無噪線性放大的連續變量量子隱形傳態*

文鎮南 易有根 徐效文? 郭迎

1) (中南大學物理與電子學院，長沙 410083)

2) (中南大學自動化學院，長沙 410083)

1 引言

量子隱形傳態是量子通信的一個重要部分，它應用量子力學的糾纏特性，能在不傳輸物理載體本身的情況下，將一個未知的量子態傳送到遙遠的地方，實現量子態的空間傳輸.近年來，量子隱形傳態技術取得了很大的進展，主要可以分為離散變量量子隱形傳態[1-3](discrete-variable quantum teleportation，DVQT)和連續變量量子隱形傳態[4-6](continuous-variable quantum teleportation，CVQT)兩大類.1993 年，Bennett 等[1]開創性地提出了DVQT協議，打開了量子隱形傳態研究的大門，也使得量子隱形傳態成為了量子信息科學中最有趣、最具潛力的領域之一.之后，大量學者對DVQT 進行了相關的理論分析和實驗研究，在光纖、自由空間、星地鏈路等傳輸環境下取得了重大突破[7-9].雖然光量子比特已被用做實現長距離量子隱形傳態的重要載體，但是精確的單光子源制備非常困難，而且單光子探測器造價高昂，目前只適用于科學研究領域，不能實現大面積的商用.幸運的是，在DVQT協議提出后不久，量子隱形傳態就被拓展到了連續變量系統中[4，10，11]，并且得到了多位學者的實驗驗證[12-14].不同于DVQT，在CVQT 協議中，量子信號制備過程簡單，相干態、壓縮態等量子態均可以作為信息的載體，CVQT 所使用的平衡零差探測技術是經典光通信中常用的技術，探測技術成熟，探測效率較高.此外，CVQT 與經典光通信系統有更好的兼容性，在大規模商用方面更具優勢.

在CVQT 中，最著名的協議是Braunstein 和Kimble[4]在1998 年提出的，被稱為BK 協議.發送方 (Alice) 利用共享的雙模壓縮真空態作為量子信道，將未知的量子態轉移到接收方 (Bob)，并通過經典通信將測量結果發送到 Bob 端.當量子信道是一個理想的無限壓縮態時，Bob 能得到由Alice傳送給他的量子態的精確副本.然而，這是非常不現實的，因為一方面，理想的無限壓縮狀態在物理上是不可實現的;另一方面，在實際情況下，量子系統將不可避免地與周圍環境相互作用，這些相互作用通常會導致量子相干性和糾纏性的退化，從而降低CVQT 協議的性能.因此，在有限壓縮、損耗信道等現實條件下的CVQT 是值得研究的.1998年，Furusawa 等[12]實驗完成了有限壓縮條件下光學相干態的CVQT，保真度達到0.58±0.02，首次實現無條件量子隱形傳態.2005 年，Takei 等[15，16]實驗驗證了壓縮態的CVQT，并且實現了高保真度的相干態CVQT，保真度達到0.70±0.02.為進一步提升協議性能，Dell’Anno 等[17，18]在2007 年提出利用非高斯糾纏源實現CVQT，之后又對該方案的非理想情況進行了全面研究.針對實際環境對CVQT 的影響問題，He 等[19]定量地研究了不同環境下連續變量糾纏變化對量子隱形傳態的影響，Hu 等[20]分析了在現實環境中通過參數調整獲得CVQT 的最佳保真度的方法.2018 年，Huo 等[6]首次實驗完成了光纖信道的確定性CVQT，實際保真度達到0.62±0.03.之后，有學者對大氣信道和星地鏈路的CVQT 進行了研究[21-23].除了傳統的CVQT 方案研究，還有學者從其他角度提出新的CVQT 方案.2020 年，Liu 等[24]將軌道角動量(OAM)應用到CVQT 中，實現了多光模的并行量子隱形傳態.Chen 和Ou[25]提出利用參數放大器替代分束器來完成貝爾測量，可以有效地補償探測損耗，使得在探測損耗較大時仍然保持較高的保真度.2021 年，Asjad 等[26]提出一種利用光-微波等離子體復合石墨烯波導系統制備連續變量糾纏對的方法，并將制備的糾纏對用于建立CVQT 的量子信道，可以在一定程度提高隱形傳態的保真度.同年，Fedorov 等[27]在宏觀距離上實驗實現了相干微波態的量子隱形傳態，保真度達到0.689±0.004，為無條件安全的微波量子通信開辟了道路.2022年，Zhao 等[28]利用1550 nm 的EPR 糾纏源實驗實現了單模光纖中的實時確定性量子隱形傳態，為建立基于光纖的城域量子網絡提供了一種新的方案.然而，這些CVQT 實驗都是在實驗室中進行的，傳輸距離非常短.大多學者所提出的CVQT 方案都聚焦于保真度的性能分析與提升，而很少考慮實際的傳輸距離.目前，傳輸距離較短是阻礙CVQT的實際應用的重要原因，因此，如何提升其傳輸距離是亟待解決的問題.

