“正者知其原，誤者曉其因”

侯海全 萬書河 鈄斐玲

在教育目標分類學理論的指導下，通過對一道試題的問題情境、學生正解和典型誤解進行分析，以明確“正者知其原”，即做對題目的學生知道為什么能做對;“誤者曉其因”，即做錯題目或不會做的學生知道為什么做錯或不會，可以改變教師直接將解題過程講授并大量“刷題”的局面，真正提升課堂教學質量并切實減輕學生學習負擔。這樣以“分析完成解題任務需要用到的知識要素、方法和策略”為特征的課，我們稱為“析題課”。

我們以八年級上冊“全等三角形”中的一節析題課為例進行研究。

1.教學內容及教學對象分析

全等三角形在幾何體系中有著重要的意義，其相關基本事實占初中平面幾何學習的九條基本事實的三分之一，其相關概念與定理既用到前面直線、角、平行、垂直等知識，又將作為后續學習等腰三角形、四邊形、圓等內容的基礎。在全等三角形的學習和應用過程中，畫圖與作圖、推理與運算以及數學建模等能力始終伴隨其中，承載了培養學生基本能力的功能。對全等三角形的學習和考查，從教育目標分類的角度看，實質上是完成具體情境的認知任務，要求學生不僅能夠依據所給條件主動搜索記憶并提取相關概念、原理等知識，還要知道解答此類題目常用的思路或模式。

我們對學生進行了調研：（1）在幾何學習過程中，你遇到過哪些困難？（2）在幾何學習過程中，你希望獲得哪些幫助？通過調研（調研結果如圖1和圖2），了解學生在幾何學習過程中的主要障礙和困難，了解學生在已有學習經驗基礎上的需求。

學生遇到的困難主要表現在思路、圖形、切入點、輔助線、問題情境等方面，近一半學生存在無思路的困難，近一半的學生希望獲得思路、聽題目講解、找切入點等方面的幫助。

2.析題課的課前準備

設計若干典型的認知任務進行簡單測試。例如，在此次全等三角形析題課前，我們設計了7個典型的認知任務。

選擇典型認知任務作為分析對象。統計學生完成情況，并分析結果：近98%的學生具備較為扎實的知識基礎，能夠解決簡單幾何問題，只有約38%的學生能完成較復雜的幾何問題。過難或過易的題都不適合在全班范圍進行分析，我們選擇完成率在30%至70%的題目作為析題課的分析對象。

選擇規正的學生解答和典型誤解為教學材料。我國著名數學教育家傅種孫先生說過：教學的技藝，一方面要指示正規，一方面要矯正錯誤，必須兩者兼施并用，方會有好的效果。因而析題課一方面分析正規的解題過程中每一步涉及的知識要素以及整體思路流程，也就是“析正解”。另一方面是選擇學生典型誤解作為教學資源提供給學生，用來分析錯誤原因，并且思考和尋求正確的解決策略，也就是“糾誤解”。“析正解”和“糾誤解”的學習活動先后進行，有利于學生深入、理性地分析和評價，提高數學學習的自我效能。

3.析題課的教學目標

本節全等三角形析題課的教學目標如下：（1）通過對全等三角形綜合題的題目和解答的剖析，能夠分析出每步推理蘊藏的知識要素，根據解題思路畫出相應的流程圖;（2）通過對經典正解和典型誤解的分析，明確“對之何以對，錯之因何錯”，提升推理能力和分析能力;（3）通過個人獨立思考、小組交流、集體匯報等活動，樹立學好數學的信心，更好地認識自我與他人，促進個人的發展與提高。

4.析題課的教學流程

活動一，分析數據，明確對象。

展示課前7個典型認知任務的得分率，確定本節課要分析的幾何問題。

師生活動：教師以條形圖的形式反饋學生在已完成的認知任務中各小題的整體情況，與學生共同確定本節課想要分析的幾何問題，同時教師明確本節析題課的目的。

試題：BD平分△ABC的外角∠ABP，DE⊥BP于點E，DF⊥AB于點F。

（1）求證：BE=BF;

