頻率啁啾對強場下真空正負電子對產生的增強效應*

謝柏松 李烈娟 麥麗開·麥提斯迪克 王莉

1) (北京師范大學核科學與技術學院，北京 100875)

2) (北京市科學技術研究院輻射技術研究所，北京 100875)

1 引言

1928 年狄拉克通過其創立的狄拉克方程在人類歷史上第一次理論預言了反物質——正電子的存在[1]，并于1933 年被安德森的實驗證實[2]，這一事實表明量子電動力學(quantum electrodynamics，QED)真空中存在固有的虛粒子漲落.早期Sauter[3]，Heisenberg 和Euler[4]采用了有效拉氏量方法進行了研究，發現 QED 真空可以在一定的場強條件下通過隧穿產生正負電子對，后來1951 年Schwinger 用固有時方法計算得到了恒定電場中正負電子對的產生率是Γ≈exp(-πEcr/E)[5]，其中Ecr=m2c3/(e?)≈1.3×1016V/cm 是施溫格臨界場強，對應的激光強度則是Icr≈4.3×1029W/cm2.自此，在強的背景電磁場下真空正負電子對的產生，就被稱為施溫格效應，它是QED 中的一種非微擾現象.由于其非微擾特性和觀察它所需的極大場強，理論和實驗的研究都有很大的挑戰性[6-8].

眾所周知，隨著上世紀八十年代Strickland和Mourou[9]發明的啁啾脈沖放大(chirped pulse amplification，CPA)技術的提出和應用，激光強度一直在增加[10-15].特別是本世紀以來，隨著超強激光技術的不斷發展，在不久的將來正負電子對產生的實驗觀察的可能性將大大增加.目前激光器的激光強度已達到1022—1023W/cm2，許多計劃中的激光裝置，例如歐洲的極端光基礎設施(ELI)設計的預期強度為1025—1026W/cm2[16]，另外X 射線自由電子激光器 (XFEL) 系統也預期可以實現E/Ecr≈0.01—0.1 的亞臨界場強[10].通過各種增強機制來實現真空對的產生[17-21]，這為未來先進激光設施檢測真空對的產生帶來了希望[16，22，23].

理論上，已經在許多簡單但重要的場的形式下研究了真空的正負電子對產生.例如，Nikishov[24]研究了包括磁場在內的恒定外場，人們也研究了交變電場[25，26]，特別是Ritus[6]和Nikishov[27]使用散射矩陣方法對QED 中的對產生問題進行了詳細的分析和介紹.到目前為止，多種理論與計算方法已經用來研究在強的外背景場下真空中的正負電子對的產生問題，一些常用的方法包括世界線瞬子技術[28-31]、量子弗拉索夫方程(quantum Vlasov equation，QVE)求解方法[32-34]、計算量子場論[35-37]、狄拉克-海森伯-維格納(Dirac-Heisenberg-Wigner，DHW)形式[38-43]等等.

為了達到降低正負電子對產生閾值的目的，人們試圖控制場的時間和空間的脈沖形狀，廣泛研究了許多不同的場結構形式.例如通過對亞周期結構短激光脈沖對產生的研究[44]，發現動量譜對相應的外場參數極為敏感;在空間非均勻脈沖場[38]下，粒子對產生過程中會有粒子的自聚集效應.也有研究發現外場的有質動力在空間非均勻電場的多光子對產生過程中有重要影響[41].作為增加正負電子對產生數額的重要一步，Schützhold 等[17]提出了動力學輔助機制，即所加的電場是低頻強場與高頻弱場的結合形式.他們的研究發現，組合場能極大地提高粒子對的產生率.此外，頻率啁啾效應也被廣泛研究，是因為它們能影響時間依賴場[45，46]和空間非均勻振蕩電場[42]下的粒子動量譜和總粒子數.有些工作研究了不同的組合場以增強正負電子對的產生[47-49]，尤其是對頻率啁啾下與時間依賴的單色和雙色激光場中粒子對產生的增強效應的研究[34，50，51]，以及對既有時間依賴又有空間不均勻性的單色和雙色場頻率調制下粒子對產生的增強效應的研究[52，53].

值得一提的是，對超強場下正負電子對的產生問題，我們做了一些卓有成效的研究.主要有兩個方面，一是對頻率啁啾場下正負電子對產生的增強效應問題的研究[34，42，46，50-53]，二是對一般性的橢圓極化方面的研究[30，46，49，54-56].我們最近的工作[52，53]則把相關研究拓展到了空間非均勻情形，使用的啁啾形式既有對稱的，也有非對稱的;場的形式有單色場，也有雙色組合場;場的振動頻率有低頻的，也有高頻的，或者高低頻組合的，等等.有關QED 下正負電子對產生的研究可參看綜述性文章[6-8，40，57，58].

本文主要介紹了 DHW 形式方法、QVE 方法和計算量子場論等方法，并對空間均勻和非均勻的含時頻率啁啾單色場和雙色動力學輔助組合場以及組合勢阱中正負電子對的產生問題進行了總結.在本文中，DHW 形式方法和 QVE 方法使用自然單位 ?=c=1，計算量子場論方法采用原子單位制 ?=e=m=1 .在自然單位制中，所有物理量和歸一化的值都以電子質量m所對應的物理量及大小來表示，如長度單位是λc=2π?/(mc)=2.43×10-12m，時間單位是τc=λc/c=1.287×10-21s，而動量則是mc=0.551 MeV/c，最重要的一個物理量——電場強度則是用Ecr來歸一化的.

還需要指出的是，在原子電離和這里研究的正負電子對產生問題中，有一個重要的物理參數是Keldysh 參數[59]，γ=mω/(eE)，用來描述場的隧穿電離或正負電子對產生的勢壘時間與場的周期時間之比.顯然γ?1 和γ?1 分別對應了隧道效應和多光子過程.本文的很多研究除了上述兩種情況外，也涉及了γO(1) 情況下隧道效應和多光子過程之間的相互影響和相互競爭.

