里引德起伯的原弱子光中孤非子厄偏米折電及磁其誘操導控光*柵

高潔 杭超2)3)?

1) (華東師范大學，精密光譜科學與技術國家重點實驗室，上海 200241)

2) (紐約大學-華東師范大學聯(lián)合物理研究所，上海 200122)

3) (山西大學，極端光學協(xié)同創(chuàng)新中心，太原 030006)

1 引言

宇稱-時間(parity-time，PT) 對稱的概念最初是在量子力學的框架下提出的.1998 年，Boettcher和Bender[1]發(fā)現(xiàn)滿足PT 對稱的一系列非厄米哈密頓算符，也能支持全實的能量本征譜，開辟了研究開放量子系統(tǒng)的新途徑.事實上，PT 對稱對于具有全實本征譜的非厄米哈密頓算符來說是一個充分而非必要條件，因此當哈密頓算符的非厄米程度增加時 (通常增加算符中的增益/損耗項來實現(xiàn))，一部分實的本征譜會成為復的，這種現(xiàn)象被稱為自發(fā)PT 對稱性破缺[2].注意到Maxwell 方程在傍軸近似下導出的光場傳輸方程與量子力學中的薛定諤方程在數(shù)學形式上非常相似，PT 對稱的概念很快被人們引入光學領域中[3，4].通過類比，光學PT 對稱系統(tǒng)可以通過構造一個依賴于空間坐標的光學勢V(r)，且使該光學勢滿足PT 對稱條件:V(r)=V(-r)*來實現(xiàn).由于光學勢的實部對應系統(tǒng)的折射率，虛部對應系統(tǒng)的增益或損耗，因而條件V(r)=V(-r)*等價于系統(tǒng)的折射率分布為偶對稱，增益/損耗分布為奇對稱.近年來，隨著光學實驗技術的不斷發(fā)展以及光學新材料的不斷涌現(xiàn)，人們在不同的光學PT 對稱系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了許多新奇的物理現(xiàn)象并且實現(xiàn)了很多重要的應用，包括光學放大[5]、非互易光傳播[6，7]、完美吸收與無閾值激光[8-13]、增強靈敏度[14-16]及量子信息處理[17，18]等.此外，人們還研究了PT 對稱條件下非線性光學系統(tǒng)中光孤子的形成、傳播及操控特性[19-29]，為利用光孤子實現(xiàn)信息傳輸與處理打下了理論基礎.

另一方面，近年來大量關于里德伯原子系統(tǒng)的研究工作涌現(xiàn)出來.里德伯原子是指主量子數(shù)非常大的高激發(fā)態(tài)原子[30]，里德伯原子的軌道半徑、碰撞截面、原子壽命、電偶極矩、電極化率等都與主量子數(shù)的冪次成正比，較普通原子大得多.通過調節(jié)原子密度等參數(shù)，里德伯原子之間的偶極-偶極相互作用不僅可以很強，而且可以改變12 個數(shù)量級，從而呈現(xiàn)出許多十分有趣的物理現(xiàn)象.特別地，由于激光冷卻與囚禁技術的發(fā)展，使得里德伯原子的研究進入了一個嶄新的發(fā)展階段.超冷里德伯原子不僅為實現(xiàn)高分辨、高靈敏、高精度量子調控與精密測量提供了新的有力手段[31]，而且為探索各種重要的量子多體效應以及量子信息與計算提供了十分有效的研究平臺[32].尤其值得注意的是，通過和電磁感應透明(electromagnetically induced transparency，EIT)[33]相結合，里德伯-EIT 系統(tǒng)中的非線性光學效應不僅能比傳統(tǒng)EIT 系統(tǒng)大4—5 個數(shù)量級，還具有可調非局域特性，為非局域非線性光學[34，35]、非線性量子光學[36，37]等研究開辟了新的研究方向.