（2）若∠DAB=∠DCE，探究AB，BE，BC的數量關系，并證明。

活動二，揭示正規，明了方法。

展示第1問的正確解答過程，結合解答過程，寫出題干（已知）、問題（所求）及第1問解答過程中推理的依據。

任務2.1 獨立分析。學生按照活動二要求對問題情境及第1問解答過程中用到的推理依據進行獨立分析。

任務2.2 小組交流。學生在與組內同學交流的過程中認同和修正自我，依據討論情況確定代表，進行展示。

任務2.3 展示匯報。1-2位學生代表分享小組活動二情況。

任務2.4 思考歸納。教師追問：“對于同學的分享，你是否有不同意見？”學生達成一致意見后，明確已知、所求、推理依據是解決問題的基礎。教師追問：“清楚這些已知、所求、推理依據之后，問題是否就能得到解決？”明確雜亂無章的知識無法真正解決問題，需要依據圖形將它們有目的地組織起來（如圖所示）。

這樣的思維流程圖建立在情境分析、知識間聯系的基礎上，能夠呈現解答第1問時用到的知識和思路，使得解決問題的方法和思路更加清晰。

師生活動：學生通過獨立分析、小組交流、展示匯報三個階段完成活動二，教師在巡視和傾聽過程中指導、幫助和啟發學生。教師以問題串引導學生進一步認識到解決問題的基礎和知識組織過程的重要性。

活動三，關注聯系，查找缺失。

參照活動二的分析過程，繼續分析情境，并嘗試呈現第2問中的思維流程圖。

任務3.1 獨立分析。在活動二的基礎上，對問題情境進行再分析，并結合圖形嘗試有目的地組織知識解決問題。

任務3.2 小組交流。學生在與組內同學交流的過程中認同和修正自我，依據討論情況確定代表，進行展示。

任務3.3 展示匯報。1-2位學生代表分享小組活動情況。

任務3.4 思考歸納。教師追問：“在知識的組織過程中，起到重要作用的因素有哪些？”。再次明確已知條件、所求結論、推理依據是解決問題的知識基礎，同時圖形結構影響了知識如何組織起來。再追問：“要成功解決幾何問題，你認為要做哪些事情？”明確解決幾何問題的基本方法。

師生活動：學生通過獨立分析、小組交流、展示匯報三個分解任務完成活動三，教師在巡視和傾聽過程中指導、幫助和啟發學生。教師以問題串引導學生進一步思考和歸納，明確解決幾何問題的基本方法。

活動四，矯正失誤，加深認識。

參照活動三中的分析方法，為兩位學生的不完善的過程指出問題并給出建議。

任務4.1 獨立分析。在活動三的基礎上，對他人不完善的解答過程進行分析，指出問題并給出建議。

任務4.2 小組交流。學生在與組內同學交流的過程中認同和修正自我，依據討論情況確定展示代表，進行展示。

任務4.3 展示匯報。1-2位學生代表分享小組活動情況。

活動五，回顧反思，總結策略。

通過本節課，你有哪些收獲？對你今后的學習有哪些幫助？

5.對析題課的反思

這樣的析題課與以往的復習課相比有哪些不同之處？析題課在課前對學生進行了調研和檢測，建立在學生的需求上，對題目、知識和方法的分析、檢查和評價，以解決學生的困難和提升學生能力為目標。

這樣的析題課給出了題目的正確解答過程，目的和好處是什么？給出題目的正確解答過程即是指示正規。對于沒做出這道題目的學生，給出題目的正確解答過程讓學生深入分析，有助于他發現解答問題中需要用到的知識，促使他關注知識間的聯系;對于做出這道題目的學生，在這樣的分析過程中，學生學到了分析方法，同時也關注到知識間的聯系。

在這樣的析題課中，指示正規和矯正錯誤兼施并用，教學時間不足怎么辦？對于知識要素較少、思路相對簡明的題目，指示正規和矯正錯誤能夠在一節課中完成;對于比較復雜的題目，仍要保證學生充分的學習活動時間，可以將指示正規和矯正錯誤分解在兩節課中完成。析題課之后可以對同樣知識要素的不同題目進行檢測，以檢驗課堂教學效果，如仍出現普遍性錯誤，我們可以進行再分析和再評估。

編輯 _ 李剛剛