帶限位雙層隔離系統沖擊響應計算方法研究

賈國輝， 孫自強， 張 磊， 閆 明

(1.沈陽工業大學 機械工程學院，沈陽 110870；2.海軍研究院，北京 100161)

為避免重要艦船設備遭到破壞，設計時大多采用為設備安裝隔振器的方法[1]，通常隔離系統的固有頻率較低，因而在遭受沖擊載荷時加速度響應幅值較小，但卻產生了很大的相對位移，有可能超過設備外接管系的承受極限，甚至超過隔振器本身的極限變形能力。為了防止設備的位移超過允許范圍，在設備上安裝限位器是行之有效的方法之一[2-3]，限位器安裝時通常留有一定的間隙，這使得帶限位系統存在二次沖擊問題。

安裝有彈性限位器的系統具有剛度分段線性的特點，國內外學者對分段線性系統的動態響應計算進行了廣泛的研究。其中包括以攝動法、平均法、諧波平衡法和增量諧波平衡法等為代表的近似解析法[4～6]，但這些方法應用范圍僅限于弱非線性系統，對于具有強非線性特點的分段線性系統很難給出準確解。對于多自由度的強非線性系統，通常只能采用數值方法求解[7-8]，但這些算法通常需要反復迭代計算，使計算效率非常低，特別是收斂精度設置得很高時。最后一種是接合法，首先分段求解線性方程，然后利用分段點上的運動連續性條件進行接合[9-10]。文獻[11]建立了含間隙彈性機械關節的數學模型，導出了運動的動力學方程。文獻[12]研究具有分段線性-非線性剛度項的單自由度系統的共振和穩定性，采用修正攝動法求解了弱非線性方程的近似解。文獻[13]用分段延拓法對二自由度碰撞振動系統進行了研究。由接合法建立的線性方程通常左側含有帶間隙項，這使得建立的線性方程無法通過模態疊加法、直接積分法、動力設計分析方法等進行求解。

本文在接合法的基礎上進行改進，提出分段建立標準形式方程的方法。以兩自由度分段線性系統為研究對象，首先采用坐標平移的方法分段建立標準形式線性方程，然后使用模態疊加法求得了每段的沖擊響應解析解，最后用MATLAB編寫了求解程序，進而分析了限位器參數對沖擊響應的影響。

1 坐標平移方法

圖1示出了單層帶限位隔離系統簡化后的物理模型，圖中m表示被隔離設備的質量，k1表示隔振器的剛度，k2表示限位器的剛度，Δ表示限位器單側間隙值，x(t)表示設備的位移隨時間t的響應函數，u(t)表示系統受到的沖擊激勵函數。

圖1 單層帶限位隔離系統Fig.1 Shock isolation system with double displacement restrictors

圖2 力-位移關系曲線Fig.2 Force-displacement curve

2 雙層帶限位隔離系統數學模型

圖3示出了雙層帶限位隔離系統簡化后的物理模型，圖中m1和m2分別表示基座和被隔離設備的質量，k1表示基座的剛度，k2表示隔離器的剛度，k3表示限位器的剛度，Δ表示限位器單側間隙值，x1(t)表示基座的位移隨時間t的響應函數，x2(t)表示設備的位移隨時間t的響應函數，u(t)表示系統受到的沖擊激勵函數。

圖3 雙層帶限位隔離系統Fig.3 Double-deck shock isolation system with double displacement restrictors

令基座相對固定基礎的位移z1(t)=x1(t)-u(t)，設備相對固定基礎的位移z2(t)=x2(t)-u(t)，設備相對于基座的位移z(t)=z2(t)-z1(t)，為方便分析，令進入狀態(Ⅰ)、(Ⅱ)和(Ⅲ)的廣義時間分別為t0、t1和t2。當系統受到沖擊激勵作用時，可以得到運動微分方程：

(Ⅰ) 未接觸限位器狀態(-Δ

(1)

寫成矩陣形式為

(2)

首先討論特征值問題，設式(2)解的形式為z(t)=Aeiωt，可得

(3)

對應的系統頻率方程為

(4)

