穿越斷層分段柔性接頭隧道縱向地震響應解析解

閆高明， 趙伯明， 高 波， 王子珺

(1.北京交通大學 城市地下工程教育部重點實驗室，北京 100044；2.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京 100044；3.西南交通大學 交通隧道工程教育部重點實驗室 土木工程學院,成都 610031)

隨著我國交通建設技術的發展，交通基礎工程向復雜地勢、地形地區延伸，這些地區地震烈度高，活動斷裂發育，如新建的川藏鐵路、“一帶一路”戰略沿線的中亞D線、雅萬高鐵等重大工程就將穿越多條活動斷層帶，這就面臨修建大量穿越活動斷層隧道的嚴峻挑戰。數次地震地震調查表明，隧道穿越斷層位置是受震害最為嚴重區域之一[1-4]，隧道穿越斷層處易發生拱頂坍塌、襯砌錯臺、路面隆起、襯砌裂縫等嚴重震害。因此，迫切需要開展穿越斷層隧道抗減震技術方面的研究。

目前，對于穿越斷層隧道抗減震技術的研究較少。隧道設置柔性接頭使襯砌能夠靈活適應斷層施加的剪切變形，從而減小隧道主體結構的損壞，是一種有效抗減震措施[5-6]。針對柔性接頭減震效果的現有研究較少，且主要采用數值分析、模型試驗方法研究。Shahidi等[7]在隧道穿越斷層處提出了柔性接頭的設計方法，并采用有限元數值模型證明提出柔性接頭能允許隧道縱向出現變形差異，減小隧道破壞。An等[8-12]也運用數值分析方法研究了分段柔性接頭隧道的響應。Kiani等[13]采用離心機模型試驗正斷層作用下節段襯砌的響應，研究表明由于襯砌節段和接頭足夠的變形能力，襯砌結構損壞很小。閆高明等[14-15]設計了兩種柔性接頭形式，并通過振動臺模型試驗證明提出接頭能夠自身適應性變形協調減輕隧道結構震害，使襯砌震害的局部化。黃強兵等[16-21]都采用模型試驗研究了分段柔性接頭隧道的響應，結果表明隧道設置柔性接頭避免了襯砌結構的應力集中，降低了襯砌本身的受力。盡管以上分析可以更好地考慮圍巖-結構相互作用、圍巖體的非線性等問題，但數值方法的計算量大、精度受多因素影響，模型試驗需要消耗大量人力物力財力。

理論解析方法可以有效避免以上問題，是工程初步設計廣為使用的方法，同時對于隧道抗減震機理分析方面有著數值法和模型試驗不可替代的作用。隧道的縱向地震響應理論解析方法主要有自由場變形法和土結相互作用法[22]。土結相互作用法相比自由場變形法考慮了土與結構的相互作用，在工程設計中應用更為廣泛。Yu等[23]基于彈性地基梁模型考慮了土-結構相互作用，推導了土巖變化地層隧道縱向地震響應的解析解。劉國釗等[24]采用Pasternak雙參數彈性地基梁推導斷層錯動下隧道的縱向響應解析解。然而目前在穿越斷層隧道柔性接頭的理論解析方面鮮有研究。陳濤[25]建立了地層變化段隧道設置柔性接頭的力學模型，其以扭簧等效模型模擬柔性接頭，該模型是以允許襯砌節段在地震作用下發生相對扭轉為前提的。地震作用下，穿越斷層隧道常受到周圍圍巖的強制剪切位移。柔性接頭的設計應該不僅能使隧道襯砌節段之間發生扭轉，還應該允許其之間發生可控的位移差[22]。因此，如何建立合理的穿越斷層隧道柔性接頭力學模型及地震響應解析表達式，是指導穿越斷層隧道柔性接頭設計的堅實基礎。

地震對穿越斷層隧道的影響主要有兩方面：斷層錯動引起的破壞和地震動引起的破壞。本文基于以地震動影響為主的穿越斷層隧道，針對穿越斷層隧道柔性接頭無可用抗震設計方法的現狀，首先建立了柔性接頭力學簡化模型，推導出穿越斷層隧道柔性接頭縱向地震響應的解析表達式，提出了穿越斷層隧道柔性接頭縱向抗震簡化分析方法，然后驗證了提出方法的有效性和可行性。最后在此基礎上，結合給出的解析表達式分析不同參數對穿越斷層隧道地震響應的影響規律。