本文的總體構架如下:第2 節簡要介紹所使用的DHW 方法、QVE 方法和計算量子場論方法;第3 節給出空間均勻、非均勻含時場、具有啁啾的動力學輔助雙色場以及組合勢阱下不同啁啾形式的數值結果;第4 節給出WKB 與轉變點介紹及其對研究結果的半經典討論;第5 節是結論與展望.

2 量子動理學方法和計算量子場論方法

在給出具體的DHW 方法、QVE 方法和計算量子場論方法之前，先簡單介紹這幾種方法的物理思想、適用范圍以及它們之間的相互聯系.

DHW 方法是正負電子對產生研究中適用范圍廣泛、功能強大的量子動理學方法之一.用DHW 方法不僅能夠研究含時的空間均勻外場情況下的正負電子對產生，還可以研究空間非均勻外場情況下的正負電子對產生.實時DHW 形式的出發點是Heisenberg 繪景中的兩個狄拉克(Dirac)場的對易子所構成的協變密度算符，乘上Wilson線積分后的等時密度算符具有規范不變性，它對兩個Dirac 場的相對坐標進行傅里葉變換后的真空期望值就是Wigner 函數.Wigner 函數可以用一組完備集作為基底進行旋量分解，得到16 個實的Wigner 分量(又稱為DHW 函數)，這16 個分量包括1 個標量、1 個贗標量、4 分量矢量、4 分量軸矢量和有6 個分量的反對稱2 階張量.把這種分解形式代入到Wigner 函數所滿足的運動方程可以得到16 個DHW 函數所滿足的偏微分方程組，此偏微分方程組即為實時 DHW 形式.數值求解該偏微分方程組便可以得到16 個DHW 函數，進一步可以得到產生的正負電子對的動量分布函數以及動量積分后得到其粒子數密度.這就是研究強場下正負電子對產生的實時DHW 形式方法.

QVE 方法是針對只有含時的空間均勻外場情況下正負電子對產生的研究，得到的QVE 方程是量子動理學方程.有兩種方法可以得到QVE 方程，一種方法是由上述的DHW 方法得到的方程通過把外場限制在時間依賴的形式上而得到;另一種方法則是直接由狄拉克方程出發來得到，其主要思想如下:首先把滿足狄拉克方程(其中含有時間依賴的外場)的費米子波函數通過產生湮滅算符用兩個旋量(分別對應于正負電子)態的疊加表示.這兩個態的時間演化可以由一個互為復共軛的含時函數的一階(時間)微分算子和一個共同的不含時的旋量所構成，于是原來的狄拉克方程就轉化成了二階(時間)微分算子的本征問題.由于費米子自旋矩陣和外加場的存在導致的哈密頓算符是非對角的，因此為了得到物理上可以理解的結果，需要對產生湮滅算符做波戈留波夫(Bogoliubov)變換使得哈密頓算符對角化.這樣由變換后產生湮滅算符所構造的粒子(準確說是準粒子)數的算符就能得到含時的正負電子對產生數密度的分布函數.它與波戈留波夫變換式中的一個系數(復數)的模有關.這個系數模滿足的方程的左端是其一階的時間微分，右端則是一個從外場開始的時間直到當前時間的積分，而積分里含有未知的那個系數模本身，這便是直接得到QVE 方程的方法.因此對分布函數的方程本質上是一個微分-積分方程.該方程既反映了費米子的Pauli 阻塞效應，也聯系了外場作用時間歷史導致的非馬爾可夫物理過程.當外場逐漸消失或關閉時，得到的準粒子就是我們需要的或者是實驗上可觀測到的真實的正負電子對.

下面再來談談計算量子場論方法.眾所周知，在量子場論中，每一種基本粒子都對應著一種場，即使在真空中，這些場都無處不在，場的能量是量子化的.粒子的產生和湮滅是不同的場之間的能量交換的結果.量子電動力學是量子場論發展史中最長和最成熟的分支.它可以研究電磁相互作用的量子性質，如光子的發射和吸收、帶電粒子的產生和湮滅、帶電粒子間的散射和帶電粒子與光子間的散射等.在這個理論中，帶電粒子、光子和外場都用統一的場的概念來描述.為了更好地理解在非常強的電磁輻射下原子電子的動力學過程，從本世紀初開始，Su 和 Grobe 等提出用劈裂算符的方法數值求解含時的狄拉克方程，并基于這一方法建立了一維情況下的正負電子對產生的數值模擬框架，被稱為是計算量子場論(computation quantum field theory，CQFT).與傳統的散射矩陣方法不同，CQFT通過求解含時的狄拉克方程，并定義任意時刻的量子場論觀測量，從而得到含時演化的非微擾結果.在對于含時單粒子波函數的求解中，這種劈裂算符方法精度較高，能夠很好地保證波函數在演化過程中的完備性和歸一性.

上述的三種方法相互之間是有機聯系的，各有其優缺點和適用范圍，針對具體不同的外場人們可以靈活使用不同的方法.一般來說，DHW 和CQFT都能處理既有時間依賴又有空間變化的外場情況，但對于高維空間的場CQFT 處理起來于DHW 來說更加復雜和困難;而QVE 只能處理只是時間變化的外場，它是DHW 的一個特殊情形，盡管兩個空間方向的時間依賴場也能做，但很多情況下的研究只是對一個空間方向的含時場進行.對同樣的時空依賴的外場，一些數值實驗的例子表明，用DHW和CQFT 兩種方法給出的正負電子對產生的譜和數密度結果是一致的.