解得系統的兩階固有頻率為

(5)

式中：ω01=(k1/m1)1/2為基座單獨存在時的固有頻率，ω02=(k2/m2)1/2為隔振系統的固有頻率;ω1和ω2分別為雙自由度系統的一、二階固有頻率。為求出模態向量，將式(5)代入式(3)第二式，并取A2=1，得到坐標變換矩陣為

(6)

進行如下坐標變換

(7)

式中，q(t)為自然坐標。將式(7)代入式(2)，并在方程兩邊左乘[U1]T得到解耦方程組的矩陣形式為

(8)

式中，

對解耦后的系統利用杜哈梅積分求得

通過坐標變換式(7)可得

(11)

z2(t)=q1(t)+q2(t)

(12)

設備相對基座的位移為

(13)

根據式(1)第二式，設備的絕對加速度響應為

(14)

(Ⅱ) 設備接觸到下限位器狀態(z(t)<-Δ)

設備接觸下限位器后，經過坐標平移，新的坐標為

(15)

同理，對接觸后的兩自由度系統解耦可得

(16)

式中:ω11、ω22為接觸限位器后兩自由度系統的一、二階固有頻率;ω03=[(k2+k3)/m2]1/2為限位器和隔離器同時作用時系統的固有頻率。

新兩自由度系統的坐標變換矩陣為

(17)

式(8)中的參數變為

(18)

通過坐標變換，確定解耦后的初值為

(19)

對解耦后的系統利用杜哈梅積分求得

原坐標系下設備的相對位移響應為

(22)

設備的絕對加速度響應為

(23)

(Ⅲ) 設備接觸到上限位器狀態(z(t)>Δ)

同理，設備的相對位移響應為

(24)

設備的絕對加速度響應為

(25)

3 沖擊響應計算與分析

某雙層隔離系統，設備質量m2=1 200 kg，基座質量m1=1 074.7 kg，上層隔振器總剛度k2=1.12×107N/m，下層隔振器總剛度k1=7.2×106N/m。將以此為基礎，對限位參數進行設計。

根據聯邦德國國防軍艦艇建造規范BV043/85的規定，采用正負雙半正弦波作為沖擊載荷輸入，沖擊載荷如圖4所示。圖4中，正波幅值1 256.637 1 m/s2，脈寬0.005 s，負波幅值314.159 3 m/s2，脈寬0.02 s。

圖4 沖擊載荷Fig.4 Shock load

3.1 限位器安裝間隙對系統沖擊響應的影響分析

根據上述確定的隔離系統參數和沖擊載荷，令限位器剛度與隔振器剛度的比值n=k3/k2為8。分別計算不同安裝間隙Δ(2～12 mm)下單層和雙層隔離系統的沖擊響應，分析限位器安裝間隙對沖擊響應的影響。相對位移幅值隨安裝間隙的變化如圖5所示。由圖可見，相對位移幅值隨安裝間隙的增大近似線性增大；雙層系統的相對位移幅值略大于安裝間隙，而單層系統要遠大于安裝間隙，其主要原因是雙層系統中能量能夠傳遞給基座，而單層系統中的能量幾乎都用來克服限位產生位移。

圖5 相對位移幅值隨安裝間隙的變化曲線Fig.5 Relative displacement vs. installation clearance

圖6示出了絕對加速度幅值隨安裝間隙的變化。由圖可見，單層系統中加速度先增大后減小，呈現倒“V”型，這樣就存在某一特殊間隙使加速度取到了極大值，而在雙層系統中，加速度先增大后減小，再增大后減小，呈現“M”型，這樣就存在某兩個特殊間隙使加速度取到極大值。

圖6 絕對加速度幅值隨安裝間隙的變化曲線Fig.6 Absolute acceleration vs. installation clearance

當限位器安裝間隙很小時或趨近于零，基座位移達到最大，基座加速度較小，系統相當于上層定剛度的雙層隔離系統。可見設備的相對位移和加速度響應的降低可能以犧牲基座的相對位移為代價。