本文在里德伯-EIT 系統(tǒng)中實現(xiàn)了具有PT 對稱的電磁感應誘導光柵 (electromagnetically induced grating，EIG)[38-42]，即實現(xiàn)了光柵的折射率分布是偶函數(shù)，增益/損耗分布是奇函數(shù)，并研究了系統(tǒng)中探測光場在到達EIG 前形成孤子的過程以及經e 過EIG 時引起的偏折現(xiàn)象.我們發(fā)現(xiàn)，由于里德伯-EIT 系統(tǒng)具有很強的非線性光學效應(可比通常的非線性光學介質大10 個數(shù)量級以上)，因此只需要很少的輸入探測光能量(幾個納瓦的輸入能量)就能形成穩(wěn)定的光孤子.另外還發(fā)現(xiàn)，通過改變EIG 的增益/損耗系數(shù)、EIG 周期、以及原子的克爾非線性非局域度都可以有效地改變探測光孤子的偏折程度和狀態(tài)，實現(xiàn)對弱光孤子偏折的主動操控.本文的研究結果可為未來利用PT 對稱EIG實現(xiàn)全光控制和光信息處理等相關應用提供一定的理論依據(jù).

2 物理模型

考慮超冷倒Y 型四能級原子氣體與激光場相互作用的系統(tǒng)，如圖1(a)所示.在該系統(tǒng)中，與原子相互作用的激光場可以寫為E=Ep+Ec+Ea，其 中Ej=ejEjexp[i(kj ·r-ωjt)]+c.c. (j=p，c，a ;p 表示探測場，c 表示控制場，以及a 表示輔助場).這里，ej為光場的極化方向單位矢量;Ej為光場的振幅;ωp為弱探測場的角頻率(對應波矢為kp，半拉比頻率為Ωp)，耦合能級|1〉 與|3〉 之間的躍遷;ωc為強控制場的角頻率(對應波矢為kc，半拉比頻率為Ωc)，耦合能級|2〉 與|3〉 之間的躍遷;ωa為較強輔助場的角頻率(對應波矢為ka，半拉比頻率為Ωa)，耦合能級|3〉 與|4〉 之間的躍遷.此外，探測光與控制光沿z軸的正方向傳播，輔助光沿z軸的負方向傳播.為了實現(xiàn)PT 對稱的光學勢，引入了非相干泵浦(泵浦率為Γ21)，將原子布居數(shù)從能級|1〉 泵浦到能級|2〉 上，使探測光可以工作在受激輻射模式，從而獲得光學增益.在具體的實驗中，非相干泵浦可以通過入射一束中心頻率與相關能級躍遷共振但是線寬很寬的激光來實現(xiàn)[43].考慮到能級|1〉 和|2〉 是基態(tài)的精細分裂，可采用入射線寬很寬的微波場來實現(xiàn).

圖1 里德伯-EIT 系統(tǒng)的能級圖、裝置示意圖、以及非線性響應函數(shù)的空間分布 (a) 里德伯-EIT 系統(tǒng)的能級圖.能級|1〉 ，|2〉，和|3〉 構成經典的 Λ 型EIT，其中探測場 Ep 耦合能 級躍遷|1〉?|2〉，控制場 耦合能 級躍遷|2〉?|3〉 ，Δ j 為失諧 量，Γ jl 為能級 |l〉到能級|j〉 的自發(fā)輻射衰減率.里德伯能級|4〉 通 過輔助光場 Ea 與能級|3〉 遠共振耦合.引入非相干泵浦(泵浦率 Γ21)將原子從能級|1〉 泵浦到能級|2〉 .里德伯原子之間的相互作用(即里德伯-里德伯相互作用)由范德瓦耳斯相互作用勢 Vvdw 描述 (Vvdw 的表達式在文中給出).(b) 里德伯-EIT 系統(tǒng)的裝置示意圖.(c) 非線性響應函數(shù)實部和虛部的空間分布，Re(W (ξ))(紅色實線表示)和Im(W (ξ))(藍色虛線表示);橫坐標為 ξ=x/w0 .圖中所用的系統(tǒng)參數(shù)在正 文中給出Fig.1.Level diagram and excitation scheme of the Rydberg-EIT，possible setting，and spatial distributions of the nonlinear response function.Energy levels|1〉 ，|2〉，and|3〉 constitute a Λ -type EIT configuration，where the probe laser field Ep couples the transition|1〉?|2〉 and the control laser field Ec couples the transition|2〉?|3〉 .Δ j are detunings and Γ jl are the spontaneous-emission decay rate from |l〉 to|j〉 .The Λ -type EIT is dressed by a high-lying Rydberg state|4〉，which is far-off-resonantly coupled to state|3〉 through an assistant laser field Ea .An incoherent pumping (with the pumping rate Γ21) is introduced to pump the atoms from |l〉 to|2〉 .The interaction between two Rydberg atoms is described by the van der Waals potential Vvdw(given in the text).(b) Possible setting of the Rydberg-EIT system.(c) Spatial distributions of the real and imaginary parts of the nonlinear response function，Re (W) (the red solid line) and Im (W) (the blue dashed line)，as functions of ξ=x/w0 .

