體態和邊緣態的電導峰

夏群 鄧文基

(華南理工大學物理與光電學院，廣州 510641)

1 引言

眾所周知，物理系統總是與具有特殊頻率的驅動發生共振，該特殊頻率接近或正是該系統的固有頻率(本征頻率).簡諧振子的受迫振動是有關共振效應的原始模型[1]，其以簡單的微分方程描述了共振的基本原理和主要特征，為分析其他復雜的共振現象提供了必要的概念和清晰的物理圖像.

根據量子輸運的Landauer-Buttiker 理論[2，3]，樣品的電導簡單地正比于費米面附近電子的透射率，小量子系統的電導問題可轉化為相應的量子散射或量子隧穿問題.介觀物理已經揭示了各種小量子系統和人工微結構中電子的能量本征值與電導峰之間存在類似的共振關系，即當入射電子的能量接近小量子系統中電子的某個能量本征值，它的透射率顯著增大;進一步研究還發現，改變引線與樣品之間的耦合強度，可以顯著地調控透射峰大小、形狀和中心能量的位置;電導測量為研究樣品的電子束縛態提供了一種可能方案[4-11].

通過電導測量確認超導-半導體異質納米線體系中的Majorana 準粒子也涉及對Majorana 零模電導峰的進一步研究和解讀[12，13].此外還研究了量子點與有限晶格耦合系統的電導性質，并發現改變樣品-引線耦合強度將改變零能附近電導峰的數目[14，15];有限晶格與兩端引線之間的量子點或勢壘可以有效地調控樣品與引線之間的耦合強弱，并展示邊緣態與體態的不同響應;更簡單有效地調控理想引線與晶格樣品耦合強度是改變引線與樣品最鄰近格點原子之間的躍遷能.

本文研究有限Su-Schriefer-Heeger(SSH)晶格[16]的體態和邊緣態的電導峰.有限SSH 晶格是能夠實現拓撲相變和體態與邊緣態共存的最簡單一維晶格模型，已經得到了廣泛的研究[17-27].但是引線-樣品耦合強度對有限SSH 晶格電導峰的調制作用尤其是體態和邊緣態電導峰對耦合強度變化的不同響應還沒有相關研究，有限SSH 晶格電導與能量本征值之間的對應關系尚未被揭示.基于推廣的Bloch 定理[28，29]，本工作不僅提高了數值求解孤立有限SSH 晶格系統的能量本征值和電導問題的效率，而且還得到系統電導和能量本征值的解析表達式，同時對已有的有限SSH 晶格的波函數[17]進行進一步簡化;它們普遍適用于從弱耦合極限到強耦合極限的全參數空間，為揭示有限晶格的電導峰與束縛態能量之間錯綜復雜的關系提供了可靠的保證.

本工作描述了有限SSH 晶格的緊束縛模型，并給出單電子Schrodinger 方程，以及有關能量本征值問題和量子散射問題的主要公式;集中研究了邊緣態和體態對引線-樣品耦合強度變化的不同響應.

2 模型和公式

在緊束縛近似下，晶格中單電子波函數的定態Schrodinger 方程可普遍寫作:

其中εα和tα，β分別是α格點的座能量和從格點α到β的躍遷能，下標α遍歷所有格點，〈α，β〉表示對格點β的求和限于格點α的最近鄰.

考察一段孤立的有限SSH 晶格，如圖1(a)所示，n標識原胞序數.該系統由N個完整原胞組成，每個原胞包含A，B兩個不等價的格點，座能量均設為εA=εB=0，其中tv和tw分別是原胞內和原胞間最近鄰格點的躍遷能，取正實數值.圖1(b)為研究電導和量子散射問題的示意圖，樣品兩端分別接入半無限長引線，n≤0 和n≥2N+1 分別標識左右兩端半無限長引線中的格點.設理想引線中的躍遷能為1，座能量為 0，引線與樣品最近鄰原子間的躍遷能稱為引線-樣品耦合強度，記作t0，1=t2N，2N+1=τ，是調控電導峰的大小和形狀的重要參數.

圖1 (a)有限SSH 晶格示意圖;(b)引線和有限SSH 晶格耦合系統示意圖.紅色圓點表示A 原子，藍色表示B 原子，黃色表 示引線 中的原 子，tv 表示原 胞內躍遷能，t w 表 示原胞間躍遷能Fig.1.(a) Schematic diagram of the finite SSH lattice;(b)schematic diagram of lead and finite SSH lattice coupling system.The red dot represents the A atom，the blue dot represents the B atom，and the yellow dot represents the atom in the lead;tv indicates the intracell hopping，and tw indicates intercell hopping.

