完備Buck-Sukumar 模型的光子阻塞效應*

劉雪瑩 成書杰 高先龍

(浙江師范大學物理系，金華 321004)

1 引言

在量子光學中，Jaynes-Cummings (JC) 模型是一個描述單模光場與二能級原子相互作用的簡單模型[1].當場和原子弱耦合時，它可以用于理解實驗中的一些現象，如真空劈裂、量子Rabi 振蕩等[2-5].但隨著實驗上超強甚至深強耦合區的實現，反旋波項的影響不可忽略，由此得到Rabi 模型[6，7].雖然Rabi 模型因反旋波項的引入U(1)對稱性破缺，導致激發數不再守恒，但它仍然可以在Bargmann 空間解析求解[8，9].若場與原子間的相互作用是非線性的，則JC 模型被推廣為Buck-Sukumar (BS) 模型.此時，更復雜的BS 模型反而能夠解析地理解 JC 模型中出現的原子翻轉的周期自發塌縮恢復現象[10].Ng 等人[11]進一步研究了具有反旋波項的BS 模型，發現該模型可以通過引入Casimir 算符，利用幺正變換解耦玻色模和場模來解析求解.此后，在BS 模型的基礎上，逐漸發展出了形式更為復雜的非線性耦合模型[12-14]，其能譜的特征極度依賴于非線性耦合的形式.作為一種描述非線性耦合的基本模型，BS 模型只有在耦合強度小于一個確定的臨界值時才有定義，且在該臨界值處能量發生塌縮現象.而在這個臨界值之外，隨著激發數增加，基態能量不斷減小，系統不再穩定[11-15].而非旋波項不會改變這種性質，只是減小了這個臨界值[16].這種只有在小于臨界耦合強度才能有定義的BS 模型，被稱為不完備的BS 模型.文獻[15]發現，如果在 BS 模型中引入一個微小的激發數平方項不僅可以消除這種不穩定性，還能夠擴大有定義的耦合區間，并把這樣的模型稱為完備的BS 模型.

另一方面，可以用超導量子電路實現的雙光子Rabi 模型也是一種非線性耦合的例子[17]，它也會在一個臨界耦合強度處發生能譜塌縮現象[18，19]，而引入非線性光子項可以消除這種能譜塌縮[20].基于上述 BS 模型和雙光子Rabi 模型都屬于非線性耦合的例子，且都具有能譜塌縮現象，本文將重點研究非線性光子項對 BS 模型能譜的影響.研究表明，非線性光子項也可以消除BS 模型能譜塌縮現象，從而形成一種新的完備的 BS 模型.我們引入的非線性光子項能使BS 模型在整個耦合區間內都有定義.在原子與場共振情況下，非線性光子項破壞了BS 模型的能譜簡諧性，通過計算二階關聯函數，發現非線性光子項促進光子阻塞，而在原子與場失諧的情況下，BS 模型的能譜在有定義的耦合區間內非簡諧.非線性光子項使這種非簡諧的能譜擴展到整個耦合區間，而且當非線性光子耦合強度確定時，原子與場的正失諧更有利于光子阻塞.

2 模 型

1981 年，Buck 和Sukumar[10]提出將JC 相互作用轉化為一種強度依賴的形式，從而使原子翻轉數能夠有封閉的解析形式，這就是初始的 BS 模型.作為一種理論模型，BS 模型在實驗上是很難實現的，因為它需要一個能把大量場模疊加起來的囚禁離子設備[21].但在2016 年，Valverde 等人[22]考慮用庫珀對箱與納米機械共振器間的相互作用來構建BS 模型，為BS 模型的實驗實現提供了一條可能途徑.本文考慮引入了非線性光子項的BS 模型，其哈密頓量形式 (?=1) 為

其中ωf，ω0分別是光場和二能級原子的本征頻率;gr是描述光場與二能級原子的非線性耦合強度;U是非線性光子耦合強度;，分別是光場的產生、湮滅算符;(i=z，+，-)是泡利矩陣.該系統具有Z2對稱性，總激發數和宇稱都守恒.系統可以在|e〉?|n〉和|g〉?|n+1〉 的子空間進行展開，即定態波函數|ψn〉可以寫成

其中，|g〉，|e〉分別是二能級原子基態與激發態;|n〉為光子數態，n=0，1，2，···;an，bn分別是二能級原子占據激發態、基態的概率幅.將(1)式和(2)式代入定態薛定諤方程〉=En|ψn〉，可以得到展開系數an，bn間的關系為