為了提升實際環境下CVQT 方案的傳輸距離，本文提出基于無噪線性放大器(noiseless linear amplifier，NLA)的CVQT 方案，即在原始CVQT方案中插入NLA 對損耗糾纏態進行放大.一方面，NLA 的加入能夠補償信道損耗的衰減影響，相當于提升了信道的透過率;另一方面，NLA 對信道的過噪聲影響極小，增加的過噪聲對系統性能的影響可以忽略不計.本文對所提方案進行了數值仿真，仿真結果表明本文所提方案可以有效提升CVQT系統的傳輸距離，讓CVQT 方案具有更廣的應用范圍.本文具體安排如下:第2 節詳細闡述CVQT協議和NLA，包括在光纖信道中基于BK 協議的CVQT 方案，以及加入NLA 之后量子態和信道參數的變化;第3 節給出了本文方案的性能分析，考慮了不同損耗信道和糾纏源的方案性能;第4 節對全文進行總結.

2 CVQT 協議與無噪線性放大器

2.1 基于BK 協議的CVQT 方案

圖1 為糾纏源置于通信雙方之間的CVQT 方案圖，方案中通信雙方分別是Alice 和Bob，未知量子態通過量子信道從Alice 端傳送到Bob 端的過程即為量子隱形傳態.在本方案中被用于建立Alice 和Bob 之間量子信道的糾纏源為雙模壓縮真空態，也被稱為EPR 態.EPR 態由第三方Charlie制備，包含A0和B0兩個模，分別經過透過率為T，過噪聲為ε的損耗光纖信道發送至通信雙方.由于光纖的固有傳輸損耗，光纖的透過率隨傳輸距離的增加而減小，表示為T=10-κD/10，其中，κ=0.2 dB/km 為光纖損耗系數，D為傳輸距離.在Alice與Bob 接收到EPR 態的模后，雙方對接收模進行NLA 放大，放大增益為g，分別得到模A1和B1.在發送端，Alice 通過50:50 的分束器將未知輸入態ρin與A1模耦合，再利用兩套平衡零差探測器對分束器的兩個輸出模進行測量，得到關于正交振幅分量x和正交相位分量p的測量結果 (XM，PM)[14].由于EPR 態的糾纏特性，Alice 的測量使得輸入態被投影到B1模，且二者之間只存在取決于測量結果的相空間位移偏差.因此，Alice 將測量結果通過經典信道發送至Bob，Bob 根據測量結果，利用一個振幅調制器和一個相位調制器對B1模進行位移操作 (DX，DP)，最終得到輸入態的副本ρout.至此，輸入態在自身未被發送的情況下，完成了量子態從Alice 端到Bob 端的轉移，實現了量子隱形傳態過程.需要注意的是，這一過程并非是對輸入態ρin的克隆，因為Alice 對ρin進行的Bell 測量會破壞ρin本身，因此該過程不違背不可隆定理，而且該過程需要經典通信的參與，并非是超光速通信，不違背相對論原理.