1 力學模型與解析解

1.1 柔性接頭力學模型

隧道穿越斷層以及地層變化段，地震作用下斷層發生錯動或地層突變位置發生較大變形差異導致隧道發生較大變形，隧道襯砌可能會發生開裂、錯臺，甚至坍塌的嚴重震害。對于穿越斷層隧道，設置柔性接頭是一種有效的抗減震措施。設置柔性接頭主要是允許隧道縱向在接頭位置出現變形差異，從而釋放地震動能量，避免襯砌結構的應力集中。因此，本文將柔性接頭簡化為一個垂直于隧道軸向的拉壓彈簧和一個扭轉彈簧的力學模型，即允許兩個襯砌節段之間位移不連續和轉角不連續，如圖1所示。圖1中，Cw為拉壓彈簧剛度，CФ為扭轉彈簧剛度。

圖1 柔性接頭力學模型Fig.1 Mechanical model of flexible joints

1.2 穿越斷層隧道柔性接頭力學模型

地震作用下，隧道穿越斷層處易受到斷層圍巖對其的剪切作用，因此采用考慮了剪切變形的剪切梁模型模擬隧道襯砌節段。為獲得某穿越斷層隧道的地震動響應解析解，對該隧道模型如下假設：

(1) 將隧道穿越斷層處簡化為三個區域，分別為上盤、斷層和下盤區域，每一個區域滿足連續、均勻和各項同性的假定；

(2) 地震作用下斷層未發生錯動，隧道受地震動影響為主，隧道與圍巖的相互作用通過彈性地基彈簧的形式實現，考慮斷裂破碎帶與上下盤圍巖的性質不同，上盤、斷層和下盤的地基彈性抗力系數分別為K1、K2和K3；

(3) 隧道簡化為一段處于不同地層條件中的彈性地基上的剪切梁，該剪切梁模型考慮了隧道的橫斷面剪切變形的情況，襯砌除接頭位置沿縱向滿足連續性、均勻性和各項同性；

(4) 僅考慮地震震動對隧道的內力和變形增量的影響；

(5) 忽略初始地應力的影響。

安韶等[26]研究表明接頭設置在上下盤與斷層接觸位置作用最顯著。本文節段間采用提出的柔性接頭力學模型連接，接頭設置在上下盤與斷層接觸帶位置，如圖2所示。圖2中，襯砌結構的抗彎剛度為EI，其中E為隧道襯砌的彈性模量，I為隧道橫截面的慣性矩。

圖2 穿越斷層隧道簡圖Fig.2 Schematic of tunnel through fault

采用彈性地基上的剪切梁模型模擬隧道與圍巖的相互作用，剪切梁的控制方程可表示為

(1)

式中:“′”表示變量對梁軸線位置x的導數;“··”表示變量對時間項t的導數;κ為剪切修正系數;G為剪切模量;A為橫截面面積;φ為梁彎曲所引起的旋轉角;μ為梁的單位長度質量，μ=ρA，ρ為梁的單位體積質量;K為地基彈性抗力系數;wg定義為隧道位置的自由場位移;w定義為隧道結構的位移。

1.3 梁縱向響應解析解

假定所受外荷載為簡諧荷載wg(x,t)=Wg(x)·eiΩt，則位移和轉角也分別可表示為

w(x,t)=W(x)·eiΩt

(2)

φ(x,t)=Φ(x)·eiΩt

(3)

式中:t為時間;Ω為荷載頻率。

將以上表達式代入式(1)中，消去時間變量，方程可表示為

(4)

根據式(4)可得

(5)

為了簡化方程，引入系數a1，a2，b1，b2，則該方程可簡化為

(6)

式中，

式(6)的解析解可根據格林函數方法得到。根據格林函數的物理意義，G(x,x0)是以下方程的解

W″″+a1W″+a2W=b1δ″(x-x0)+b2δ(x-x0)

(7)

式中，δ(·)是狄拉克函數。

對式(7)進行求解，首先對式(7)左邊右邊做拉普拉斯正、逆變換和留數法，整理得到

(8)

式中，W(0)，W′(0)，W″(0)，W?(0)可視為常數，可以通過梁的邊界條件求得。φj(j=1,2,3,4,5)，ψi(i=1,2,3,4)分別為

(9)

(10)

