基于解題回顧的數學寫作的試探

何銘

【摘要】 數學寫作是一種行之有效的數學學習方式，解題回顧也是數學學習必不可少的過程.教師嘗試以解題回顧為基礎讓學生進行數學寫作，可以強化其解題過程中的元認知.數學寫作可以幫助學生構建知識體系，鞏固數學的基礎理論知識，培養學生的數學解題能力，加強學生對相關數學知識內容的理解.同時，數學寫作還可以幫助學生理解與掌握元認知，從而提高學生的元認知水平.學生在具體寫作時可以圍繞“對解題過程進行分步”“記錄解題思路及由來”“對題目按解題方法進行分類”和“對解題活動總結”這四點展開，使數學寫作成為有米之炊.

【關鍵詞】數學寫作;解題回顧;元認知

隨著以“核心素養”為中心的課程改革的不斷深入，數學交流、數學閱讀、數學寫作、數學項目式學習等新型數學學習方式出現在教學中，數學學習方式受到了越來越多的關注.在國內，自2017年5月5日“數學寫作”學校聯盟啟動開始，數學寫作在全國范圍內推動了眾多學校的學科教研和特色發展.但數學寫作在初中數學教學中受學生知識面、理解程度等因素影響，實施范圍較小，對于初一學生來說這種限制更加嚴重.本人在教學中嘗試以解題回顧的形式打開學生的數學寫作大門，并為日后展開數學寫作活動打下基礎.數學寫作是學生表達對數學的思想與想法，將學習數學時所產生的情感體驗表現在寫作內容之中的數學表達形式，數學寫作是實現師生有效交流的重要途徑，教師在批閱數學寫作時，應該對學生所表達的情感及時評價與回應.

一、解題回顧與數學寫作

1.解題回顧

著名美國數學家、數學教育家波利亞在《怎樣解題：數學思維的新方法》中把解題過程分為四個階段：理解題意、擬訂方案、執行方案和回顧.其中回顧是指：回顧完整的答案，重新斟酌、審查結果及導致結果的途徑.

解題回顧的過程中，除了要回顧有關知識、解題方法，更要回顧一開始是怎樣探索的，走過哪些彎路，產生過哪些錯誤，為什么會出現這些彎路和錯誤等，最后形成解題經驗.

2.數學寫作

數學寫作是指在學習目標的指引下，學生將所學的數學知識與實際問題整合起來，或者是對數學知識及其規律的認識，或者是自己對數學的困惑及理解，或者是與教師的溝通等，通過自主研究并整理寫成數學文章的一種學習活動.活動形式有數學日記、數學周記、數學作文、數學小論文等.

3.基于解題回顧的數學寫作

教學過程中，很多學生回答問題或與同學交流時，往往以答案開始以答案結束，沒有呈現自己的解題思路.數學活動作為特殊的認知活動，數學元認知是客觀存在的.數學元認知理論提出學生在參與解題活動的過程中會存在解題策略和對整個過程的監控，回到數學解題上其實就是解題思路的一部分.教師需要做的就是探索一些方法幫助學生主動思考、監控這個過程，并把它表達出來.

基于解題回顧的數學寫作就是以解題回顧為內容，通過對解題方法和思路的體悟、總結等形式，把學生對數學的思考和體驗整理成文的活動.這一活動過程的重點是把解題活動中思考、監控的過程用文字記錄下來，也就是說不但要有完整的解題過程，而且要有方法、思路的生成過程.目的是把以前學生之間只能意會的數學變得可以言傳.

二、基于解題回顧的數學寫作的價值

一方面，《義務教育數學課程標準》2011年版的課程基本理念中提出：教師教學應引導學生合作交流，并且對義務教育階段的數學學習明確提出了數學交流的目標要求.數學交流包括用書面或口頭形式進行合理推斷、表達數學觀點、反思與評價自己和他人觀點.數學寫作是提高數學活動中接受信息和表達能力的手段，而初一學生用數學語言表達世界的工具有限，以解題回顧為內容來開展數學寫作活動是比較合理的.同時，學生的數學表達能力得到鍛煉，也為日后全方面開展數學寫作乃至數學交流打下了基礎.

另一方面，數學解題元認知能力的提升，可以使解題的元認知監控上升到自我意識的水平，只有當各種元認知監控達到不假思索、油然而生的境界，也就是上升到意識的層次才能使學生的數學解題能力達到自己的最高水平.因此，教師在解題的教學活動中，要刻意讓學生通過監控自己的思考過程及對解題過程追根溯源提高自我監控水平.而基于解題回顧進行數學寫作可以很好地完成這一任務，從而幫助學生深化對答案的理解，理清解題過程中每一步的作用、步驟之間關系和其中蘊含的數學思想方法，也促使學生思考用不同方法解同一道題目和將該題的結論或方法推廣到其他題目.這也是華羅庚先生提出的“書要從薄讀到厚，再從厚讀到薄”的過程.