圖1 無噪線性放大CVQT 方案示意圖.糾纏源EPR 態由第三方Charlie 制備，模A0 和B0 分別經過光纖損耗信道傳輸至Alice 和Bob 端，Alice 和Bob 利用無噪線性放大器對接收模進行放大.LO，本振光;BS，分束器;g，無噪線性放大器增益系數Fig.1.Schematic of the NLA-based CVQT scheme.The entangled source EPR state is prepared by the third party Charlie.The modes A0 and B0 are transmitted to Alice and Bob through the fiber lossy channel.At the receiver，Alice and Bob use noiseless linear amplifiers for performance improvement.LO，local oscillator;BS，beam splitter;g，gain of NLA.

眾所周知，評估隱形傳態方案性能的重要指標是保真度[29]，它表征了輸入態ρin與輸出態ρout之間的接近程度，定義為

其中tr 為求跡算符.當輸入態為純態時，保真度可以由輸入態與輸出態的特征函數的疊加積分計算得到，即(1)式可以寫為

其中χin(ξ) 和χout(ξ) 是分別是輸入態和輸出態的特征函數，在本文的方案中，考慮相干態作為輸入態.由于隱形傳態在位移變換下是不變的，也就是說具有相同協方差矩陣但不同相干分量的所有狀態都以相同的保真度進行隱形傳態[30]，因此，選擇相干振幅為零的真空態作為計算的輸入態，特征函數為

輸出態的特征函數可以通過輸入態特征函數和糾纏源特征函數計算得到，即χout(ξ)=χin(ξ)χEPR(ξ*，ξ) .EPR 態的特征函數為

其中α和β均為復變量;V為EPR 態的調制方差，用糾纏源固有參數λ表示為當EPR 態經過損耗信道后，特征函數改變為

從(6)式可以看到，CVQT 系統保真度主要受光纖信道透過率T、過噪聲ε以及糾纏源固有參數λ影響.

2.2 無噪線性放大器

系統保真度受光纖透過率影響，隨著傳輸距離的增加，光纖損耗增大，透過率減小，這是降低系統性能的主要因素.在量子密碼領域，針對信道損耗的問題，已有一些工作利用NLA 來補償損耗，提升協議的最大傳輸距離[31，32].因此，考慮在CVQT中引入NLA 來放大損耗的糾纏態以削減信道損耗帶來的衰減影響，從而提高系統的性能.

在圖1 所示糾纏源置于通信雙方中間的CVQT方案中，收發兩端都插入了一個NLA，由于NLA 的輸出保持在高斯范圍內，可以對經過損耗信道的EPR 態進行參數等效[33]，即EPR 態|λ〉經過透過率為Ti，過噪聲為εi的損耗信道后再經增益為gi的NLA 放大，等效于EPR 態|ζ〉經過透過率為，過噪聲為的損耗信道，其中i∈{1，2}.參數關系式為

基于各參數的物理意義，等效參數需要滿足以下條件:

根據(7)式可以計算得出，要滿足上述條件，EPR 態參數λ與NLA 的增益系數g需滿足(9)式和(10)式且過噪聲ε＜2 .

經過NLA 放大后，EPR 態對應特征函數為

3 性能分析與討論

本節從保真度和傳輸距離的角度分析所提出方案的性能提升，根據信道損耗的不同，主要分兩種情況進行討論.第一種是對稱損耗信道情況，如圖1 所示，在這個方案中糾纏源置于Alice 和Bob之間，需要第三方Charlie 參與糾纏源的制備與發送，雖然增加系統復雜度，但有利于提升系統最大傳輸距離.有研究證明關聯的損耗信道特性有利于保持高斯糾纏特性[34]，因此，本節將討論對稱損耗信道情況，即T1=T2=T，ε1=ε2=ε.第二種是單邊損耗信道情況，可以視為第一種情況的簡化，在這種情況下，無需第三方Charlie 介入，EPR 態的制備與發送由通信一方完成，可以降低系統復雜度.本文考慮由Alice 制備EPR 糾纏源，Alice 保留模A0，并將模B0發送至Bob，此時，T1=1，T2=T，ε1=0，ε2=ε.