解方程(3)，得到本征能譜En，

重新整理(3)式，得到

這里的±和能譜(方程(4))中的±對應.|g，0〉 也是系統本征態，稱為暗態|ψ〉d.則有對應的暗態能量為Ed=-ω0/2 .考慮系統的宇稱守恒，即，如果此處定義，那么κ=±1 分別對應偶、奇宇稱態.又因為，所以當n為偶數時，|ψn〉 為奇宇稱態;當n為奇數時，|ψn〉 為偶宇稱態.暗態|ψ〉d是一個偶宇稱態.

為了判斷系統的基態，這里對最近鄰的兩條能級作差:

當U=0 時，系統回到BS 模型.此時，系統只有在gr＜ωf時才有很好的定義[16].正如圖1(a)所示，隨著gr增加，在臨界值ωf處塌縮成一點.且根據(7)式和(8)式，當gr超過ωf時，BS模型的基態由|ψ〉d變為|ψn〉，n →∞，激發數也由零變為無窮.文獻[15]已經指出，這種當耦合強度大于某個臨界值后，隨著基態激發數增加，基態能量不斷減小的BS 模型稱為不完備的BS 模型.文獻[15]引入了激發數平方項來消除BS 模型的不完備性.隨著?的增大，臨界的耦合強度增大，相應地，BS 模型有定義的耦合區間也擴大.本文考慮非線性光子項，可以產生類似的效果并可以使不完備的BS 模型在整個耦合區間都有定義，從而構建了一個完備的BS 模型.相較于文獻[15]，我們引入的非線性光子項更簡單.

圖1 共振時 Δ=0，非線性光子耦合項對 旋波近似下的BS 模型能 譜的影響，其中 (a) U=0，(b) U=0.1，紅色代表偶宇稱態，藍色代表奇宇稱態，實線代表 支，虛線代表 支Fig.1.Influence of the nonlinear photon term on the BS model with the rotating wave approximation at resonance Δ=0，where (a) U=0，(b) U=0.1，the red (blue) line represents the energy level with even (odd) parity while the solid (dashed) line represents the energy level of

接下來討論非線性光子項 (U/=0) 對BS 模型的影響.當U/=0 時，根據(7)式，由 δEd＞0 可得

圖2 共振時 Δ=0，非線性光子 項對旋波近 似下BS 模型激發數 〈 〉 的影響Fig.2.For the BS model with the rotating wave approximation at resonance Δ=0，the influence of the nonlinear photon term on the excited number 〈 〉 .

3 討論

對于確定的頻率ωf和耦合強度gr，當U=0 時，能級差 δEn=ωf-gr是一個確定的值，能譜簡諧，也就是說，對于確定的光場頻率ωf和耦合強度gr，BS 模型相鄰兩條能級的差完全一樣，如圖3(a) 所示.此時，系統吸收一個光子的能量ωf可以從n光子態躍遷到n+1 光子態.而當U/=0時，能級差 δEn不再是一個定值，即等差的能級被U所破壞(見圖3(b)).除此之外，圖3(b)也給出了U=0.5 (黑色實線)和U=1 (紅色虛線)時，δEn隨耦合強度gr的變化.顯然，越大的U項使相鄰兩條能級間隔更大.此時，系統吸收一個光子的能量ωf從零光子態到單光子態之后，需要克服能量δE0-δEd才能再吸收一個光子變成兩光子態，即一個光子排斥另一個光子.這種光子間的排斥效應稱為光子阻塞效應.可見，能譜的非簡諧性暗示著光子阻塞效應的存在[23].

圖3 共振時 Δ=0，非線性光子項對旋波近似下的BS模型能級差δ Em，m=d， 0，1，··· 的影響 (a) U=0 ;(b) U /=0，圖中 紅色線表示 U=1，黑色線表示 U=0.5Fig.3.For the BS model with the rotating wave approximation at resonance Δ=0，the influence of the nonlinear photon term on the nearest neighbor energy level difference δEm，m=d， 0，1，···，where (a) U=0，(b) U /=0 and the red (black) line represents U=1(0.5) in panel (b).