式中，si(i=1,2,3,4)是s4+a1s2+a2=0的根。

根據疊加原理，可以得到式(6)的解析解為

(11)

則沿隧道縱向的彎矩和剪力由下式求得

(12)

(13)

1.4 穿越斷層隧道縱向響應解析解

圖3 穿越斷層隧道力學模型Fig.3 Mechanical model of tunnel through fault

根據以上推導過程可發現，格林函數的代數表達形式相對比較固定，各段襯砌的格林函數具有統一的形式，因此各段襯砌的格林函數可假定為

Gi(x,xi0)=H(xi-xi0)φi1(xi-xi0)+Aiφi2(xi)+

Biφi3(xi)+Ciφi4(xi)+Diφi5(xi)(i=1,2,3)

(14)

結合現有文獻研究[27]，模型兩端取為自由邊界，即兩端邊界彎矩和剪力均為0

(15)

在襯砌節段之間，隧道的位移、轉角、彎矩和剪力滿足以下條件：

在上盤與斷層襯砌連接處和在下盤與斷層襯砌連接處分別為

(16)

(17)

將式(14)和(15)代入式(16)和(17)可得到

(18)

式中,具體參數表達式見附錄A。

通過式(18)可以求解各待定系數的值，則3段襯砌的格林函數就得到了。以上求得的是各節段在局部坐標系上的格林函數，將局部坐標系換為整體坐標系，令

x0=x0,x1=x,x20=x0-L1,x2=x-L1,

x30=L-x0,x3=L-x，則穿越斷層隧道襯砌的格林函數為

G(x;x0)=

(19)

根據格林函數的定義可知，外荷載作用下襯砌的位移響應可由式(11)得到，各節段襯砌的內力可由式(12)和(13)得到。

2 模型驗證

依托典型的穿越斷層隧道，隧道進口位于康定縣雅拉鄉三道橋村，出口位于康定縣瓦澤鄉318國道附近。該隧道穿越折多山。隧道穿越折多塘斷裂、金龍寺-磨子溝斷層等，隧址區地震活動性強。隧道洞身凈斷面設計為：該隧道近圓型，洞寬14.40 m，洞高13.46 m。襯砌采用C35鋼筋混凝土，襯砌厚度60 cm。隧道橫斷面采用外接圓半徑法[28-29]，采用外接圓半徑法可確定內直徑為12.66 m，外直徑為13.86 m，其它具體力學參數如表1所示。結合現有文獻研究[30]，柔性接頭剛度取為ζ=Cw/κGA=CФ/EI=0.05。隧道穿越斷層位置峰值加速度為0.4g，場地地震波的加速度時程如圖4所示。

表1 隧道襯砌力學參數Tab.1 Mechanical parameters of the tunnel lining

圖4 地震波加速度時程圖Fig.4 Acceleration time-history curve of earthquake wave

根據隧道周圍地層信息可得，隧道斷層位置的剪切波速為Vs1=301 m/s，上下盤位置圍巖的剪切波速為Vs2=563 m/s，地震波波長Lwave=156.89 m。需要說明的是，為了分析方便，文中的波長假定為斷層處地震動主頻對應的波長，實際應用可以取不同的波長進行參數化分析，給出實際地震動對應的一個計算范圍，通過解析解給出包絡曲線來指導實際工程設計。地基視為線彈性，其地基彈簧系數可根據式(20)得到[31]

(20)

式中:ρ為巖土體密度;Vs為土體剪切波速;ν為巖體泊松比;d為隧道直徑;Lwave為地震波波長。

由式(20)可得斷層的地基系數為Kb1=336 MPa，上下盤的地基系數為Kb2=1 151 MPa。隧道所在位置的自由場位移峰值通過場地分析軟件Deepsoil[32]得到：上下盤的自由場位移峰值為wmax1=0.031 m，斷層位置的自由場位移峰值為wmax2=0.099 m。因此，可得到斷層自由場位移和上下盤的自由場位移如下式[33]

(21)

式中，α0為位移函數相位角，通過改變α0實現位移波形沿隧道縱軸的平移，從而模擬行波效應。

結合典型隧道工程，上下盤長度取L1=L3=80 m，斷層破碎帶寬度為L2=40 m。地震波入射角取為θ=0°，相位角α0=0°。

2.1 與有限元結果對比

利用有限元軟件ANSYS建立模型，采用總長為200 m的梁單元模擬隧道結構，單元網格為0.5 m，模型兩端采用自由邊界；采用離散的彈簧單元模擬柔性接頭模型和地基彈簧，其中地基彈簧間隔與梁單元間距保持一致，將自由場的正弦波形位移施加到地基彈簧非連接結構端，數值模型參數保持與解析解一致，從而得到有限元的數值解。