三、數學寫作建立的試探

數學寫作中遇到的首要問題是學生不知道可以寫什么，因此數學寫作需要具體的、可操作的行動才能真正落實，只有目標沒有方法只能淪為空中樓閣.由于對象是剛剛升上初中的初一學生，數學寫作可以選擇對數學題的總結歸納，這時需要教師給予學生解題回顧的內容和數學寫作的方法.下面從四點建議，談談初一階段的數學寫作內容.

1.對解題過程進行分步

“控制”是數學解題自我監控的主要因素之一，要求主體關注解題的過程性和層次性，有意識地控制自己的解題節奏，對整個解題過程做到心中有數，明確知道每一個解題步驟的意圖.教師通過解題過程分步來進行數學寫作可以幫助學生有意識地監控解題的過程，同時培養學生解題的程序性思維.要說明的是，這里的分步不需要細分到每一步的運算、證明，而是根據在題目中的作用對過程分模塊，明確每個模塊在整個過程里的作用和原理，理清模塊之間的關系.

案例1 絕對值的化簡題

學生在數學寫作中記錄：

已知a，b，c的大致位置如圖所示，化簡|a+c|+|b+c|-|a-b|.

解 Step 1：如圖可知b<a<0<c

Step 2：且|a|<|c|<|b|

Step 3：∴a+c>0，b+c<0，a-b>0

Step 4：∴原式=（a+c）+（-b-c）-（a-b）

Step 5： =a+b-b-c-a+b

Step 6： =（a-a）+（b-b+b）-c

Step 7： =b-c

點評和修改建議：分步并不是把標準答案里面的一行當作一步，學生應該關注整個過程可以分為幾大模塊，每個模塊要解決什么問題，模塊之間是什么關系.例如，該題答案里面的第1，2行是解題的第一步：讀圖;第3行是第二步：判斷正負;第4行是第三步：去絕對值;第5，6，7行是第四步：化簡.請根據上述建議修改并說明：這四個步驟之間的關系及做這一步的理由.

設計意圖 數學解題元認知理論提出：對整個解題過程要做到心中有數，而且要意識到每個步驟的意圖.這就要求學生對題目既要有全局意識，又要有局部意識，即要對解題過程進行有意義的分步并理清每一步的作用.學生在記錄這一題的時候明顯還不懂怎樣分步，此時學生需要通過例子進行學習.因此，教師可以先把解題步驟告訴學生，讓學生通過步驟來感受，接下來的工作由學生獨自思考完成.

案例2 一道用作差法比較兩數大小的題

學生在數學寫作中記錄：

若M=3x2-5x+2，N=2x2-5x-2，判斷M，N的大小關系.

解 ∵M-N=（3x2-5x+2）-（2x2-5x-2）=x2+4>0，

∴M>N.

點評和修改建議：根據下列問題補充：1.這題主要用了什么方法？2.為什么是相減，原理是什么？3.這個方法的步驟、流程是怎樣的？4.每個步驟的作用和依據是什么？

設計意圖 這是一道比較兩數大小的題目，題目通常用作差法解決.學生升入中學后會學習很多解題的基本方法和模型，但隨著學習的內容越來越多，學生會迷失在眾多的方法、模型之中.這是因為學生沒有掌握方法的原理，知其然不知其所以然.學生在做總結的時候往往沒有做更深層次的思考，為了改變這種現象，教師應該在教授數學方法時要求學生注意數學方法、模型背后的原理.

2.記錄解題思路及由來

解題思路可以用解題經驗來解釋，就是某些數學知識、解題方法與某些條件的有序組合，成功是一種有效的有序組合，失敗也可以從反面提供有效的有序組合.解題所做的腦力工作就在于回憶經驗中用得上的東西，并且和解題思維聯系起來.學生在回顧時應把解題時的嘗試進行總結，不管這些嘗試是成功的還是失敗的，對下次解題活動來講都是有參考價值的.另外，對沒解出來的題目，拿到標準答案之后也應該嘗試反推解題思路，這會成為日后的解題經驗.

