基于置亂-擴散與新型組合混沌系統的圖像加密算法

王慶杰，李國東,2，安博文

（1.新疆財經大學 統計與數據科學學院，新疆 烏魯木齊 830012；2.桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林 541004；3.成都理工大學 商學院，四川 成都 610059）

1 引言

隨著當前網絡技術、大數據、5G 時代等技術的迅猛發展，人類傳輸信息的方式也在隨之改變。由于數字圖像在一定程度上可以更好地表達信息，使得信息通過數字圖像來傳輸有了極大的應用。再結合新冠肺炎疫情防控局勢依然嚴峻的今天，數字圖像的傳輸以及應用的范圍有了空前增加。由于數字圖像可能帶有大量的隱私以及機密級別的信息，從而數字圖像的存儲以及傳輸將受到被截獲以及盜取、破解等方面的威脅。

由此，對數字圖像加密研究的重要性就日益凸現出來，通過對數字圖像進行加密或者壓縮、嵌入等方式實現加密傳輸。從而各種數字圖像的保護技術呈現出來。目前基于Logistic 映射的圖像加密算法有學者進行了研究。Wang Xingyuan 等[1]利用一維Logistic 自嵌入混沌系統產生，結合置亂和擴散操作的混沌圖像加密算法；李春彪等[2]等在經典Logistic 映射中引入正弦反饋，以此來進行圖像加密；Manish Kumar 等[3]基于一維Logistic 映射,提出了一種新的、快速、安全的醫學圖像加密算法;Chanil Pak 等[4]提出了一種新的二維改進Logistic 耦合映射，并應用于圖像加密；目前基于Chebyshev 映射的圖像加密算法有學者研究成果。Ali Shakiba[5]在一維混沌Chebyshev 映射基礎上構造了一種新的隨機混沌圖像加密算法；Borislav Stoyanov 等[6]提出了一種基于Chebyshev 映射和旋轉方程的新型圖像加密算法。

還有很多學者通過將logistic 映射和Chebyshev 映射與其他混沌系統相結合應用在圖像加密領域，從而由此產生了許多新型組合混沌系統。鐘艷如等[7]等通過將Sine 與Chebyshev 進行組合得到了新型2D Chebyshev-Sine 混沌系統，并應用在了圖像加密上；孫樹亮等[8]通過將Logistic 與正弦映射進行組合得到了新型2D Sine-Logistic 混沌系統，并應用在了圖像加密上；還有許多學者也做出了不同混沌一起應用在圖像加密上的研究[9-16]。圖像的加密研究目前主要集中于對圖像采取的置亂和擴散加密流程以及多次置亂與擴散相結合的加密流程。胡春杰等[17]等人提出了改進Arnold 映射二次置亂的圖像加密算法；文小爽等[18]等提出了基于置亂與擴散的彩色圖像加密算法；張芳君等[19]等提出了基于混沌序列置亂與擴散變換的彩色數字圖像加密算法。

傳統混沌系統的圖像加密算法通常基于應用廣泛的低維混沌系統來產生混沌，以此對所需加密的圖像進行相應的置亂或者擴散操作，從而達到圖像在傳輸過程中的加密處理。但是，由于低維混沌系統其本身的初始參數較少、構造簡單、密鑰空間較小等優點也在日益發展的今天變成了它的缺點,并且單一混沌也有一定的局限性。為了進一步利用低維混沌系統以及解決單一混沌系統的不足，本文通過將Chebyshev Map 與Logistic Map 進行組合，構造了新型三維組合混沌系統 （3D Logistic-Chebyshev Chaotic Systems，3D-LCCS），并設計了一種融合多次置亂、擴散的圖像加密算法，以期為圖像加密領域提供算法新形勢的參考以及提高圖像加密領域的安全性。

2 基本理論

在基于混沌系統的圖像加密算法中，一維映射由于本身簡單的構造產生了廣泛的應用。本文通過將應用廣泛的Logistic Map、Chebyshev Map 進行組合，得出了構造了新型三維組合混沌系統（3D Logistic-Chebyshev Chaotic Systems）。

2.1 Logistic Map 定義

控制參數η 的取值范圍為：0≤η≤4。

2.2 Chebyshev Map 定義

其中控制參數β 的取值范圍為：0≤β≤4。

2.3 3D-LCCS 定義

本文通過將構造簡單、維度較低的Logistic Map、Chebyshev Map 進行組合，在前人文獻[16]的基礎上改進得到了新型三維組合混沌系統 （3DLCCS）。