在分析系統性能之前，首先討論增益系數g的選取.因為在基于NLA 的CVQT 方案中，NLA 的增益系數是一個影響系統性能的重要參數.根據(9)式和(10)式可以知道，糾纏源參數λ、信道透過率T和過噪聲ε的值決定了增益系數的可選擇范圍，且存在最大增益系數gmax.在本文中，以糾纏源參數取0.5 和0.7 兩種情況為例進行討論，過噪聲取固定值0.05.圖2 給出了在對稱損耗信道和單邊損耗信道情況下，gmax隨不同傳輸距離的取值變化.從圖2 中的結果可以看出，最大增益系數取值隨著傳輸距離的增加而增大，且單邊損耗信道情況下最大增益系數大于對稱損耗信道情況.在損耗相同的情況下，λ越大，最大增益系數越小.我們還發現，在短傳輸距離區域，最大增益系數取值很小，這為選取適當的增益系數提供了依據.

圖2 不同損耗信道中NLA 增益系數隨傳輸距離的變化關系Fig.2.The gain coefficient of NLA versus the transmission distance in different lossy channels.

接下來將分析討論對稱損耗信道和單邊損耗信道情況下，基于NLA 的CVQT 系統性能.對于單邊損耗信道情況，圖3 給出了不同壓縮水平糾纏源和不同NLA 增益下系統保真度隨傳輸距離變化的仿真結果，其中紅色實線表示g取最大值的結果，虛線代表g取其他值的情形，作為比較，黑色實線表示原始方案性能.此外，圖中藍色實線代表相干態CVQT 的經典界限，即Fclassical=0.5，因為利用無糾纏經典信道傳送相干態所能達到的保真度為0.5[35].從圖3 中的結果可以看出，NLA 在各糾纏源情況下均可以提升系統的保真度和最大傳輸距離，且增益系數g取值越大，提升效果越顯著.圖中填充區域表示取最大增益系數時所提方案相比原始方案的性能提升幅度，比較圖3(a)和圖3(b)的填充區域面積可以發現，NLA 對系統的性能提升作用受糾纏源影響，λ較小時提升作用越大.這是因為，一方面，較小的λ允許更大的增益，更大增益的NLA 對信道損耗的補償作用也越顯著;另一方面，λ越大，短距離區域系統保真度越大，使得NLA的提升水平相對原始方案來說變小了.需要注意的是，盡管更大的NLA 增益可以對系統的保真度和傳輸距離有更顯著的提升作用，但NLA 的作用是概率成功的，且成功概率與增益系數值成負相關，因此，所選取的增益系數不能過大.

圖3 單邊損耗信道情況下保真度隨傳輸距離的變化關系 (a) EPR 態參數 λ=0.5，對應NLA 增益系數 g ∈{2.3，2.0，1.7} ;(b) EPR 態參數 λ=0.7，對應NLA 增益系 數 g ∈{1.5，1.3，1.1}Fig.3.The fidelity versus the transmission distance in single lossy channel case:(a) The EPR parameter λ=0.5，the gain of NLA g ∈{2.3，2.0，1.7} ;(b) the EPR parameter λ=0.7，the gain of NLA g ∈{1.5，1.3，1.1} .