3.2 限位器剛度對系統沖擊響應的影響分析

隔離系統參數和沖擊載荷不變，令限位器單側安裝間隙Δ為5 mm。分別計算不同剛度比n下單層和雙層隔離系統的沖擊響應，分析限位器剛度對沖擊響應的影響。相對位移幅值隨剛度比n的變化如圖7所示。由圖可見，單層系統中位移隨著剛度比n的增大近似線性減小，而在雙層系統中，在達到某一足夠大的剛度比之前位移快速減小，繼續增大剛度比位移近似水平，而加速度在這一剛度后增大速度加快。絕對加速度幅值隨剛度比n的變化如圖8所示。由圖可見，隨著剛度比n的增大，加速度總體上都呈現上升的趨勢。限位器剛度的增大總體上會導致基座位移和加速度的增大，其原因是克服限位過程中能量向基座傳遞。

圖7 相對位移幅值隨剛度比n的變化曲線Fig.7 Relative displacement vs. stiffness ratio n

圖8 絕對加速度幅值隨剛度比n的變化曲線Fig.8 Absolute acceleration vs. stiffness ratio n

同時不難發現，在剛度比小于1.9單層限位器隨著剛度比的增加相對位移減小的同時，加速度則快速上升；而對于雙層限位器加速度上升的則緩慢的多。通過計算可知，剛度比為1.9時相較于剛度比為1時，相對位移下降了25%，而加速度只增加了3.5%；單層則是相對位移下降了10%，加速度增加了22.3%。從中不難發現雙層限位器存在一個較優間隙，能夠快速減小被保護設備的緩沖位移距離，同時不會很大增加由于限位放大的加速度。

3.3 沖擊試驗與仿真結果對比

為了驗證模型的正確性，設計試驗裝置如圖9所示。其中，1代表限位器，2代表設備質量，3和5為由雙壓縮彈簧結構組成的隔離器，4代表由各部分組成的基座質量，設置限位器單側安裝間隙Δ=5 mm，限位器剛度與上層隔離器剛度比為8。在跌落式沖擊試驗機上進行試驗，由臺面采集到的沖擊信號為峰值24g，脈寬7.5 ms半正弦脈沖。

圖9 試驗裝置Fig.9 Test device

相對位移響應曲線和加速度響應曲線如圖10和圖11所示。由圖可見，試驗結果和仿真結果具有較高的一致性，峰值誤差在20%以內。由于阻尼的作用，試驗中的相對位移和加速度不斷衰減，試驗結果峰值略小于仿真結果峰值。說明按此法獲得的仿真峰值留有一定的安全系數。

圖10 設備位移響應曲線Fig.10 Relative displacement of equipment

圖11 設備加速度響應曲線Fig.11 Absolute acceleration of equipment

4 結 論

(1) 提出的坐標平移法簡化了建立線性方程的過程，得到的線性方程左側具有標準形式，可以配合模態疊加法使用，提高了計算效率。坐標平移的方法，以每段線性與橫軸的交點，即虛擬平衡點作為新的坐標原點建立坐標系，如此建立的線性方程左側具有標準形式，能夠采用常規的線性方法進行求解。接合法得到的是精確解，相較于數值方法具有更高的精度。設計了帶限位器雙層隔離系統試驗裝置，試驗與仿真結果比較吻合，驗證了模型的正確性。

(2) 單層系統中存在一個特殊安裝間隙使加速度取到極大值，雙層系統中這樣的間隙有兩個，應用本文提供的方法可以計算出此間隙值，此特殊間隙隨沖擊載荷變化。在雙層系統限位器設計時，在保證設備振動性能的前提下應該盡量減小間隙，在第一個特殊間隙前選取間隙值，當小間隙不滿足要求時，應該在兩間隙間進行選取，以此類推。

(3) 雙層系統中，隨著限位器剛度的增大，相對位移幅值迅速減小，原因是能量不斷的向基座轉移，在達到一足夠大的剛度后位移幾乎不發生變化，穩定在略大于安裝間隙的位置，繼續增大剛度導致加速度增大速度加快，因此每個安裝間隙存在與之對應的最大理想剛度使其性能達到最大化。