為了進一步討論該模型的光子阻塞，引入二階關聯函數.當場是單模的，二階關聯函數G2(0)可以寫成產生、湮滅算符的形式來簡化計算[23，24].對于一個經典場，G2(0)＞1，而G2(0)＜1 可以作為一個量子化光場的證據[23].此外，G2(0) 也可以用來衡量同時吸收兩個光子的概率.對于一個Fock態|n〉，G2(0)=1-1/n.因此，對于單光子態|1〉，G2(0)=0，表明在該態下，只存在一個光子，且不能同時被兩個探測器觀測到，這就是眾所周知的光子阻塞效應.對于G2(0)＜1，同時觀測到兩個光子的概率比較小，稱之為光子反聚束效應.相似地，當G2(0)＞1 時，光子更趨向于一起被探測器觀測到，所以稱為光子聚束效應.對于相干態，G2(0)=1 .考慮真空態|0〉 是特殊的相干態，真空態下的二階關聯函數為 1，即G2(0)=1[24].

通常，光子反聚束就意味著光子阻塞[23-26].但是，在半導體實驗中，只有當G2(0)＜1/2，光源才會發射出單光子[27].理論上也已經證實，在G2(0)＜1/2 的態上存在一個非零的單光子投影態[24]，因此，G2(0)＜1/2 可以代表光子阻塞的發生.

已經知道，當Fn+1(U)-Fn(U)＜4(n+1)U+2ωf，基態為.也就是說，耦合強度gr超過，在F1(U)-F0(U)＜4U+2ωf的參數區間內，二階關聯函數為G2(0)=0，此時基態為.在F1(U)-F0(U)＞4U+2ωf且F2(U)-F1(U)＜8U+2ωf的參數區間內，此時的基態為，在單光子態上有投影，故其二階關聯函數應該滿足G2(0)＜1/2 .而在其他參數區間，基態在單光子態上都沒有投影，二階關聯函數大于 1/2 .因此，對于有非線性光子項的BS 模型的基態，在共振情況下，其光子阻塞只發生在有限參數區間內.圖4 通過計算非線性光子項對二階關聯函數的影響，驗證了這一事實.圖4(a)給出二階關聯函數隨U和gr的變化，其中顏色代表 log(G2(0))的值.圖中藍色區域是發生光子阻塞 (G2(0)=0)的區域.顯然，隨著U的增大，藍色區域越來越大，開始發生阻塞的臨界耦合也越來越大.這個藍色區域也對應著G2(0) 隨gr變化的圖4(b)中G2(0)=0 的那個平臺.從圖4(b)可以看出，U越大，G2(0)=0 的平臺越寬，這表明非線性光子項有利于光子阻塞.除此之外，圖4(b)中也顯示了越過G2(0)=0 的平臺的另一個G2(0)＜1/2 的平臺，這對應著有單光子投影的態.這個平臺也是隨著U的增大處于更大的耦合強度gr范圍內，這進一步證實了非線性光子項有利于光子阻塞效應.

圖4 共振時 Δ=0，非線性 光子項 對旋波 近似下 BS 模型的基態二階關聯函數 G2(0) 的影響 (a) G2(0) 隨非線性光子 U 和耦合強度 gr 的變化，顏色代表對 G2(0) 取對數后 log(G2(0)) 的值;(b) 不同非線性光子耦合強度U 下G2(0) 隨耦合強度 gr 的變化Fig.4.For the BS model with the rotating wave approximation at resonance Δ=0，the influence of the nonlinear photon term on the second-order correlation function G2(0) :(a) Variation of G2(0) as a function of the nonlinear photon term U and the coupling strength gr，where the color represents the value of log(G2(0)) ;(b) variation of G2(0) as a function of the coupling strength gr for different nonlinear photon terms U.