在電偶極近似和旋轉波近似下，包含原子間相互作用(里德伯∫-里德伯相互作用)的體系哈密頓量寫作:Na，其中 是原子氣體密度，H(r，t) 是哈密頓量密度，在相互作用表象下可進一步寫成:

其中與能級|α〉，|β〉相關的 躍遷算 符定義為，該算符滿足對易關系 [Sαβ(r，t)，Sμν(r′，t)]=(1/Na)δ(r-r′);Δα為失諧量，定義為Δ2=ωp-ωc-(ω2-ω1) ，Δ3=ωp-(ω3-ω1)，以及Δ4=(ω4-ω1)-ωp-ωa，其中ωα是能級|α〉的 本征頻率;控制場、探測場和輔助場的半拉比頻率分別定義為Ωp=(ep·p31)Ep/?，Ωc=(ec·p32)Ec/?，和Ωa=(ea·p43)Ea/?，其中pαβ是能級|α〉與|β〉之間的電偶極矩陣元.哈密頓量表達式中的最后一項表示兩個激發(fā)到里德伯態(tài)的原子分別在位置r和r′之間的遠程相互作用，由范德瓦耳斯相互作用勢?Vvdw(r′-r) 表示，其中Vvdw(r′-r)=C6/|r′-r|6，C6為色散系數(shù).

相干原子的演化動力學由密度矩陣方程(Bloch 方程)來描述，具體形式如下:

探測光場的傳播動力學由Maxwell 方程來描述，在慢變包絡近似下可寫為

其中耦合系數(shù)κ13≡Naωp|p13|2/(2ε0c?)，Na表示原子密度.方程中關于橫向坐標x和y的二階導數(shù)項表示探測場在傳播過程具有衍射效應.

如果探測場隨時間變化很慢，可以令Maxwell-Bloch 方程(2)和(3)中的時間求導項為零 (即求穩(wěn)態(tài)解)，此時方程將簡化為代數(shù)方程.此外，輔助場與能級|3〉，|4〉 之間的躍遷為遠共振耦合，即滿足條件|Δ3-Δ4|?Ωa，因此只有很小一部分原子能被激發(fā)到里德伯態(tài).由于探測場的強度比控制場和輔助場都小得多，可使用漸進展開:Ωp=來求解方程，其中ε是一個正比于Ωp/Ωc的小量.將漸進展開式代入Maxwell-Bloch 方程(2)和(3)，可對方程逐級求解[44，45].注意到在首級(O(1))近似下，探測場約為零，且處于里德伯態(tài)|4〉 上的原子布居數(shù)也近似為零，方程(2)和(3)的零級解為

描述探測場傳播的非線性方程可以在三級(O(ε3))近似下得到.為了方便后面的討論，將探測場傳播方程寫成無量綱的形式:

其中，探測場的無量綱振幅U=Ωp/Ωp0(Ωp0是探測場的特征半拉比頻率)，無量綱坐標ζ=z/Ldiff是特征衍射長度;w0是探測光束的束腰半徑)，以及 (ξ，ξ′)=(x，x′)/w0.無量綱的光學勢V(ξ) 可表達為

(系數(shù)Aj，Bj可由具體的系統(tǒng)參數(shù)確定[44，45]，η=y/w0.在方程(5)的推導中，為了進一步簡化問題，假設輸入探測場在y和z方向上的空間分布遠大于原子的里德伯-里德伯相互作用范圍(該范圍可用里德伯阻塞半徑來刻畫，見下面方程(9)中的定義).因此，非局域非線性響應函數(shù)在y，z方向上可近似為局域響應函數(shù)，僅保留x方向上的非局域性.其次，方程(5)中忽略了由于光子-原子相互作用引起的克爾非線性，這是因為在通常的原子密度下，光子-原子相互作用引起的克爾非線性比里德伯-里德伯相互作用引起的克爾非線性要小好幾個數(shù)量級(前者與原子密度成正比;后者與原子密度的平方成正比).