2.1 有限SSH 晶格的體態與邊緣態

考慮有限SSH 晶格中電子的能量本征值問題，Schrodinger 方程(1)改寫為

其中原胞序數n=1，2，···，N，且附加邊條件:

根據推廣的Bloch 定理[28，29]，方程(2)的嘗試解可設為

其中φA和φB分別是波函數在A和B格點處的概率幅，k是依賴于能量本征值E的待定參數.將(4)式代入方程(2)可得:

對應給定波矢k可得到正負兩個能量本征值:

相應的本征態波函數滿足:

與理想無限系統不同，有限系統中本征態的波矢可以是復數，即k=β+iα，其中β和α分別表示波矢的實部和虛部，且(6)式可以改寫為

不難證明[17]:若要保證能量本征值為實數，波矢的取值必須受到進一步的限制，即

1) 或者波矢為實數，α=0 .此時由(8)式得到的能量本征值均處于理想無限晶格的能帶中，可以嘗試將波矢分別為k和-k的這樣兩個能量簡并的行波線性組合為具有同一本征能量的駐波，即:

代入邊界條件(3)式，可得:

這意味著:

它不僅可以給出波矢k的量子化條件:

而且還給出相應束縛態波函數的解析表達式:

這是隨空間周期振蕩的體態波函數，其中C為歸一化常數.

2) 或者β=(2m+1)π/2，其中m為任意整數.此時由(8)式得到的能量本征值均將處于理想無限晶格的兩個能帶之間的禁帶中，依然可以嘗試將(9)式中波矢分別為k=π/2+iα和k=-π/2-iα的兩個能量簡并的本征波函數線性組合為具有相同能量且滿足邊條件(3)式的本征態，其波矢的量子化條件更新為

波函數為

這是典型的邊緣態波函數，主要集中分布在有限晶格的兩端，并隨深入晶格的距離指數衰減.

3) 或者β=mπ .此時由式(8)得到的能量本征值均處于理想無限晶格上能帶的上方或者下能帶的下方，并且任何兩個這樣能量簡并的能量本征態都無法線性疊加得到滿足邊條件式(3)的波函數.

改變SSH 晶格中原胞內和原胞間的最近鄰格點躍遷能tv和tw的值可以實現拓撲量子相變，但包含N個完整原胞的有限SSH 晶格中電子正交歸一能量本征態的總數總是保持為 2N.若tv ＞tw，則方程(12)在開區間 (0，π/2) 內的N個實數解k1，k2，···，kN可按(9)式疊加成 2N個能量本征態，方程(14)沒有非零解;若tv ＜tw，方程(12)在開區間 (0，π/2) 內只有N-1 個實數解，它們仍然可以按(9)式線性疊加得到 2 (N -1) 個能量本征體態波函數，此時缺失的2 個能量本征態正是(15)式給出的邊緣態，方程(14)恰好存在一對大小相等、符號相反的實數解.不難想象，體態和邊緣態迥然不同的波函數形式將以顯著不同的方式影響其對應的透射峰和電導峰.

2.2 SSH 晶格的電導

根據Landauer-Buttiker 公式:

計算電導需要考慮圖1(b)所示“引線-樣品-引線”系統中電子的散射問題，分別以左右兩端理想引線作為源和漏的電子庫.在緊束縛近似下，理想引線中電子的能量本征方程為

入射電子能量-波矢色散關系為

引線中的波函數可一般地設為

其中r和s分別是反射系數和透射系數，由左右引線與SSH 晶格耦合處，即n=0，1，2N，2N+1 格點的Schrodinger 方程確定，即:

為簡單起見，已假設左右兩端引線與樣品的耦合強度相同，即t0，1=t2N，2N+1=τ.將(9)和(19)式中的電子波函數代入(20)式不僅可以極大地簡化數值計算，而且還可得到透射系數的解析表達式，即:

其中

對左端理想引線中能量為E的入射電子，它的實波矢k0由(18)式所確定;進入樣品后，電子的波矢k一般是復數，可以具有非零的虛部，由色散關系(6)式或(8)式確定.可以嚴格證明:在τ→0 弱耦合極限下，測量電導峰可以精確地確定有限SSH晶格中電子的全部束縛態能量本征值，包括全部體態和邊緣態.

若入射電子的能量處于理想SSH 晶格的兩個能帶中，即:

則波矢k取實數.由(21)和(22)式可知，若要，必須c3=0，恰好給出包含N個完整原胞的有限SSH 晶格中體態波矢k的量子化條件(12).所以，在弱耦合極限下，只有當入射電子的能量恰好等于有限SSH 晶格體態能量本征值時才發生共振透射.

若電子的能量處于兩個能帶之間的禁帶中，即:

則k=(2m+1)π/2+iα，(21)和(22)式將分別改寫為

同理，若要透射系數不為零，再次給出包含N個完整原胞的有限SSH 晶格中邊緣態波矢k的量子化條件(14).換句話說，在弱耦合極限下，只有當入射電子的能量恰好等于有限SSH 晶格邊緣態能量時才能通過指數衰減型透射產生透射峰.