對于對稱損耗信道情況，同樣分析了不同壓縮水平糾纏源和不同NLA 增益下系統保真度隨傳輸距離的變化，圖4 是對應的仿真結果.與單邊損耗信道情況相同，NLA 在不同λ情況下均可以提升CVQT 系統性能，且λ較小時提升效果更為顯著，在相同λ值情況下，g越大保真度越高.與之不同的是，對稱損耗信道方案具有更遠的傳輸距離，這是因為對稱的損耗信道在保持糾纏源的高斯糾纏特性的同時，實現了雙邊傳輸，Alice 與Bob 之間的傳輸距離等于雙方到Charlie 的距離之和.需要注意的是，這種情況下信道是對稱分布的，且需要第三方Charlie 參與通信，傳輸距離大幅提升的同時也增加了系統復雜度.我們還發現，在對稱損耗信道方案中，保真度始終保持在不低于經典界限的水平，這在單邊損耗信道情況下是沒有的.此外，對比圖4(a)和圖4(b)中g=1.2 的結果可以發現，在相同NLA 增益情況下，增大λ值可以獲得更高的保真度.

圖4 對稱損耗信道情況下保真度隨傳輸距離的變化關系 (a) EPR 態參數 λ=0.5，對應NLA 增益系數 g ∈{1.8，1.5，1.2} ;(b) EPR 態參數 λ=0.7，對應NLA 增益系 數 g ∈{1.4，1.3，1.2} .Fig.4.The fidelity versus the transmission distance in symmetrical lossy channel case:(a) The EPR parameter λ=0.5，the gain of NLA g ∈{1.8，1.5，1.2} ;(b) the EPR parameter λ=0.7，the gain of NLA g ∈{1.4，1.3，1.2} .

從(2)式可以看出，輸出態與輸入態的保真度可以由二者的特征函數表征，其特征函數分布越接近，則保真度越高.為了進一步驗證所提方案相對原始方案對提升系統保真度的有效性，在圖5 中繪制了對稱損耗信道情況下輸入態與輸出態的特征函數分布，所選取糾纏源參數λ=0.5，傳輸距離為40 km.其中圖5(a)—(c)分別是輸入態、所提方案輸出態、原始方案輸出態的特征函數，圖5(d)為三者在X-P平面的投影圖.比較圖5(a)—(c)以及圖5(d)中三者投影面積可以發現，在相同傳輸距離情況下，所提方案輸出態特征函數分布區域明顯大于原始方案，與輸入態特征函數更接近，對應的保真度分別為0.73 與0.57，仿真結果與理論分析一致，這也表明NLA 確實在遠距離相干態CVQT中發揮著顯著優勢.

圖5 對稱損耗信道情況下輸入態與輸出態的特征函數分布 (a) 輸入態特征函數;(b) NLA 方案輸出態特征函數;(c) 原始方案輸出態特征函數;(d) 輸入態與輸出態的特征函數關于X-P 平面投影Fig.5.Characteristic functions of input state and output state in symmetrical lossy channel case:(a) Characteristic function of input state;(b) characteristic function of output state with NLA;(c) characteristic function of output state without NLA;(d) projection of characteristic functions of input state and output state on X-P plane.

4 結論

本文提出了一種基于NLA 的相干態CVQT方案，分析了在光纖信道中，單邊損耗和對稱損耗情況下NLA 對CVQT 系統性能的影響.研究表明，本文提出的方案在單邊損耗信道情況和對稱損耗信道情況下都能補償信道損耗對糾纏源的衰減影響，從而提高系統的性能.根據數值仿真結果，發現NLA 的增益系數取值范圍受糾纏源壓縮水平和傳輸距離的影響，且更大的增益系數對系統的保真度和最大傳輸距離有更好的提升效果.在信道損耗相同的情況下，糾纏源參數λ越小，NLA 的增益系數可取值越大，提升效果也更為顯著.此外，相比于單邊損耗信道方案，在對稱損耗信道方案中，需要第三方Charlie 完成EPR 糾纏源的制備與分發，系統復雜度增加，但是其傳輸距離得到大幅提高，且保真度可以始終保持在不低于經典界限的水平.總的來說，本文提出的方案可以有效提升CVQT方案的性能，為長距離CVQT 方案的實際應用提供了一種切實可行的方法.