為了更好地比較各種不同效應的重要性，下面以處于低溫的鍶87 (87Sr) 原子氣體為例，原子能級選為|1〉=|5s21S0，F(xiàn)=9/2，mF=-1/2〉，|2〉=|5s21S0，F(xiàn)=9/2，mF=3/2〉，|3〉=|5s5p1P1〉，以及|4〉=|5sns1S0〉 .主量子數(shù)選為n=60，對應的系統(tǒng)色散系數(shù)C6≈2π×10.9 GHz·μ m6;非相干泵浦率取為Γ21≈2π×0.1 MHz;自發(fā)輻射衰減率分別 為Γ2=Γ12≈2π×0.1 MHz，Γ3=Γ13+Γ23≈2π×16 MHz (Γ13≈Γ23)，以 及Γ4=Γ34≈2π×16.7 kHz;原子氣體密度取為Na=1.0×1012cm-3;失諧量分別為Δ2=-1.186 MHz，Δ3=50 MHz，以及Δ4=-100 MHz;控制場以及輔助場的半拉比頻率 分別取 為Ωc=Ωc0=15 MHz 以 及Ωa=Ωa0=10 MHz.從以上參數(shù)的取值可以看到遠共振耦合條件可以得到滿足，即|Δ3-Δ4|/Ωa=15?1 .選取探測光在x方向上的束腰半徑為w0=10 μ m(光在y方向上的束腰半徑大于w0，即探測光的橫截面是橢圓形的，短軸在x方向上，長軸在y方向上)，可以得到系統(tǒng)的衍射特征長度為Ldiff=1.4 mm.

使用以上參數(shù)并進一步選取Ωp0≈0.1 MHz，可 以得到非線性響應函數(shù)的近似表達式:

其中里德堡阻塞半徑Rb為

δEIT=|Ωa|2/|Δ3-Δ4|表示EIT 透明窗口的頻率寬度.注意，方程(8)所給出的非線性響應函數(shù)是歸一化的，即∫dξW(ξ)≈1，這與局域極限情況下W(ξ′-ξ)→δ(ξ′-ξ) 保持一致.由于鍶87 原子具有相互吸引的里德伯-里德伯相互作用 (C6＞0)，因此可以得到 R e(W)＞0，即方程(5) 中的克爾非線性是自聚焦的，這對于亮孤子的形成至關重要.圖1(c)給出了非線性響應函數(shù)的實部和虛部在x方向上的分布，即Re(W(ξ))和Im(W(ξ)).從圖中可以看到，雖然W是個復數(shù)，但是其實部大虛部一個數(shù)量級以上，因此W可近似地視為實數(shù).此外，為了更好地顯示克爾非線性的非局域程度，定義非局域度σ=Rb/w0.由上面的參數(shù)可得非局域度σ≈0.56，值得注意的是σ的控制可以通過改變里德伯阻塞半徑Rb或探測光束腰半徑w0來實現(xiàn).

到目前為止，方程(5)中的光學勢并不依賴于空間位置，為了使光學勢依賴于空間坐標并滿足周期性和PT 對稱，令控制場和輔助場都具有空間分布.事實上，本文所要實現(xiàn)的光學勢(目標勢)具有如下形式:

其中V0是常數(shù)，V1(V2)是光學勢空間調制部分實部(虛部)的深度，K是空間調制的頻率(周期為Λ=2πw0/K);分布函數(shù)f(ζ) 寫為

表示光學勢空間調制部分在z方向上的范圍，其中ζon，ζoff和ζs分別表示勢的調制部分打開和關閉的位置以及打開和關閉所需要的距離.光學勢的空間調制部分所起的作用相當于EIG，而且滿足條件V(ξ，ζ)=V(-ξ，ζ)*，即V(ξ，ζ) 在x方向具 有PT 對稱.特別地，在線性情況下(即不考慮克爾非線性項時)，當V2＞V1時，EIG 發(fā)生自發(fā)PT 對稱破缺.

有了上面給出的系統(tǒng)參數(shù)，目標光學勢(10)式可以通過設計控制場和輔助場的空間分布來實現(xiàn).通過使用文獻[46，47]中提出的方法，能夠得到控制場和輔助場的具體形式取為從(12)式可以看到，當ζon≤ζ≤ζoff時(即在光學勢的空間調制部分或EIG 區(qū)域內)，控制場和輔助場的半拉比頻率分別在Ωc0和Ωa0附近變化.在具體的實驗中，控制場和輔助場的空間分布可以通過在EIG 區(qū)域內采用具有駐波形式的額外的控制場和輔助場來實現(xiàn)，即需要在EIG 區(qū)域內沿x方向額外入射一對相向傳播的控制場和一對相向傳播的輔助場(見圖1(b) 中的以及).