采用本文方法與有限元數值模擬方法分別計算穿越斷層隧道的地震響應。圖5～8分別給出了上述工況下隧道結構的位移響應、轉角響應和內力響應。實線表示本文提出方法結果，虛線表示有限元數值結果，灰色陰影部分表示斷層破碎帶區域，橫坐標ξ表示隧道縱向位置與全長的比值。

圖5 隧道結構的位移響應Fig.5 Displacement of tunnel

圖6 隧道結構的轉角響應Fig.6 Rotation angle of tunnel

圖7 隧道結構的彎矩響應Fig.7 Bending moment of tunnel

圖8 隧道結構的剪力響應Fig.8 Shear force of tunnel

通過對比本文方法的解析結果與有限元結果可以看到，本文的解析解與有限元數值解吻合較好，說明了采用格林函數推導的穿越斷層隧道柔性接頭的縱向地震響應解析解具有較高的計算精度。

如圖5和圖6所示，隧道襯砌在兩接頭位置都出現了位移差和轉角差，如表2所示，與預期的效果相同。由于柔性接頭的設置，襯砌在兩接頭位置分別產生0.83 cm和1.54 cm的位移差以及0.000 24 rad和0.000 76 rad的轉角差，這使得襯砌結構能夠較好地適應圍巖不均勻變形的影響，從而使地震動對隧道襯砌的不利影響局部化。

表2 襯砌在兩接頭位置的位移差和轉角差Tab.2 Differences of displacement and angle of the lining at the two joint

由圖5～8可以看到，斷層位置隧道的地震響應明顯大于上下盤位置襯砌的響應，這主要是由于斷層處圍巖相對較弱，受地震動影響較大，襯砌的位移響應大，襯砌與圍巖相互作用力大，使襯砌的內力響應值較大。同時可以發現，斷層中部位置襯砌的彎矩值最大，剪力的最值分布在斷層與上下盤接觸面位置，是隧道抗震設防需要重點關注的區域。

2.2 與既有研究對比

為了驗證本文解的合理性，將本文解與已有文獻 [25] 的解析解進行對比。圖9～圖12對比分析了不同接頭類型對隧道襯砌位移響應的影響。其中文獻[25]提出的接頭模型是將柔性接頭簡化為一可扭轉的彈簧模型，將本文接頭模型的拉壓彈簧剛度設置為0即可退化為該模型。如圖9～圖12所示，與文獻[25]的曲線變化趨勢基本相同，說明了本文提出接頭模型的正確性。設置本文提出接頭類型襯砌的位移曲線和轉角曲線在接頭位置附近明顯與現有文獻的接頭形式以及未設置接頭襯砌的位移響應和轉角響應不同，同時其位移響應峰值大于另兩種接頭類型的位移響應，這主要是由于本文接頭模型既可允許隧道發生位移差又可發生轉角差，這與劉學增等[34]的試驗結果以及Hashash等提出的柔性接頭設計理念相同，這也說明了本文提出接頭的合理性。在接頭位置x=120 m處，設置提出接頭襯砌的位移響應在接頭左側大于另兩種接頭類型的位移響應，而在接頭右側的位移響應卻小于另兩種接頭類型的位移響應，這說明體現了柔性接頭使斷層對隧道動力響應影響局部化的設計思路。

圖9 不同柔性接頭類型隧道的位移響應Fig.9 Displacement of tunnel with different joint type

圖10 不同柔性接頭類型隧道的轉角響應Fig.10 Rotation angle of tunnel with different joint type

圖11 不同柔性接頭類型隧道的彎矩響應Fig.11 Bending moment of tunnel with different joint type

圖12 不同柔性接頭類型隧道的剪力響應Fig.12 Shear force of tunnel with different joint type

從圖11中可以看到，設置提出柔性接頭模型的襯砌彎矩響應最小，而連續襯砌彎矩響應最大，其最大值比本文提出接頭模型大30.14%，襯砌剪力也有相同的變化規律。因此，設置本文接頭模型襯砌內力明顯比連續襯砌和設置扭簧接頭襯砌的內力小，這也說明本文接頭模型的有效性。同時可以看到提出接頭的設置對隧道襯砌的影響范圍在x=50～130 m，使襯砌的彎矩響應明顯減小。圖11中，三種工況的彎矩響應曲線的最大值都出現斷層位置，這說明無論是否設置接頭，穿越斷層隧道彎矩的不利位置主要在斷層中部和斷層與上下盤接觸面區域，是抗震設防需重點關注的區域。