其中控制參數u 的取值范圍為：0≤u≤1。

通過上式（3）可看出本文通過將Logistic Map、Chebyshev Map 進行組合得到了3D—LCCS。通過Matlab 軟件對3D—LCCS 進行仿真，可得知該混沌系統具有正的李雅普諾夫指數。通過觀察混沌系統的混沌解的軌道圖以及分岔圖可以發現，該混沌系統的復雜度以及混沌特性具有很好的體現，同時也表明該混沌系統具有更好的遍歷性。混沌系統的軌道圖和分岔圖分別如圖1 和圖2 所示。

圖1 3D—LCCS 軌道圖

圖2 3D—LCCS 的分岔圖

3 圖像加密與解密算法

本文通過將構造簡單、維度較低的Logistic Map、Chebyshev Map 進行組合，重新構造了新型三維組合混沌系統（3D—LCCS）。在一定程度上克服了低維混沌或者是單一混沌系統的密鑰空間小、構造簡單、初始參數較少等局限性。在應用新型三維組合混沌系統的基礎上，結合多次圖像置亂以及擴散操作來達到對明文圖像的加密處理，圖像加密算法流程如圖3 所示。

圖3 圖像加密算法流程圖

圖像加密與解密算法具體步驟如下：

Step1：對Logistic Map 和Chebyshev Map 的控制參數進行形式的改變后，重新組合為3D Logistic—Chebyshev Chaotic Systems。

Step2：假設明文圖像為P，大小為M×N，M 與N 分別為圖像的寬度與長度。對圖像的像素值進行求和后再進行取余256，然后再進行取整等操作，此時得到數值的取值范圍在（0，1）之間，由此可逐一求出混沌系統的初始值x1、y1、z1、u 的具體值。

Step3：通過將混沌系統的初始值x1、y1、z1、u 帶入3D—LCCS，使混沌系統迭代M0+n0次，M0為了消去混沌系統的暫態過程可能帶來的不適情況所進行的初始迭代，n0為后續加密過程所需混沌序列的迭代次數，初始迭代的混沌序列應舍去然后利用后n0次迭代的混沌序列進行加密操作。由此可得到用于圖像加密所需的混沌序列。

Step4：通過將二維圖像展成一維向量后，再結合Step3 所產生的混沌序列，對此時的一維向量進行置亂操作。通過Step3 產生加取模和循環左移的偽隨機序列，利用該序列對置亂后的圖像進行融合了加取模以及循環左移的操作，由此可得第一階段的密文圖像。

式中，C 為置亂后的密文圖像，S 為混沌序列向量，P 為置亂后的一維向量，i=1,2,…,MN，LSB3表示選取數值的最低三位。

Step5：通過將第一階段的密文圖像展開成一維行向量后，利用Arnold 偽隨機矩陣進行置亂操作。Arnold 矩陣是整數矩陣，其逆矩陣也是整數矩陣，所以其也常用于圖像置亂當中。其定義如下所示。通過Step3 再次產生正向擴散與逆向擴散的偽隨機序列，利用該序列對Arnold 變換后的圖像進行異或雙向擴散操作，由此可得最終的密文圖像。

其中，(x1,y1)、(x0,y0)分別為變換前、后的像素點位置，mod 為取模運算，a、b 為整數，M、N 為圖像的行數與列數。C 為正逆向擴散后的密文圖像，S為混沌序列向量，P 為Arnold 置亂后的一維向量。

Step6：密文圖像的接收者，可以依據上述加密操作的逆過程進行解密。

4 實驗仿真

圖像加密算法仿真實驗平臺的配置為i5-6300HQ、2.30GHz 的inter處理器，內存大小為7.8G，操作系統為64位的 windows10，Matlab2016a。選取256×256 的Lena 標準灰度圖像作為明文圖像，設定此時的混沌系統初始值分別為x1=0.92、y1=0.74、z1=0.83、u=0.96，將明文圖像帶入上述加密算法流程可得到如圖4-7 所示的明文圖像和密文圖像以及解密圖像。

圖4 明文圖像

圖5 第一階段密文圖像

圖6 最終密文圖像

圖7 解密圖像

5 安全性分析

5.1 密鑰空間

密鑰空間是用于圖像加密算法所有密鑰的集合，本文的加密系統密鑰分別有x1、y1、z1、u，上述各個參數的初始值取值范圍為[0，1]，其步長均為10-14，可知密鑰空間的大小為1056，可知本文加密系統的密鑰空間大于2100，由此得出本文的加密系統可以有效地抵抗窮舉密鑰攻擊。