事實上，控制場和輔助場的空間分布也會使方程(5)中的克爾非線性項產生空間調制.然而，考慮到克爾非線性與線性折射率和增益/損耗相比是高階效應，并且克爾非線性的空間調制部分遠小于空間不變的部分，因此可以忽略其空間調制部分，將其視為一個空間不變的量.

圖2(a)給出了EIG 實部和虛部在x方向上的分布，即Re(V(ξ))和Im(V(ξ))，調制系數(shù)取為V1=V2=0.01 .可以看到EIG 的實部在x方向上是偶對稱的，虛部在x方向上是奇對稱的，符合PT 對稱的要求.圖2(b)給出了控制場和輔助場在x方向上的分布，即Ωc(ξ) 和Ωa(ξ) .

圖2 EIG 以及控制場和輔助場的空間分布 (a) EIG 的實部和虛部在 x 方向上的分布，Re(V (ξ))(紅色實線表示)和Im(V (ξ))(藍色虛線表示);(b) 控制場和輔助場在 x 方向上的分布，Ωc(ξ)/Ωc0 (紅色實線表示)和 Ω a(ξ)/Ωa0 (藍色虛線表示).圖中，橫坐標為 ξ=x/w0，調制系數(shù)取值為 V1=V2=0.01，其他系統(tǒng)參數(shù)在 文中給出Fig.2.Spatial distributions of the optical potential and the control and assistant fields:(a) Real and imaginary parts of the optical potential，Re (V) (solid red line) and Im (V) (blue dashed line)，as functions of ξ=x/w0 ;(b) half Rabi frequencies of the control and assistant fields，Ωc (red solid line) and Ωa (blue dashed line)，as functions of ξ=x/w0 .In all panels，V1=V2=0.01 .Other system parameters are given in the text.

3 光孤子偏折與導引

討論完探測場傳播方程(5)并得到目標光學勢(10)式后，本節(jié)繼續(xù)研究探測場如何形成弱光孤子以及如何在滿足PT 對稱的EIG 作用下發(fā)生孤子的偏折.本文研究的物理模型可分成三個部分:第一部分(0＜ζ ＜ζon)和第三部分(ζoff＜ζ ＜L;L表示介質的總長度)都是由光學勢為常數(shù)的原子氣體組成的，中間部分 (ζon≤ζ≤ζon) 原子氣體的折射率和增益/吸收特性同時滿足周期性和PT 對稱性，構成PT 對稱的EIG.當探測場未到達光柵區(qū)域，即 0＜ζ ＜ζon時，方程(5)具有亮孤子解.特別地，當克爾非線性的非局域度趨向于零(σ→0)，即原子的克爾非線性為局域克爾非線性時，方程(5)退化為標準的非線性薛定諤方程，亮孤子解的形式為

其中A是孤子的振幅，ξ0表示孤子的中心位置.當克爾非線性的非局域度趨向于無窮大(σ→∞)，即原子的克爾非線性為強非局域時，方程(5)中的非線性項可近似為簡諧勢[48]:

在這種情況下，方程退化為變系數(shù)線性方程，孤子解可寫為

一般情況下，克爾非線性的非局域度大于零(σ＞0)但不是很大，這種情況下無法找到方程的嚴格解析解，只能使用數(shù)值方法來進行研究.

為了進一步簡化問題，假設輸入探測場的形式為U(∫ξ，0)=Asech(Aξ)eiV0，因此輸入光的功率為.同時，固定EIG 的折射率 (實部) 為V1=0.1，EIG 的厚度為ζon-ζoff=1(對應1.4 mm)，以及介質的總長度L=10 (對應1.4 cm)，僅僅改變輸入探測場的振幅A，EIG 的增益/損耗系數(shù) (虛部)V2，EIG 的周期 2 π/K，以及克爾非線性的非局域度σ，以此研究探測光經過光柵后發(fā)生的偏折程度與這些參數(shù)之間的關系.為了更好地表征探測光的偏折程度，定義偏折角θ，即探測光發(fā)生偏折后的傳播方向與原來的傳播方向(z方向) 之間的夾角為

其中 Δξ是探測光發(fā)生偏折并傳播一段距離后中心位置在x方向上發(fā)生的移動，Δζ是偏折后探測光傳播的距離在z方向上的投影.偏折角θ越大，表示探測場發(fā)生偏折的程度越大.