由圖12可以看到，三種工況的剪力響應極大值都主要位于兩接頭位置處襯砌，這也說明無論是否設置接頭，穿越斷層隧道的剪力不利位置主要在斷層與上下盤接觸帶位置。設置提出接頭模型的剪力最大值均小于其它形式的剪力最大值，其值比襯砌之間剛性連接的剪力最大值減小了20.24%，而設置扭簧接頭襯砌的剪力最大值比連續襯砌的剪力最大值減小3.24%。同時可發現設置本文提出接頭模型的襯砌的剪力響應在x=60 m～130 m范圍內比其它形式襯砌的剪力響應小。

3 參數敏感性分析

在以上驗證算例的基礎上，本節主要通過對比隧道沿縱向的位移、內力來闡述結構剛度和斷層寬度對穿越斷層分段柔性接頭隧道結構地震響應的影響。需要說明的是，本節的參數敏感性分析都是基于上述數值驗證算例，在保證其它參數變化的情況下，僅改變某一參數，研究某一獨立參數對隧道結構地震響應的影響規律。

3.1 結構剛度的影響

調整剛度加固襯砌是一種常見的抗震措施，它的設計思路是提高隧道自身的抗震性能。圖13～圖15中EI為依托工程的襯砌彎曲剛度，本節計算中令全長隧道襯砌彎曲剛度相同，選取隧道襯砌的彎曲剛度分別為EI、2EI、4EI、6EI、8EI，保持接頭剛度不變，研究不同襯砌剛度對穿越斷層隧道襯砌地震響應的影響。

由圖13可知，襯砌彎曲剛度為2EI的位移最大值比襯砌彎曲剛度為EI的值減小5.34%，襯砌彎曲剛度為4EI的位移最大值比襯砌彎曲剛度為2EI的值減小0.73%，而襯砌彎曲剛度為6EI的位移最大值比襯砌彎曲剛度為4EI的值僅減小0.02%，因此隧道襯砌彎曲剛度增大，襯砌的最大位移響應值減小，但減小的幅度明顯減小。同時可發現, 在x=120 m接頭位置，襯砌彎曲剛度為2EI的位移差比襯砌彎曲剛度為EI的值增大12.13%，4EI的襯砌位移差比2EI的襯砌位移差增大8.07%，而6EI的襯砌位移差比4EI的襯砌位移差增大3.19%，在x=80接頭位置位移差也有相同的變化規律。因此襯砌彎曲剛度越大，其在兩接頭位置的位移差越大，即接頭所承擔的位移越大，這說明結構剛度越大，接頭的作用越明顯。圖14對比分析了不同隧道襯砌剛度下襯砌的彎矩響應，襯砌彎曲剛度為2EI的彎矩最大值比襯砌彎曲剛度為EI的值增大33.28%，襯砌彎曲剛度為4EI的彎矩最大值比襯砌彎曲剛度為2EI的值增大22.00%。故襯砌彎曲剛度的增大使襯砌的彎矩顯著增大，這對隧道的安全是不利的。不同彎曲剛度的隧道剪力響應與彎矩響應有相同的變化規律，如襯砌彎曲剛度為2EI的剪力最大值比襯砌彎曲剛度為EI的值增大12.13%。