2.1 DHW 方法

DHW 方法作為一個相對論性的相空間量子動理學方法[60，61]，已被廣泛應用于真空正負電子對產生的研究[38，43，46，48].其中最后要解的DHW 運動方程是從有外場時費米子的狄拉克方程推導出來的.首先可由兩個位置處的狄拉克場定義系統的協變密度算符為

其中r表示質心坐標，s是相對坐標，U(A，r，s) 是為了保持U(1) 規范不變性引入的Wilson 線因子

通過對協變密度算符進行從s空間到p的傅里葉變換得到協變Wigner 算符:

考慮協變Wigner 算符的真空期望值可以得到Wigner 函數:

在狄拉克代數中Wigner 函數能夠用16 個協變Wigner 分量展開為

其中的S，P，Vμ，Aμ，Tμν分別是標量、贗標量、矢量、軸矢量和反對稱2 階張量.由于我們主要研究粒子對產生，可將其表示為初值問題，因此可以通過求能量平均轉換到等時形式來實現，即

經過計算可以得到任意場下等時形式的運動方程如下(在等時下(5)式中出現的物理量用相應的小寫符號表示):

其中的t1和t2分別是反對稱2 階張量tμν的類電場的3分量矢量和類磁場的3分量矢量，而偽微分算符和廣義動量是

眾所周知，這個含有16 個分量的微分方程組((7)式—(14)式)在特殊情況下可以簡化，下面針對文中研究的兩種情形進行簡單描述.一是外加的電場只是時間函數但有兩個方向的情形，此時p=a0=v0=0 以及t2=0，從而16 個分量的微分方程組可以簡化為10 個分量的偏微分方程組:

二是研究的1+1 維空間非均勻的外加電場情況，這時發現只有s，p和v(μ=0，1) 存在，其余物理量都是0，因此有

結合真空初始條件

為了研究空間尺度λ的影響，本文主要研究約化動量譜(px，t)=n(px，t)/λ和約化粒子數(t)=N(t)/λ.

2.2 QVE 方法

對于空間均勻的只有時間依賴的背景電場E(t)，正負電子對產生的數密度分布函數可以表示成如下形式:

這里W(p，t)=eE(t)ε⊥/Ω2(p，t) .事實上方程(28)可以由DHW 在時間函數場下簡化得到，也可以直接從狄拉克方程出發通過波戈留波夫變換得到[61]，兩者結果是一樣的.方程(27)或(28)一般稱為量子弗拉索夫方程.

最后，單個粒子的動量分布函數f(p，t) 可以通過解方程(28)得到，初始條件為f(p，-∞)=u(p，-∞)=v(p，-∞)=0 .因 此，每 dp⊥/(2π)2的橫向動量空間微面積元內產生的粒子數密度隨時間的演化表示為

其中因子 2 是考慮了電子的簡并度.

2.3 計算量子場論方法

在量子場論中，正負電子在勢阱V(z，t) 中的時間演化算符(z，t) 滿足Dirac 方程[35-37，62]，

其中αz和β為Dirac 矩陣，c為真空中光速，V(z，t)為z方向隨時間t變化的外加強場.本方法采用原子單位制，滿足 ?=e=me=1 .現在引入正能級的產生算符和負能級的產生算符，將場算符展開成如下形式:

通過對空間積分可得產生的電子數目:

也可以得到產生的電子的動量譜:

經過以上理論推導，得到了在一定場分布下真空產生粒子的概q 率密度和數目的具體表達式，還可以得到產生粒子的能譜特性.在數值計算中，首先用劈裂算符法對時間演化算符進行處理，然后通過傅里葉變換和逆傅里葉變換對波函數進行演化，最后得到想要的數據.

3 數值模擬與結果分析

首先來看看空間均勻含時場在有頻率啁啾時正負電子對產生的情形.

3.1 空間均勻含時場

2017 年我們用求解量子弗拉索夫方程的方法對一個和兩個不同頻率(通常也叫一色場和二色場，這里的色是表示頻率的意思)的激光脈沖場下正負電子對產生問題研究了頻率啁啾的影響，發現小的頻率啁啾就可以使得動量譜發生移動[34].另外正和負啁啾的效應是一樣的，都能使正負電子對產生增加，但在t=0 時改變啁啾符號則效應不一樣，先正后負啁啾更能提高正負電子對的產額.也發現兩色場比一色場啁啾時正負電子對產額的增加更大，而且較大頻率啁啾的場起著主導作用.進一步研究還發現，隨著兩個場頻率比的變化，正負電子對產生的數密度在小的頻率啁啾下對頻率比不敏感，但在大的頻率啁啾情況下，如果啁啾施加于高頻弱的那個場時，數密度對頻率比就非常敏感.

本文使用的背景場形式，對于一色場是

其中參數選取為場強E0=0.1，原初頻率ω=0.02，脈沖寬度τ=100，b是頻率啁啾參數，根據有效頻率的最大值不超過原初頻率的一般原則來確定其變化范圍.對于二色場，即兩個電場之和，它們有相同的包絡函數形式但是有不同的場強、原初頻率和啁啾參數，即

其中的 參數選取為E1=0.1，E2=0.01=0.1E1，ω1=0.02，ω2=0.2=10ω1，脈沖寬度仍取τ=100 .

圖1 是一色脈沖激光場下正負電子對產生的數密度與原初頻率的依賴關系，三種情況分別是正啁啾、負啁啾和無啁啾.其中原始頻率的變化范圍為0—0.5.可以看出，當ω＜0.1 時，數密度先減小后增大，三條曲線基本一致.當ω＞0.1 時，隨著頻率的增加，曲線呈明顯的振蕩，這是由多光子過程引起的.顯然沒有啁啾時的振蕩更為顯著，而頻率啁啾的加入導致了數密度的平滑和峰值的加寬，并且正和負啁啾的結果一樣.此外，對于大多數頻率，啁啾激光脈沖產生的對的數密度高于無啁啾激光脈沖產生的對的數密度.隨著原始頻率的增加，差異變得更大，甚至能達到三個數量級，例如在最右端頻率約為0.49 時，無啁啾曲線的谷底與對應處的有啁啾時存在差異.對兩色場的研究表明，數密度提高更多，而且較大的啁啾參數貢獻大，這里不再詳細描述，可以參看參考文獻[34].

