)上壓電材料的上表面產(chǎn)生正電勢(shì)。

(a) 板向上彎曲

(b) 板向下彎曲圖26 板彎曲時(shí)壓電材料產(chǎn)生電壓示意圖Fig.26 Voltage generated by the piezoelectric materials when the plate is bending

而基板上下側(cè)的壓電材料極化方向相同，但是承受的應(yīng)力反向，并且零電勢(shì)的邊界不同，所以在同一個(gè)獲能單元上，基板上側(cè)壓電材料的上表面和下側(cè)壓電材料的下表面會(huì)產(chǎn)生大小幾乎相等的電壓，輸出電壓曲線幾乎重合，有效電壓幾乎相等。

在基板長(zhǎng)度方向上，從固定端到自由端，板的形變逐漸降低，其上的拉壓應(yīng)力也逐步趨近于零，所以壓電材料的輸出電壓也逐步趨近于零，這也正解釋了3.1得到的規(guī)律。

由3.1的計(jì)算結(jié)果還可以得出，每個(gè)獲能單元有效電壓占總電壓的比例規(guī)律一致，都表現(xiàn)為前兩個(gè)獲能單元獲能占比達(dá)到50%，前五個(gè)獲能單元獲能占比接近90%，實(shí)際使用中需盡量將壓電材料布置在固定端附近。

4 結(jié) 論

本文通過(guò)數(shù)值模擬的方法，研究了壓電懸臂板在線性深水波激發(fā)下的振動(dòng)獲能機(jī)理。通過(guò)波浪數(shù)值模擬和壓電懸臂板力電耦合模擬，歸納出壓電懸臂板的工作水深h、基板的長(zhǎng)度a和壓電懸臂板的布置角度θ這三個(gè)參數(shù)對(duì)板振動(dòng)規(guī)律和獲能模式的影響規(guī)律，分析并總結(jié)了波浪運(yùn)動(dòng)與振動(dòng)獲能二者的關(guān)系，得出壓電懸臂板在線性深水波激發(fā)下的振動(dòng)獲能機(jī)理，結(jié)論如下：

對(duì)于本文參數(shù)選取來(lái)說(shuō)，波浪荷載頻率小于壓電懸臂板的一階固有頻率，板沒有被激發(fā)出一階振型，板的振動(dòng)周期與波浪周期保持一致，板在波浪中的振動(dòng)表現(xiàn)為典型的受迫振動(dòng)，所以板自由端振幅越大，其獲能效率越高。在板彎曲振動(dòng)過(guò)程中，壓電材料也會(huì)產(chǎn)生相同周期的電壓，從而將波浪能轉(zhuǎn)化為電能。經(jīng)過(guò)計(jì)算，本文壓電懸臂板的輸出電壓可以滿足海洋中部分設(shè)備的用電要求。

壓電懸臂板自由端的位移曲線與其所處位置的波高曲線有四分之一個(gè)波浪周期的相位差，這是由波浪水質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律引起的。板所處位置附近的豎向波浪運(yùn)動(dòng)越劇烈，板的振幅越大，板上的壓電材料可以輸出更高的有效電壓。為了充分利用波浪中水質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能，提高整板的獲能效率，板須布置在波谷以下適當(dāng)位置；板的長(zhǎng)度方向應(yīng)垂直于波浪傳播方向；在保證壓電材料不發(fā)生破壞的前提下，可以增大板長(zhǎng)寬比，降低其固有頻率以獲得較大的板端振幅。

壓電懸臂板上各個(gè)壓電材料的獲能效率與其所在位置基板的形變大小成正相關(guān)，越靠近固定端，壓電材料獲能效率越高。考慮到材料成本，因板自由端壓電材料的獲能效率較低，在實(shí)際使用中可以僅保留固定端附近的壓電材料。