5.2 密文統計特性

密文的統計特性選用直方圖來進行圖示說明加密后的直方圖是否有了明顯的改變，可以圖像的直方圖來觀察像素值的大致分布情況以及統計信息，所以用此檢驗加密算法的加密效果尤為重要[20]。基于Lena 加密前后的直方圖如圖8 和圖9 所示，結合卡方檢驗得知密文的檢驗值為253 遠遠小于χ20.01(255)，并從圖中可得出加密后的密文圖像直方圖分布較為均勻，沒有呈現出明顯的規律性，攻擊者想獲取信息有一定的難度。

圖8 明文直方圖

圖9 密文直方圖

5.3 相關性分析

通常來說，明文圖像的相鄰像素點的相關性較強。由此得知從密文圖像中隨機選取若干相鄰像素點，相關性若不強也可得知加密算法的性能。本文通過對明文圖像以及密文圖像，分別隨機選取了2000 對相鄰像素點，來檢驗各自的相關性。其圖像相鄰像素點相關系數計算結果如表1 所示，明文圖像以及密文圖像的各自相關情況如圖10-17 所示。可得出明文圖像的相鄰像素點的相關性較強，密文圖像的相鄰像素點相關性可以認為不存在。

表1 圖像相鄰像素點相關系數

圖10 明文圖像水平方向相關情況

圖11 明文圖像垂直方向相關情況

圖12 明文圖像正對角方向相關情況

圖13 明文圖像反對角方向相關情況

圖14 密文圖像水平方向相關情況

圖15 密文圖像垂直方向相關情況

圖16 密文圖像正對角方向相關情況

圖17 密文圖像反對角方向相關情況

5.4 抗差分攻擊

抗差分攻擊就是指明文的敏感性，通過對所需加密的明文進行微小改變然后對比加密后的密文。結合像素改變率 （number of pixels change rate，NPCR） 與歸一化平均改變強度 （unified average changing intensity，UACI），NPCR的理論期望值99.6094%和UACI 的理論期望值33.4635%來對比該加密系統的明文敏感性以及能不能抵抗選擇明文攻擊。

上式中Q1、Q2分別為明文圖像P 沒有改變以及微小改變后所對應的密文圖像，M 與N 分別為圖像的寬度與長度[21]。結果如表2 所示，由表中信息可得知本文的加密算法具有抗差分攻擊能力。

表2 NPCR 和UACI 的值

5.5 密鑰敏感性分析

密鑰敏感性分析是為了檢驗密鑰是否具有敏感性。當密鑰發生微小變化時，依據此時變化后的密鑰再次對明文圖像進行加密操作，然后與密鑰沒有變化時的產生的密文圖像進行對比，如果兩個密文圖像差別非常顯著，則得知該圖像加密算法的密鑰具有一定的敏感性[23]。此時通過對密鑰進行微小改變再次對明文進行加密，得到如下所示圖18。由圖19 也就是密鑰改變前、后密文圖像的差圖呈現出噪聲樣式，從主觀上反映出了兩個密文圖像差異性顯著，也表明了密鑰具有敏感性。

圖18 密文圖像

圖19 密文圖像差圖

5.6 信息熵

信息熵在一定程度上為了測量圖像的隨機性，熵值如果越大，隨機性越大，可得到的信息也就越少。信息熵的計算公式如下所示：

式中，L 為圖像的灰度等級數，p(i)表示灰度值出現的概率，H 的理論值為8，本文的信息熵值為7.9972，也是非常接近8，由此可得知密文圖像灰度分布也是十分均勻的，加密算法可以抵抗攻擊。

6 結語

本文依據現有的Logistic Map、Chebyshev Map進行組合，重新構造出了新型三維組合混沌系統，克服了低維混沌系統、單一混沌系統的結構簡單、密鑰空間較小等局限性還具有更好的遍歷性等優點。設計了基于3D-LCCS 的圖像加密算法。在該算法中進一步結合多次置亂—擴散操作，借助Matlab仿真平臺，檢驗了本文提出圖像加密算法，復雜度高、密鑰空間較大、安全性好，可以抵御各種攻擊，對于圖像的加密傳輸具有十分可觀的應用前景與價值。