圖1 一色脈沖激光場下正負電子對的數密度與原初頻率的依賴關系(取自參考文獻[34])Fig.1.Electron-positron number density vs the original frequency in one-color pulse laser field (from Ref.[34]) .

2019 年我們使用實時狄拉克-海森伯-威格納DHW 形式研究了強電場中的電子-正電子對產生[46]，即Sauter-Schwinger 效應，使用的電場為具有亞臨界峰值場強的均勻單脈沖場.在線性頻率啁啾下分別對四種不同極化，即線極化、橢圓極化、近圓的橢圓極化和圓極化計算了相應的動量譜以及產生的正負電子對的數密度.研究發現動量譜計算的細節取決于選擇的極化、頻率啁啾等導致的干涉效應，因此動量譜在不同情況下有相當大的變化.產生的對的數密度與表征極化的參數有較強的非線性關系，并且對啁啾參數的變化非常敏感.特別值得一提的是對于一些特定的頻率啁啾而言，數密度可以提高3—4 個數量級.

對于任意極化的場

圖2 在不同啁啾參數下產生的粒子數密度與場極化度的依賴關系(取自參考文獻[46])Fig.2.The number density of created particles as a function of the field polarization δ for different chirp parameters b (from Ref.[46]).

啁啾情況下不同極化時的動量譜也表現出特別豐富和有趣的結構，這里不打算詳細描述，僅給出一個示例，如圖3 所示.可以看出，隨著啁啾的增大，動量譜逐漸呈現螺旋結構且向零動量的中心處會聚.

圖3 圓極化時在不同啁啾參數下產生的粒子的動量譜(取自參考文獻[46])Fig.3.Momentum spectra of produced pairs for circular polarization (from Ref.[46]).

2020 年，我們用求解QVE 的方法進一步研究了如下形式的啁啾場:

其中b和ωm分別是 啁啾的 調制幅 度和調 制頻率.圖4 是當啁啾頻率的調制幅度b=1.0 固定時，調制頻率分別是ωm=0，0.07，0.1 時產生的粒子對的動量譜，其中動量譜各個峰上標記的數字是與場的傅里葉變換中各種峰值譜的頻率及其拍頻后的頻率相對應，反映了啁啾場是多重不同頻率場的疊加，而正負電子對產生是這些場的不同多光子過程的組合，顯然不同頻率和場強的配合在一定程度上體現了動力學輔助機制的作用.

圖4 在調制幅度 b=1.0 下不同啁啾調制頻率 ωm=0，0.07，0.1 時產生的粒子對的動量譜(取自參考文獻[50])Fig.4.Momentum spectra of produced pairs in the field Eq.(39) with ωm=0，0.07，0.1 for (a)—(c)，respectively when b=1.0 is fixed (from Ref.[50]).

對動量譜的積分，也就是譜函數曲線下面的面積就是粒子對的數密度.研究發現，在有調制時，粒子數的增加在一些情況下是很驚人的，如在場強E0=0. 1 下，當中心頻率ω=0.5 時，調制參數 (ωm，b)=(0.022，8.64) 下的數密度 2 .03×10-5比 (ωm，b)=(0.023，2.34) 下的數密度 6 .1×10-7提高了約兩個量級，而比 (ωm，b)=(0.009，9.52) 下的數密度 7.63×10-9相比更是提高了3—4 個量級.

總之，利用量子動理學方法(DHW 或QVE)研究了激光場頻率啁啾或調制下產生的電子-正電子對的動量譜和數密度.發現動量頻譜呈現出明顯的干涉圖樣，動量譜的峰值對應于對產生過程中吸收的不同頻率分量的光子.此外，還可以通過分析轉變點結構來定性理解干涉效應.對對產生的數密度研究表明，數密度對啁啾參數非常敏感，在某些參數下它可以提高2—3 個數量級.這些研究提供了一種可能的新方法使得在未來實驗中產生正負電子對的數目能大幅增加.

3.2 空間不均勻且有時間依賴的場

其次，在空間-時間都有依賴的場的情形下再來看看頻率啁啾是如何影響正負電子對產生的動量譜和粒子對的數密度的.

3.2.1 高斯時間包絡的非對稱啁啾場

在研究工作[42]中，我們研究了如下1+1 形式的空間-時間場:

其 中ε=0.5，對高頻取ω=0.7 和τ=45，但對低頻則取ω=0.1 和τ=25，顯然λ是反映場的空間變化的尺度.

圖5 給出了高頻ω=0.7 和τ=45 下取不同啁啾參數b=0.00078 和b=0.0016 時產生的粒子對的約化動量譜(所謂約化的意思是對獲得的物理量除以空間尺度λ，后面的約化數密度也是如此).可以看出，大的空間尺度與均勻時結果一致，隨著λ減小，譜的峰值下降并向較大動量移動;另外啁啾的提高也增加了干涉效應.

圖5 高 頻 ω=0.7 下取不 同啁啾參數 b 時產生 的粒子 對的約化動量譜(取自參考文獻[42])Fig.5.Reduced momentum spectra of produced pairs in the field Eq.(40) with b=0.00078 for (a) and b=0.0016 for(b)，respectively，when high frequency ω=0.7 is fixed(from Ref.[42]).

圖6 是約化數密度與空間尺度變化的關系，值得注意的有兩點:一是在無啁啾或者啁啾較小時，大的空間尺度基本上與空間均勻結果接近(見圖6右端的平坦曲線部分)，當空間尺度減小時，有時會存在一個極大值(如圖6 中的虛線無啁啾時b=0情形)，即最優化的尺度，這主要是空間場變化和時間場變化的聯合效應導致的，具體分析比較困難，但定性上來說空間變化一般要減低產額，而時間變化要增加產額，這樣的非線性競爭所導致.但不管怎樣，非常小的空間尺度一定使得產額下降，因為電場在空間中的存在范圍和強度都非常有限，不能有足夠的能量提供正負電子對的產生，當然因為量子力學的隧道效應，盡管很小，但還是有一定的產額.另外一點尤其引人注目的是在大的啁啾下(圖6中最上面的點畫線)，在小空間尺度下的下降趨勢減緩，這說明大啁啾下粒子產額主要是吸收了高能光子所致，且小尺度對其影響有限.