3.2 斷層破碎帶寬度的影響

隧道穿越斷層破碎帶處襯砌受地震動影響很大，是隧道震害最嚴重的區段，本節主要探究不同斷層破碎帶寬度對隧道結構地震響應的影響。

圖16～圖18中豎直短線表示不同斷層寬度的位置。由圖16可知，地震動作用下，不同斷層寬度條件下襯砌的位移響應最大值均出現在斷層位置處。斷層寬度為40 m的位移最大值比斷層寬度為20 m的位移最大值增大29.27%，斷層寬度為60 m的位移最大值比斷層寬度為40 m的位移最大值增大14.94%，斷層寬度為80 m的位移最大值比斷層寬度為60 m的位移最大值增大7.60%。因此隨著斷層破碎帶寬度的增大，隧道的位移響應最大值也隨之單調增大，但增加幅度減小。進一步可發現，斷層的寬度越大，其對隧道位移沿軸向的影響范圍也越大。如圖17和圖18中所示，各個工況襯砌的彎矩響應曲線變化趨勢都比較一致，且彎矩響應最大值都位于斷層中部位置；不同斷層寬度的襯砌剪力響應曲線在斷層中部、斷層與上下盤接觸帶位置出現極值點，這與汶川地震震害調查結果相同[35]。斷層寬度為40 m的襯砌彎矩最大值比斷層寬度為20 m最大值增大54.40%，斷層寬度為60 m的襯砌彎矩最大值比斷層寬度為40 m的最大值增大19.16%，斷層寬度為80 m的襯砌彎矩最大值比斷層寬度為60 m的襯砌最大值增大7.66%。整體上隨著斷層寬度的增加，襯砌的彎矩最大值增大，但增加幅度減小。對于剪力而言，斷層寬度為20 m的剪力最大值比斷層寬度為10 m的最大值增大30.65%，斷層寬度為40 m的剪力最大值比斷層寬度為20 m的最大值增大42.01%，斷層寬度為60 m的剪力最大值比斷層寬度為40 m的最大值增大9.11%，而斷層寬度為80 m的剪力最大值比斷層寬度為60 m的最大值減小9.79%，因此剪力最大值隨斷層寬度增大表現為先增大后減小的趨勢。同時可發現，在隧道設置柔性接頭情況下，斷層寬度增大，其對隧道內力沿軸向的影響范圍也增大。

4 結 論

針對以地震動影響為主的穿越斷層隧道，本文建立了穿越斷層分段柔性接頭隧道縱向簡化力學模型，提出了相應的定量抗震簡化分析方法。以有限元數值解為基準，對比相同工況下的結構響應，驗證了提出方法的有效性和可行性。在此基礎上，結合本文給出的解析表達式分析了不同參數對穿越斷層分段柔性接頭隧道地震響應的影響規律，主要得出以下結論：

(1) 本文的解析解與有限元數值解吻合較好，說明推導的穿越斷層分段柔性接頭隧道的縱向地震響應解析解具有較高的計算精度。由于提出柔性接頭模型的設置，隧道襯砌在兩柔性接頭位置既出現了位移差，又出現轉角差，使襯砌結構能夠較好地適應斷層圍巖不均勻變形的影響，減小其對襯砌的損害，與預期效果相同。

(2) 柔性接頭能增大襯砌的可允許變形能力，從而有效減小隧道襯砌的內力，使斷層對隧道動力響應影響局部化。無論是否設置接頭，穿越斷層隧道受力的不利位置主要分布在斷層中部和斷層與上下盤接觸面位置，是抗震設防需重點關注的區域。

(3) 對于穿越斷層隧道，增大襯砌的彎曲剛度會減小襯砌上的位移響應值，也增大其在兩接頭位置的位移差，同時會顯著增大襯砌上的內力響應值，因此不能一味地以增加襯砌的彎曲剛度來抵抗地震動。

(4) 地震動作用下，不同斷層寬度條件下襯砌的位移響應最大值均出現在斷層中部位置處。隨著斷層破碎帶寬度的增大，整體上隧道的位移響應最大值也隨之增大，襯砌的彎矩響應最大值也增大，而剪力響應最大值表現為先增大后減小的趨勢。在設置柔性接頭情況下，斷層寬度增大對隧道地震響應沿軸向的影響范圍仍增大。

文中提出的穿越斷層設置接頭隧道的縱向響應分析方法可定量得到工況下隧道在接頭位置產生的位移和轉角以及內力，這為工程中柔性接頭的參數設計提供參考。具體工程中柔性接頭剛度參數的確定，可先通過提出的理論方法計算接頭不同剛度參數下隧道的響應，然后根據具體工程允許的內力和變形以及靜載條件的要求等因素綜合確定最優的接頭剛度參數，從而進一步指導柔性接頭設計。需要指出的是，由于理論方法圍巖彈性等假定，對新提出方法的實際工程應用后續還需做進一步深入研究。

附錄A

(A.1)

(A.2)

(A.3)

(A.4)

(A.5)

(A.6)

(A.7)

(A.8)

(A.9)

(A.10)