案例3 一道含參數的一元一次方程題

學生在數學寫作中記錄：

已知關于x的方程x3+a=|a|2x-16（x-6）

（1）當a取何值時，方程無解？

（2）當a取何值時，方程有無窮多個解？

（3）當a=3時，方程的解是多少？

解 由x3+a=|a|2x-16（x-6），

可得3-3|a|6x=1-a（二話不說，先化簡.）

（1）由題意得3-3|a|6=0，

1-a≠0，解得a=-1

（問：為什么是一個=0，另一個≠0？）

（答：只有方程等號一邊等于0，等號另一邊不等于0，方程才會無解）

∴當a=-1時，方程無解.

（2）由題意得3-3|a|6=0，

1-a=0，解得a=1.

（無窮多個解，就是x的系數和常數項都為0）

∴當a=1時，方程有無窮多個解.

（3）當a=3時，原方程為x3+3=32x-16（x-6）（直接代入計算就好）

解得x=2

總結：這類題要分類討論.

點評和修改建議：把自己的解題思路用口語化的表達記錄下來很親切，而且對于含參方程解的情況已經掌握得很好.在做總結的時候可以把問題的本質關于x的方程ax=b拿出來，然后把復雜的問題化歸到簡單的、已解決的問題上.

設計意圖 解題過程以外的思路記錄部分應鼓勵學生用各種形式，可以是解題時畫的草圖、自問自答的對話、口語化的表達等，這些才是學生真實存在的思考內容，真實的內容才能對過去的經驗進行分析和總結.除了成功的經驗外，失敗的經驗也能為學生日后解題指導方向.如果學生大膽把自己失敗的嘗試過程記錄下來，教師也要進行鼓勵.

3.對題目按解題方法進行分類

學生要將陌生問題化歸為熟悉問題，需要善于將所學內容聯系起來，形成一個個知識組塊，再對這些知識組塊進行加工，形成一個條理清楚、層次分明的知識結構網絡，這樣就可以提高知識的檢索與提取效率.一般來說，學生手頭上與課程配套的練習是按課時編排的，不利于學生發現知識點之間的聯系，而處理相關聯的知識點的解題方法是類似的.因此，學生在總結歸納數學題時應該對題目按解題方法進行分類，將熟悉的解題方法歸納在一起，從而提高數學問題的探究能力.

案例4 整理第二章《整式的加減》典型題（1）

學生在數學寫作中記錄：

§2.1代數式學案（若干題）

§2.2單項式學案（若干題）

§2.3多項式學案（若干題）

……（若干份學案）

點評和修改建議：切忌傳統錯題本式的機械記錄.不難發現，不同學案中會有處理方式一樣的題，這些題的方法和思路是類似的，我們可以把它們歸到一類，總結這一類題目的特點.如這一章里用整體思想進行代換的題目，可以放在一起研究它們的共同點，進而掌握這一類題目的解題方法.

設計意圖 該生一開始以為整理就僅僅是把題目記錄下來，沒有挖掘該類數學題目的內涵和核心，這是沿用的傳統錯題本的經驗.學生在剛接觸數學寫作時很多采用這種模式，這是學生小學時的學習經驗，或是小學作業的要求，這種學習經驗和作業要求，并不適用于初一的數學課堂學習.教師要改變這種情況需要“授之以漁”，更需要“授之以魚”，即給出具體的一類題目讓學生進行整理，加強學生整理歸納的能力，將同類型的題歸納整理為一種類型題.另外，數學寫作除了是學生自己與自己交流、學生與教師交流，更應該是學生與學生之間的交流，所以教師可以展示優秀作品供大家互相學習、評鑒，學生在欣賞其他同學的數學寫作作品之后，會不斷完善自己的數學寫作內容，努力提升自身的數學寫作水平.

4.對解題活動總結

評價也是數學解題自我監控的主要因素之一，要求主體以理解性和發展性標準來認識自己解題的收獲.評價應該貫串解題的四個步驟，但在解題后尤其重要，也是學生會忽視的一點.數學寫作讓學生在解題回顧時對解題活動進行總結，可以樹立學生對解題活動總結的意識，并潛移默化地遷移到平時.在具體操作時，學生應該跳出題目本身，嘗試總結更深層次的觀點，如解決此問題的關鍵所在、解題過程的經驗與教訓、成功得失及其原因等.如在案例3中，學生把自己的個人感受和經驗用一句話進行了總結，這是值得鼓勵的，初一學生的這方面能力比較弱，需要循序漸進慢慢培養.

數學寫作能夠促進學生的深度學習，發展核心素養，這些目標并不能一朝一夕就完成.實踐能發現和解決前進路上的問題，以上述幾點內容嘗試讓學生實實在在動筆進行數學寫作，即使這些試探還有些不成熟，也是學生走出萬里長征的第一步.

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