圖6 ω=0.7 下粒子 對的約 化數密 度與場 的空間尺度 λ的關系(取自參考文獻[42])Fig.6.Reduced number of produced pairs in the field Eq.(40) with respect to spatial extent λ when ω=0.7(from Ref.[42]).

對于慢振蕩電場我們也進行了研究，發現啁啾和載波相位參數φ對粒子動量分布有重要影響.由于篇幅所限這里不再給出詳細描述.但值得指出的是強聚焦尺度使得啁啾效應在各種振蕩模式下的表現有顯著不同.特別是對于φ=π/2，隨著啁啾值的增加，動量譜會合并，并形成振蕩圖案.這表明，場的有限空間尺度會以不同方式呈現時間脈沖結構的效果，并通過額外維度使正負電子對產生過程的非馬爾可夫性質復雜化[63].

進一步對有不同啁啾形式情況或有不同時間包絡的空間不均勻場進行了卓有成效的研究，下面分別介紹最近幾個有特色的研究工作和得到的有趣結果.

3.2.2 高斯時間包絡的對稱啁啾場

第一個工作是研究了有限空間尺度下對稱啁啾場中真空對的產生[52].研究方法還是基于DHW的形式化理論，在場的時間振蕩部分考慮了余弦和正弦兩種形式.發現動量譜對于對稱啁啾非常敏感，對稱啁啾對不同的空間尺度以及場的載波相位還表現出不同的干涉效應.約化粒子數通常隨著啁啾的增加而增加.特別是在小空間尺度下，當存在啁啾時，粒子數能增加1—2 個數量級.此外，還發現與非對稱啁啾時粒子數增加相比，對稱啁啾時粒子數增加更大，后者的粒子數大約是前者的兩倍.

這一研究的1+1 形式的空間-時間場如下:

其 中ε=0.5，對高頻取ω=0.7 和τ=45，對低頻則 取ω=0.1 和τ=25，顯然除了啁啾 是關于時間正負具有對稱性之外，其余的參數選擇和場的形式與上述[42]一致，這也是為了與文獻[42]中不對稱啁啾結果進行比較而方便的選擇.

圖7 給出了高頻ω=0.7 和τ=45 下取不同啁啾參數b時不同空間尺度下動量譜的對稱啁啾效應.可以看出，在大空間尺度上，如λ=1000 時，動量譜對啁啾參數的變化非常敏感.即使對于較小的啁啾，也可以觀察到微弱的振蕩，見圖7(a)和圖7(b).隨著啁啾的增加，動量譜中出現強烈振蕩，見圖7(c)和圖7(d).對于非零啁啾，有效頻率隨著啁啾的增加而增加，并提供更多能量以產生更多粒子.因此，這些粒子相互作用會對動量譜產生更明顯的干涉效應，這一結果與均勻場的結果相似.在小空間尺度下，如λ=10 和λ=2.5 時，對于小啁啾，振蕩不明顯，但我們在動量譜上觀察到峰值分裂，見圖7(a)和圖7(b).這一現象可以用有質動力效應來解釋.因為有質動力的大小與空間尺度的大小成反比，因此動量峰值在空間尺度2.5 時比10 時要更遠離中心些.然而，對于大啁啾，有質動力分裂的峰值被圖7(c)和圖7(d)所示的強的振蕩所取代.因為有效頻率隨啁啾的增大而明顯增大，對外場頻率的貢獻更大.因此，有質動力的相應效應減小，而動量譜發生強烈振蕩的原因可以歸咎于產生的粒子之間很強的量子干涉效應.

圖7 高頻 ω=0.7 下不同啁啾不同空間尺度時產生的粒子對約化動量譜(取自參考文獻[52])Fig.7.Reduced momentum spectra of produced pairs in the field Eq.(41) for high frequency field with ω=0.7 (from Ref.[52]) .

圖8 給出了不同啁啾參數下約化粒子數與空間尺度的依賴關系.可以看到，粒子數隨著啁啾的增加而增強.這種增強對于最大啁啾最為明顯.當啁啾相對較小時，如b≤0.2ω/τ，粒子數隨著空間尺度的增加而迅速增加.由于電場能量隨著空間尺度的擴大而增加，因此在電場區域產生的粒子也相應增加.然而，當啁啾非常大時，如b=0.5ω/τ，粒子數受空間尺度的影響較小，在整個空間尺度上顯示出相對平坦的變化.另一方面，在較大的空間尺度下，隨著空間尺度的增大，每個啁啾參數的粒子數都趨于常數.這一點并不奇怪，因為這時的場可以看作是一個空間均勻場.

圖8 ω=0.7 下粒子對的約化數密度與場的空間尺度 λ的關系(取自參考文獻[52])Fig.8.Reduced number of produced pairs in the field Eq.(41) with respect to spatial extent λ when ω=0.7(from Ref.[52]).

我們注意到，與無啁啾的情況相比，在大的啁啾情況下，粒子數有一個數量級的提高.為了獲得直觀的認識，表1 中對比了(31)式的對稱啁啾場和(30)式的非對稱啁啾場的結果.顯然對稱啁啾的數密度把非對稱情況下的數密度又提高了約2 倍.

表1 空間尺度 λ=10 時不同啁啾下(31)式對稱啁啾場與(30)式的非對稱啁啾場數密度及其比值(參看文獻[52])Table 1.Reduced pair number and ratio of symmetric and asymmetric fields for different chirping when λ=10 (from Ref.[52]) .