圖3 給出了取不同輸入探測場振幅A時探測光的傳播結果，其他參數(shù)固定為V2=0，K=1，以及σ=0 (對應局 域克爾 非線性).結果顯示，當A=0.1 (P0=0.02) 時，由于輸入探測場的振幅太小，無法產生足夠的非線性來平衡衍射效應，探測光在到達光柵前已經發(fā)生顯著的擴散，無法形成孤子(見圖3(a)).當A=1 (P=2) 時，輸入探測場能夠產生足夠的非線性來平衡衍射效應，探測光在到達光柵前能夠形成孤子并穩(wěn)定地傳播(見圖3(b)).在后面的研究中，將鎖定A=1，即只研究輸入探測場能形成穩(wěn)定孤子的情況.

值得注意的是，由于里德伯-EIT 系統(tǒng)具有很強的克爾非線性 (較普通EIT 系統(tǒng)的克爾非線性效應大4—5 個數(shù)量級，參考文獻[44，45]，探測場僅需極小的輸入能量就能產生光孤子.為了估計產生圖3(b)所示的孤子所需的輸入能量，計算了探測場的能流密度矢量(坡印廷矢量)，得到:

圖3 改變輸入探測場振幅時探測光的傳播結果 (a) 輸入探測場振幅 A=0.1 (輸入探測場能量 P0=0.02);(b) A=1 (P0=2).其他參數(shù)取為 V2=0，K=1，以及 σ=0 (對應于局域克爾非線性).圖(a)和圖(b)中藍色虛線和紅色實線分別表示探測場的輸入(z=0)與輸出(z=10Ldiff=1.4 cm)波形.與圖(a)和圖(b)對應的傳播過程分別在圖(a1)和圖(b1)中顯示，圖(a1)和圖(b1)中的垂直白色虛線表示EIG 所在的區(qū)域Fig.3.Propagation of probe laser field with different input amplitude:(a) A=0.1 (P0=0.02);(b) A=1 (P0=2).Other system parameters are chosen as V2=0，K=1，and σ=0 .Panel (a1) and panel (b1) show propagation results corresponding to panel (a) and panel (b)，respectively.The vertical white dashed lines in panel (a1) and panel (b1) represent the EIG regions.

其中np表示原子氣體對于探測場的折射率，約等于1;S0表示探測光束的橫截面積，約為 1 04μm2.

當EIG 的增益/損耗系數(shù)不為零時，探測光孤子經過該EIG 會發(fā)生偏折現(xiàn)象.圖4 給出了探測光孤子隨EIG 增益/損耗系數(shù)V2增大引起的偏折，其他參數(shù)固定為K=1 以及σ=0 .從圖4 給出的結果可以發(fā)現(xiàn)，當V2=0 時，探測光孤子在經過光柵后不發(fā)生偏折(見圖4(a)).隨著V2從零開始慢慢增大，孤子在經過光柵后發(fā)生越來越明顯的偏折，且偏折角θ逐漸變大(見圖4(b)和 圖4(c)).此外，當EIG 的PT 對稱性還未破缺(V2＜V1)時，經過光柵后的孤子與到達光柵前的孤子相比能量有微小的衰減;反之，當EIG 的PT 對稱性發(fā)生破缺(V2＞V1)時，經過光柵后的孤子與到達光柵前的孤子相比能量有顯著的增強，且PT 對稱的破缺程度越深，孤子能量增加的程度也越大.值得注意的是，由于系統(tǒng)的克爾非線性較強，光柵的PT 對稱破缺點較線性情況下發(fā)生了一定的偏移[28，49].當V2=V1時，PT 對稱已經發(fā)生破缺，因此EIG 的增益/損耗不為零，導致孤子經過EIG 后光強的峰值發(fā)生了近3 倍的增加(見圖4(b)).從圖4(c1)可以看到，孤子在經過光柵后不僅發(fā)生了較大的偏折，還出現(xiàn)了光強的周期性振蕩(呼吸現(xiàn)象)，這是由于經過光柵后的孤子獲得了較大的能量增強.