可以發現，對于較小的失諧量Δ，n很大的高能級來說，(10)式中Δ2項可以忽略.那么，高能級可以近似看成簡諧的，且在耦合強度gr超過臨界值(約等于ωf)后，激發數趨于無窮大，系統還是不穩定.加入非線性光子項(U/=0)后，當時，基態是暗態，對應著基態激發數為零，超過這個耦合強度，激發數變為有限 值，且出現階梯狀的平臺，如圖5(a)所示.這表明，失諧情況下，非線性光子項使BS 模型在整個耦合區間內有定義.而且，對于負失諧Δ＜0，隨著Δ的增加，基態激發數在更小的gr處變為非零.值得注意的是，圖5(a)顯示出，在正失諧情況下，即使耦合強度gr很小，基態也是非零激發的.這是因為對于同一能級，同樣的失諧量，正失諧要比負失諧的能量更低，即 δEd(Δ ＞0)＜δEd(Δ ＜0) (見 圖5(b)).因 此，對于某一耦合強度gr，當正失諧時，才能保證基態激發數為零.顯然，存在一個臨界失諧量Δc=ωf，當Δ≥Δc，即使gr→0，基態也是，對應的基態激發數為 1 .圖5(a)中的紫粉色線顯示了正失諧下沒有零激發出現的情況.對于同一能級，正失諧的能量比負失諧的要更低，吸收一個光子需要克服的能量要更多.故正失諧有利于光子阻塞.失諧量對二階關聯函數的影響可以反映出這一現象(見圖5(c)).圖5(c)顯示了二階關聯函數在U=0.1 時隨耦合強度gr的變化.顯然，正失諧會使G2(0)=0 的耦合區間變大.而負失諧情況下，G2(0)=0 的區間減少甚至消失.在Δ=-1時只存在一個G2(0)＜1/2 的小平臺(圖5(c)藍色線)，這對應的激發數為 2 (圖5(a)藍色線)的小平臺，此時基態為.這進一步表明，負失諧會使基態擁有更高的激發數;對于失諧量|Δ|較大的負失諧，超過臨界耦合，基態直接從激發數為零的態變為擁有更多激發數的態，且這個態在單光子態上沒有投影(圖5(a)和圖5(c)紫粉色線).這表明負失諧抑制光子阻塞.

圖5 非線性光子項為 U=0.1 時，失諧量 Δ /=0 對旋波近似下BS 模型的(a) 基態激發數 ，(b) 能級差 δEm，m=d， 0，1，(c) 基態二 階關聯函數 G2(0) 的影響.圖(b)中紅色 線代表 Δ=-2，黑色線代表 Δ=0，藍色線代表Δ=2Fig.5.For the BS model with the rotating wave approximation with the nonlinear photon term U=0.1，influence of the detuning Δ /=0 on the (a) excited number in the ground state，(b) nearest neighbor energy level difference δEm，m=d， 0，1，and (c) second-order correlation function G2(0) in the ground state.The red，black and blue line represent Δ=-2，Δ=0 and Δ=2 respectively in panel (b).

4 結論

本文在BS 模型的基礎上引入非線性光子項，在旋波近似下，該項不會破壞激發數與宇稱守恒，可以在|e〉?|n〉和|g〉?|n+1〉 的子空間進行展開來求解定態薛定諤方程，從而得到本征能譜和本征態，進一步通過計算激發數及二階關聯函數研究非線性光子項對BS 模型能譜性質及光子阻塞效應的影響.

研究表明，非線性光子項可以消除BS 模型的能譜塌縮，使其變成一個完備的BS 模型.當原子與場共振時，非線性光子項破壞了BS 模型的能譜簡諧性，使它的基態激發數出現了類似JC 模型中的階梯狀的平臺.非線性光子項可以在更大的耦合區間內產生單光子投影態，這是因為大的非線性光子項使光子更難向高能級躍遷.相應地，非線性光子項擴大了為零的二階關聯函數所在的耦合區間，更有利于光子阻塞.此外，討論了失諧量對這個完備的BS 模型的影響.原子與場失諧時，非線性光子項的加入，可以使原來能譜非簡諧的區域擴大到整個耦合區間.在確定的非線性光子耦合強度下，擁有同樣失諧量的BS 模型，對于同一能級來說，正失諧要比負失諧的能量低，系統再吸收一個光子需要克服更多的能量.因此，正失諧促進光子阻塞.而對于負失諧，系統更容易吸收光子向更高的能級躍遷;對于失諧量較大的負失諧，系統基態在單光子態上不再有投影，故負失諧抑制光子阻塞.

對擁有非線性光子項的BS 模型的研究，一方面其完備性為全參數空間模擬BS 模型的實驗實現提供了一種新思路;另一方面，其中出現的光子阻塞效應也為實現單光子源提供了新的路徑.最后，加了非線性光子項的BS 模型存在與JC 模型類似的能譜非簡諧性[28，29]，當把多個腔通過光子躍遷聯系起來時，這種非簡諧性帶來的光子阻塞會與光子躍遷項形成競爭，從而為BS-Hubbard 模型的構建提供了可能.