圖9 是低頻 場ω=0.1 和τ=25 時的動量譜.當沒有啁啾時(參見圖9(a))，動量譜與參考文獻[42]中的圖6(a)相同.在大空間尺度，如500 時，即使沒有啁啾也可以觀察到非常微弱的振蕩，見圖9(a)實線;有小啁啾時在圖9(b)中的動量譜兩側(實線)看到了更強的振蕩.對于較大的啁啾，會出現非常強的振蕩，同時動量譜會收縮并向正方向移動，見圖9(c)和圖9(d).這些振蕩可以理解為時間場相反符號的大峰值產生的粒子間的干涉效應[44].

當空間尺度縮小到10 m 時，無啁啾下動量譜上沒有振蕩.對于小啁啾，可以在左側觀察到一個微弱的振蕩，同時，動量譜展寬到負區域，這是因為具有一定動量的粒子離開了場區，并錯過了負場峰值對其減速[42].對于較大的啁啾，動量譜上也會出現強烈的振蕩，這是由來自相反場峰值所產生粒子的干涉效應引起的，見圖9(c)和圖9(d)的點畫線.當空間尺度進一步減小到2 時，對于小啁啾，動量譜上沒有觀察到明顯的振蕩.而對于較大的啁啾，則出現振蕩，但比較弱.另外，因為空間尺度很小，所以電場所做的功相應地也減少了，因此產生的粒子也會隨之減少，表現在動量譜上也不會觀察到明顯的干涉現象.

圖9 低頻 ω=0.1 下不同啁啾不同空間尺度時產生的粒子對約化動量譜(取自參考文獻[52])Fig.9.Reduced momentum spectra of produced pairs in the field Eq.(41) for low frequency field with ω=0.1 (from Ref.[52]).

對此低頻場情形，我們也比較了對稱啁啾與非對稱啁啾情況下的約化粒子數，與不對稱頻率啁啾的情況相比，在對稱啁啾的情況下，約化粒子數幾乎沒有變化.通過畫出得到的粒子數與空間尺度的依賴關系發現與高頻場類似，但啁啾效應對其產額提高沒有高頻時的大.我們也研究了相位φ=π/2下相應的高頻和低頻場在不同空間尺度和不同啁啾強度下的動量譜和粒子數產額等，由于篇幅關系，不再詳細闡述，有興趣的讀者可以參看參考文獻[52].

3.2.3 余弦時間包絡的非對稱啁啾場

我們還研究了如下形式的兩個疊加的場:

其中的 參數選取為E1s0=0.3，E2w0=0.075=0.25E1s0，ω1=0.1，ω2=0.7=7ω1，脈沖寬度仍取τ=50 .

圖10 是各種空間尺度下不同啁啾時的約化動量譜.可以看出，小啁啾下動量譜振蕩不大，即有弱的干涉效應，但大啁啾引起了復雜和大的振蕩，即產生粒子間的干涉效應加強了.從圖10(d)還可以看到，下動量譜主峰旁邊出現了一些額外的小峰，且與其他情況的結果相比，這時動量譜的峰值更高.

圖10 不同啁啾不同空間尺度時產生的粒子對約化動量譜(取自參考文獻[53])Fig.10.Reduced momentum spectra of produced pairs in the field Eq.(42) for different chirping (from Ref.[53]).

圖11 給出了作為各種空間尺度函數的不同啁啾值下約化粒子總產量的增強因子.增強因子的定義是:兩個場同時存在時產生的粒子數N1s+2w與1 和2 場單獨存在時各自產生的粒子數簡單相加后的N1s+N2w的比值大小.研究發現，在準均勻區域，每個啁啾下的增強因子幾乎是一個常數.然而，在有限的空間尺度上，增強因子的變化是復雜的，我們也發現對于小啁啾情形，增強因子的變化在λ=2.4 處最大，而對于大啁啾情形，則在16 處最大.

圖11 粒子對約化數密度的增強因子與場的空間尺度 λ的關系(取自參考文獻[53])Fig.11.Enhancement factor of reduced number of produced pairs in the field Eq.(42) with respect to spatial extent λ (from Ref.[53]) .

表2 優化空間尺度和啁啾參數下單個啁啾場或兩個啁啾場的增強因子(參看文獻[53])Table 2.Optimal spatial scales related to the optimal enhancement factor at the chosen optimal chirp parameters (from Ref.[53]).

3.2.4 組合勢阱下的線性啁啾場

我們最新的一個工作是利用計算量子場論研究了線性啁啾頻率對組合勢阱中真空產生電子-正電子對過程的影響[64].場的構型所對應的勢如下:

其中前面的空間場是S(z)={tanh[(z-D/2)/W]-tanh[(z+D/2)/W]}/2，顯然D是勢阱的寬度，W是勢阱邊緣的寬度.

圖12 是在參數選取為V1=V2=1.5c2，W=0.3/c，D=10/c，t0=5/c2以及t1=20π/c2下 在取不同基頻0.5c2，1.5c2，1.9c2和2.0c2時所產 生的粒子對的數目與啁啾參數之間的依賴關系.當基頻取0.5c2時，隨著啁啾參數的提高，電子數先快速增加然后緩慢減少，粒子數從1.87 增加到4.76，這時的 最佳啁 啾參數b為 1 .6c2/t1.對于基頻為1.5c2的情況，最終產生的電子數從4.19 增加到5.39.當b=0.8c2/t1時，最終的粒子數達到最大值.基頻為 1 .9c2時，當b=0.1c2/t1時粒子數達到最大值5.65.總的來說，隨著基頻的增加，最佳啁啾參數卻逐漸減小.通過頻率調制，特別是對于基頻較低的情況，電子的數量顯著增加.值得注意的是當中心頻率為 2c2時，隨著啁啾參數b的增大，電子數反而直接減小，這說明頻率調制阻止了高基頻下的正負電子對產生.