圖4 探測光 孤子隨EIG 增 益/吸收系 數(shù)增大 引起的偏折 (a) 增 益/吸收系 數(shù) V2=0.5，偏折角 θ ≈arctan 0.4 ;(b) V2=1，θ ≈arctan 0.7 ;(c) V2=1.5，θ ≈arctan 0.9 .其 他參數(shù)固定為 K=1 以 及 σ=0 .圖(a)—(c)中藍色虛 線和紅 色實線分別表 示探測場的輸入(z=0)與輸出(z=10Ldiff=1.4 cm)波形;與圖(a)—(c)對應的傳播過程分別在圖(a1)—(c1)中顯示，圖(a1)—(c1)中的垂直白色虛線表示EIG 所在的區(qū)域Fig.4.Deflection of the probe soliton due to the increase of gain/loss coefficient of the EIG:(a) V2=0.5，the deflection angle θ ≈arctan 0.4 ;(b) V2=1，the deflection angle θ ≈arctan 0.7 ;(c) V2=1.5，the deflection angle θ ≈arctan 0.9 .Other system parameters are chosen as K=1 and σ=0 .Panels (a1)—(c1) show propagation results corresponding to panel (a)—(c)，respectively.The vertical white dashed lines in panels (a1)—(c1) represent the EIG regions.

與改變EIG 的增益/損耗系數(shù)相比，改變EIG周期所引起的孤子偏折變化更加顯著.圖5 給出了改變EIG 周期 (2 π/K) 引起的探測光孤子的偏折變化，其他參數(shù)固定為V2=1 以及σ=0 .從圖5 給出的結果可以看到，當EIG 的周期趨于無窮大，即K →0 時，孤子在經過光柵后不發(fā)生偏折.這是因為當K=0，EIG 的增益/損耗 (虛部) 將為零(見圖5(a)).隨著EIG 周期逐漸減小(K逐漸增大)，孤子在經過光柵后開始發(fā)生偏折，且偏折角θ逐漸變大.當EIG 周期約為 π (K≈2) 時，θ達到最大值(見圖5(b)).此后，偏折角θ隨著EIG 周期的繼續(xù)減小(K的繼續(xù)增大)反而逐漸變小(見圖5(c)).這是由于EIG 的折射率和增益/損耗變化過快時，可以對其做平均且平均值為零，此時EIG 沒有任何貢獻.

圖5 改變EIG 周期引起的探測光孤子的偏折變化 (a) EIG 周期為 4 π (K=0.5)，偏折角 θ ≈arctan 0.2 ;(b) EIG 周期為 π (K ≈2)，θ ≈arctan 1.3 ;(c) EIG 周期為 π/4 (K=8)，θ ≈0 .其他參數(shù)固定為 V2=1 以及 σ=0 .圖(a)—(c)中藍色虛線 和紅色實線分別表示探測場的輸入(z=0)與輸出(z=10Ldiff=1.4 cm)波形.與圖(a)—(c)對應的傳播過程分別在圖(a1)—(c1) 中顯示，圖(a1)—(c1)中的垂直白色虛線表示EIG 所在的區(qū)域Fig.5.Deflection of the probe soliton due to the change of the EIG period:(a) EIG period is 4 π (K=0.5)，the deflection angle θ ≈arctan 0.2 ;(b) EIG period is π (K=2)，the deflection angle θ ≈arctan 1.3 ;(c) EIG period is π/4 (K=8)，the deflection angle θ ≈0 .Other system parameters are chosen as V2=1 and σ=0 .Panels (a1)—(c1) show propagation results corresponding to panels (a)—(c)，respectively.The vertical white dashed lines in panels (a1)—(c1) represent the EIG regions.

改變里德伯原子的克爾非線性非局域度能夠改變探測光孤子的偏折狀態(tài).圖6 給出了克爾非線性非局域度σ發(fā)生改變時對孤子偏折帶來的影響，其他參數(shù)固定為V2=1 以及K=1 .從圖6給出的結果可以看到，當非局域度σ的取值較小時(如σ=1，對應弱非局域情況，見圖6(a))，孤子發(fā)生偏折的情況和σ=0 時的結果類似(如σ=1，見圖6(a)).然而，當非局域度σ的取值較大時(如σ=10，對應強非局域情況，見圖6(b))，孤子在遇到光柵前會發(fā)生一定程度的擴散，這是因為當σ較大時方程(5) 中的克爾非線性可近似為簡諧勢，所以初始解在傳播過程中將從正割雙曲函數(shù)變?yōu)楦咚购瘮?shù)(見方程(15))，從而發(fā)生擴散.擴散后的孤子寬度將覆蓋幾個光柵周期，因此會發(fā)生分裂并出現(xiàn)多光束偏折的現(xiàn)象.同時，發(fā)生偏折后的每束光能量較小，無法產生足夠的非線性來平衡衍射效應，因此在傳播過程中會進一步擴散.