圖12 產生的粒子對的數目與啁啾參數的依賴關系(取自參考文獻[64])Fig.12.Number of produced pairs in the field Eq.(43) with respect to chirping parameter (from Ref.[64]).

表3 給出了幾組不同基頻下電子數目增長的比值，其中基頻選取小于臨界頻率ω0＜2.0c2.當b=0 時，組合勢阱在恒定頻率下產生的電子數目最少.隨著基頻的增長，恒定頻率下產生的粒子數目迅速增加，而調制后最大產生的粒子數基本不變.從二者的比值可以發現，啁啾效應對低頻區域比較敏感，可以使粒子數目提高2—3 倍.另外還發現，隨著基頻的增加，粒子數達到最大值時對應的啁啾參數不斷減小，二者近似滿足ω0+bt1=2 .0c2.

表3 不同的基頻下產生的電子數目的最大值和最小值以及二者之間的比值(參看文獻[64])Table 3.The maximum，the minimum number of created electrons and the ratio between them for different fundamental frequencies (from Ref.[64]).

圖13 是電子數目隨基頻和啁啾參數變化的等高線圖.可以發現，當ω0+bt1等于同一常數時，產生的電子數目基本相同.當ω0+bt1=0 時，組合勢阱是由兩個亞臨界的靜態勢阱組成的超臨界靜態勢阱，通過Schwinger 機制產生的正負電子對數目較大.當ω0+bt1增加到很小區域時，其中一個靜態勢阱變成了慢變的勢阱，有效相互作用時間減小，因此產生電子的數目降低.隨著ω0+bt1的繼續增加，產生的電子數目先增加后減小.當ω0+bt1=2.0c2時，電子數目達到最大，這也驗證了上一段中得出的結論.

圖13 電子數目隨著基頻和啁啾參數變化的等高線圖(取自參考文獻[64])Fig.13.The contour plot of the electron number varying with the fundamental frequency and the chirp parameter(from Ref.[64]).

圖14 是在頻率調制的勢阱在不同的調制參數下的頻譜.在圖14(a)中，調制參數為ω0=1.5c2，b=0.3c2/t1，頻譜關于ω0+bt1=1.8c2對稱.對于基頻比較高的情況，頻率調制后的頻譜會延展到超高頻率區域，而超高頻率區域對正負電子對的產生具有抑制作用，這也解釋了為什么在圖12 中基頻為2.0c2時產生的粒子數目隨著參數b一直降低.在圖14(b)中，調制參數為ω0=0.2c2，b=0.9c2/t1，頻譜關于頻率 1 .1c2對稱.與固定頻率ω0=0.2c2相比，調制后頻譜從低頻覆蓋到高頻區域，高頻成分促進了多光子過程，這是圖12 中基頻為0.5c2時，隨著啁啾參數b的增加，正負電子對數目得到明顯提升的原因.

圖14 不同的調制頻率參數下頻率調制的勢阱的頻譜(取自參考文獻[64])Fig.14.The frequency spectrum of frequency modulated potential well with different modulation parameters (from Ref.[64]).

圖15 是固定頻率和啁啾頻率下產生的電子的能譜，其中黑色虛線代表固定頻率ω0=1.9c2，b=0，紅色實線表示啁啾頻率ω0=1.9c2，b=0.1c2/t1.其他參數和圖12 相同.在圖15(a)中包括單光子過程、雙光子過程和單光子過程的能譜.與固定頻率相比，啁啾頻率下能譜向右移動，能譜變寬和變高.在圖15(b)—圖15(d)中分別對三個多光子過程進行能譜分析.勢阱參數為D=10/c，V1=1.5c2時，靜態勢阱共有8 個束縛態，分別為E1=-0.4247c2，E2=-0.3069c2，E3=-0.1361c2，E4=0.0680c2，E5=0.2919c2，E6=0.5260c2，E7=0.7618c2，E8=0.9778c2.在圖15(b)中，對于固定頻率，峰值E=1.56c2，1.74c2，1.95c2，2.19c2，2.44c2，2.69c2，2.91c2對應著E2—E8，滿足關系式E=Ei+1.9c2(i=2—8);對于調制頻率情況，峰值E′=2.01c2，2.27c2，2.54c2，2.8c2滿足關系式E′=Ei+2.0c2(i=4—7)，其中E′=1.47c2滿足E′=E1+1.9c2.固定頻率時吸收的光子能量只有ω0=1.9c2，頻率啁啾時吸收的光子能量包含ω0和ω0+bt1.頻率調制提供多種能量的光子，促進了單光子過程.在圖14(c)的雙光子過程中，固定頻率下能量峰值滿足E=Ei+2ω0，啁啾頻率時能量峰值滿足E′=Ei+2(ω0+bt1) 和E′=Ei+2ω0.同理對于三光子過程，如圖15(d)，在固定頻率下，滿足E=Ei+3ω0，啁啾頻率時能量峰值滿足E′=Ei+3(ω0+bt1) 和E′=Ei+3ω0.

圖15 固定頻率(黑色虛線)和啁啾頻率(紅色實線)下產生電子的能譜(取自參考文獻[64])Fig.15.Energy spectrum of created electrons under the fixed frequency (the black dotted curve) and the chirp frequency (the red solid curve) (from Ref.[64]).

研究中我們得到了不同頻率調制參數下電子數和能譜的數值結果.通過與固定頻率的比較，發現頻率調制對電子數有顯著的增強作用.特別是當頻率較小時，適當的頻率調制增強對應多光子過程，從而促進了對產生.然而，高頻振蕩組合勢阱下產生的粒子數在頻率調制后減少了，這是高頻抑制的原因.粒子數隨頻率和頻率調制參數變化的研究，為將來可能的實驗能提供必要的理論參考.