圖6 克爾非線性非局域度發(fā)生改變時對孤子偏折帶來的影響 (a) 非局域度 σ=1 (弱非局域情況)，偏折角 θ ≈arctan 0.7 ;(b) σ=10 (強非局域情況)，θ 不變.其他參數(shù)固定為 V2=1 以及 K=1 .圖(a)和圖(b)中藍色虛線和紅色實線分別表示探測場的輸入(z=0)與輸出(z=10Ldiff=1.4 cm) 波形.與圖(a)和圖(b)對應的傳播過程分別在圖(a1)和圖(b1)中顯示，圖(a1)和圖(b1)中的垂直白色虛線表示EIG 所在的區(qū)域Fig.6.Deflection of the probe soliton due to the change of nonlocality degree of the Kerr nonlinearity:(a) σ=1 (weak nonlocality)，the deflection angle θ ≈arctan 0.7 ;(b) σ=10 (strong nonlocality)，the deflection angle is the same.Other system parameters are chosen as V2=1 and K=0 .Panels (a1) and (b1) show propagation results corresponding to panels (a) and (b)，respectively.The vertical white dashed lines in panels (a1) and (b1) represent the EIG regions.

通過以上分析可以發(fā)現(xiàn)，本文提出的里德伯-EIT 系統(tǒng)可用來有效地操控孤子的傳輸方向.與其他系統(tǒng)相比，里德堡-EIT 系統(tǒng)中形成光孤子所需的輸入光能量更低 (大約僅為幾個納瓦)，且能夠用于操控孤子傳輸方向的參數(shù)也更多 (包括使用EIG 的增益/損耗系數(shù)V2，EIG 的周期 2 π/K，克爾非線性的非局域度σ)，操控更加靈活，因此具有更加廣闊的應用前景.最后，圖7 給出了孤子偏折角θ與EIG 增益/損耗系數(shù)V2和周期 2 π/K的依賴關系.改變非局域度σ所引起的θ變化不大，因此在圖7 中沒有顯示.

圖7 孤子偏折角與EIG 的增益/損耗系數(shù)以及周期的依賴關系 (a) 偏折角 θ 與EIG 的增益/損耗系數(shù) V2 的依賴關系，其他參數(shù)固定為 K=1 以 及 σ=0 ;(b) θ 與EIG 周 期 2 π/K 的依賴關系，其他參數(shù)固 定為 V2=1 以及 σ=0 .圖(a)和 圖(b)中 的紅 色圓點表示數(shù)值結果，藍色虛線表示擬合結果Fig.7.Deflection angle versus the gain/loss coefficient and period of the EIG:(a) The deflection angle θ as a function of the gain/loss coefficient V2 .Other system parameters are chosen as K=1 and σ=0 .(b) θ as a function of the period 2 π/K .Other system parameters are chosen as V2=1 and σ=0 .The solid red circles in panels (a) and (b) represent the numerical result while the blue dashed lines are the fit ones.

4 結論

本文在里德伯-EIT 系統(tǒng)中實現(xiàn)了具有PT 對稱的EIG，并研究了系統(tǒng)中探測光場在到達EIG前形成孤子的過程以及經過EIG 時引起的偏折現(xiàn)象.我們發(fā)現(xiàn)，由于里德伯-EIT 系統(tǒng)具有很強的非線性光學效應 (可比通常的非線性介質大10 個數(shù)量級以上)，因此只需要很少的輸入探測光能量(幾個納瓦的輸入能量)就能形成穩(wěn)定的光孤子.另外還發(fā)現(xiàn)探測光孤子的偏折程度會隨著EIG 增益/損耗系數(shù)的增加而增加，并且會在某個特定的EIG 周期達到峰值.改變里德伯原子的克爾非線性非局域度也可以改變孤子的偏折狀態(tài).特別地，當克爾非線性非局域度增大時會發(fā)生多光束偏折以及光束的擴散.因此，利用文中提出的里德伯-EIT系統(tǒng)可實現(xiàn)對弱光孤子偏折的主動操控.本文的研究結果可為未來利用PT 對稱EIG 實現(xiàn)全光控制和光信息處理等相關應用提供一定的理論依據(jù).