4 WKB 近似和轉變點結構

空間均勻時間依賴的外電場下真空正負電子對的產生類似于量子電動力學中的過勢壘散射問題，產生粒子對的動量分布函數可以通過反射系數得到，因此對于旋量QED，其近似表達式為

從上面的粒子數表達式可以看出，一對復共軛的轉變點離實數軸越近，其中的積分Ki就越小，從而對粒子數的貢獻就越大，另一方面，如果兩對轉變點之間的橫向距離越近，那么相互干涉效應就越顯著，從而動量譜中的振蕩行為就越明顯.這一點被大量數值結果所證實.

圖16 是在場方程(42)下當空間依賴函數不存在也就是純的時間場時得到的轉變點結構.圖16(a)中，黑點是無啁啾時只有弱場E2w的轉變點，而紅點是具有大啁啾b2=0.9ω2/τ時的轉變點.顯然，與無啁啾(黑色)的情況相比，啁啾(紅色)的情況下，位于正實數區的轉變點要多得多，并且它們更接近實軸.這意味著在大的啁啾下粒子數密度增加，并且干涉效應增強，這就是為什么在動量譜上可以觀察到更強的干涉效應的原因.作為進一步比較，我們將強場E1s添加到弱場E2w中，使模型成為雙色場.圖16(b)中繪制了轉變點結構，啁啾仍選取為第二個場的b2=0.9ω2/τ，但第一個場無啁啾(參見藍色圓點).從圖16(b)可以看出，與單色啁啾弱場(紅點)相比，對于雙色場，即使強場沒有啁啾只是保持了弱場的啁啾，此時的轉變點結構也有很多變化，特別是占主導的一對藍色轉變點非常接近實軸，并且在其右側出現了更多的點.因此，與圖16(a)對應的動量譜結構相比，圖16(b)參數下的動量譜中出現更明顯的干涉效應和更加劇烈的振蕩行為就不難理解了.

圖16 動量為0 時的時間復平面上的轉變點(取自參考文獻[53])Fig.16.The turning points of complex time-plane when the momentum is zero (from Ref.[53]).

當然，其他動量譜也可以通過相應的轉變點結構通過類似的討論來理解.由于作為半經典WKB近似的物理圖像是簡單有效的，對于更多情況，無需重復演示.這里需要指出的是，在正負電子對產生的研究中，除了用WKB 的物理圖像來理解之外，用其他方法對動量譜特征和粒子對產額的精細理解也是可能的，如從能級之間的交叉和免交叉的角度進行細致的分析等[65]，當然更多的物理機理和理解值得在將來做進一步的研究和探索.

5 結論與展望

本文詳細報道了有頻率啁啾時外加強的背景場對真空下正負電子對產生的增強效應，其中對外加場的形式和個數、場的強度和基頻以及頻率啁啾的形式和對稱性等都有不同的考慮和研究.總的來說，可以總結出以下幾條結論:

1) 對空間均勻的含時場，啁啾效應對于橢圓極化具有非線性的依賴關系，動量譜具有渦旋結構且在大啁啾下向小動量的中心收縮;產生的粒子數在啁啾下均有不同程度的提高，在一些合適的場參數和啁啾參數下，能提高2—3 個數量級甚至更高.

2) 對空間不均勻同時有時間依賴的1(空間)+1(時間)場，發現啁啾效應對于低基頻場和高基頻場均有增強效應.啁啾對于小空間尺度的場的影響更大，啁啾增強更高.啁啾的對稱性比非對稱性對粒子數的增強更好.

3) 對空間不均勻同時有時間依賴的1(空間)+1(時間)的組合場，發現啁啾效應配合組合場的動力學輔助效應對粒子數產生的提高起到了更大的作用.與一個場類似，啁啾對于小空間尺度的場的影響更大，啁啾增強也更高.

4) 對有空間變化和時間振蕩的組合勢阱場，發現線性頻率調制對產生的粒子數有顯著的增強作用.特別是當頻率較小時，適當的頻率調制增強對應了多光子過程，從而促進了對產生.然而，高頻振蕩組合勢阱下產生的粒子數在頻率調制后有所減少.

上述關于動量譜和粒子數隨場的各種參數變化而變化的結論可以從勢散射的半經典WKB 方法以及對應的轉變點結構等物理圖像上加以理解和認識.當然各種結果背后的非線性物理機理仍需要新的理論和方法的探索來對其進行進一步的理解.

就此研究方向，即頻率啁啾對粒子對產生的增強效應未來可能的發展，我們認為以下幾點值得進一步深入研究:1)理論上搞清楚頻率啁啾除了改變場的頻譜范圍從而使得多場的動力學輔助機制起到了作用外，是否還有其他的非線性機制? 2)兩個空間上只有時間依賴的極化場在有啁啾情況下觸發的動量譜渦旋結構的物理原因還不是很清楚，這個帶有角動量信息的結構對于探測外加場的頻率、極化度和場強分布等有很大意義;3)動量譜的干涉效應在啁啾下非常敏感，這與產生的粒子對之間WKB 轉變點波函數之間的關系有非常密切的聯系，并且它們帶有鞍點結構的拓撲特性，這些效應與整體的粒子對產生的增強之間的聯系有沒有更一般性的規律? 其對動量譜結構的調控(如限制其動量存在范圍，或讓動量分布定向在事先設定的位置等)是否有可能潛在的應用(如可產生大通量的單能正電子束等)? 4)頻率啁啾在一些情況下使粒子對產額提高3—4 個數量級，也就意味著對在實驗上可能觀測到的粒子對產生的場的閾值條件有顯著降低，如何在目前已有和不久的將來建造好的實驗裝置上通過頻率啁啾技術和能達到的激光強度實現真正可觀的粒子對的產額? 總之，這些問題既有進一步探索的必要并具有一定的挑戰性，也提供了強場物理中具有應用前景的很多的研究機遇.

感謝Reinhard Alkofer 教授以及與李子良、古麗、卡斯木、馬木提江、龔馳等在文章所述課題方面的合作研究與物理討論.