若入射電子的能量處于SSH 晶格上能帶的上方或下能帶的下方，即:

則k=mπ +iα;透射系數的解析表達式(21)和(22)將改寫為

此時，在τ→0 弱耦合極限下，透射系數始終為零，無對應的電導峰.

有趣的是，透射系數解析表達式(21)可以改寫為

若入射電子能量處于SSH 晶格禁帶內，則必須滿足

才有可能到達右端引線.若入射電子的能量處于SSH 晶格上能帶的上方或下能帶的下方，總有c1/=0，即在τ→+∞強耦合極限下，透射系數始終為0，無對應的電導峰.

對比(12)和(14)式，它們分別是包含N個完整原胞的孤立SSH 晶格體態和邊緣態的波矢k的量子化條件，不難看出式(31)和(32)分別是由N -1 個完整原胞構成的有限SSH 晶格的體態和邊緣態的波矢k的量子化條件，但調換了原胞內和原胞間最近鄰躍遷能，即tv?tw.當然，也可以更簡單地由原來包含N個完整原胞的SSH 晶格去掉左右兩端原子得到這個新的有限SSH 晶格.所以，在τ→∞強耦合極限下，只有能量恰好等于不包含兩端原子的有限SSH 晶格的體態或邊緣態的能量本征值的入射電子才能透射到有限SSH 晶格樣品的另一側.

有限SSH 晶格電導峰和能量本征值之間的對應關系類似于共振效應，當入射電子能量與樣品的能量本征值一致時就會發生共振透射.但是引線與SSH 晶格的耦合會影響樣品的能量本征值，導致樣品的能量本征值與孤立晶格的能量本征值不一致.不難理解，耦合強度越弱影響越小，對于弱耦合極限，這種影響可以忽略不計，因此電導峰的位置與孤立晶格的能量本征值精確對應;對于強耦合極限，相當于SSH 晶格左右端點并入引線，形成一個少了一個原胞的新的SSH 晶格，新晶格與新引線相當于弱耦合，所以強耦合極限下，電導峰是與新晶格的能量本征值相對應的.在中間耦合區，電導峰和孤立晶格的能量本征值不再有對應關系，從而導致電導峰位置發生偏移并且展寬變形.

3 電導峰的耦合強度效應

改變引線-樣品耦合強度將顯著地影響樣品電導峰的大小、形狀和位置.上一節解析地討論了在τ →0 弱耦合極限和τ→∞強耦合極限下的電導譜，若要進一步定量地研究電導峰的耦合強度效應，則需要采用數值計算方法;不失代表性，本文只給出N=10 的數值結果.

首先考察tv=tw的SSH 晶格，此時它退化為包含偶數(2N)個原子的簡單晶格，所有格點的最近鄰躍遷能相同，記作t.由Bloch 定理可得簡單晶格的色散關系為

受邊條件限制，波矢只能取 2N個分離值，即:

且相應的定態波函數為

以及與式(21)類似的簡單晶格透射系數公式，即:

圖2 給出了躍遷能t=0.8，包含 2N=20 個格點的簡單晶格的電導譜.若非特別關注耦合強度效應，通常直接將理想引線連接到樣品兩端，即取τ=1 .此時電導峰與孤立系統束縛態能量本征值的關系并不十分明確，雖然電導峰出現在本征能量附近，但偏差大，尖峰也不明晰，如圖2(a)所示.耦合強度減弱可以調控電導峰變窄;當τ=0.3 時，20 個電導峰已經足夠尖銳并與孤立系統的能量本征值一一對應，如圖2(b)所示.反之，耦合強度增大，電導峰再次變窄;當τ=3 時，18 個電導峰已足夠尖銳并與包含 2N -2=18 個原子的簡單晶格的18 個能量本征值一一對應，如圖2(c)所示.

圖2 不同耦合強度有限簡單晶格的電導譜，其中格點數2N=20，躍遷能 t=0.8Fig.2.Conductance spectrum of the finite simple lattice with different coupling strengths，where the number of sizes 2N=20，hopping t=0.8 .

再考慮tv ＜tw的情形，此時有限SSH 晶格是最簡單的拓撲絕緣體，除了 2N -2 個體態之外，還會在零能附近出現一對邊緣態.與圖2(a)類似，在τ=1 的常規耦合情形下，圖3(a)中的電導峰不夠尖銳，而且明顯偏離體態能量本征值;更嚴重的是，在零能附近看不到邊緣態的任何電導峰信號.但若耦合強度足夠弱，例如取τ=0.3，電導峰變窄并靠近能量本征值，與邊緣態對應的電導峰雖然很低，但已清晰可見，如圖3(b)所示.相反的，若耦合強度足夠大，例如取τ=3，電導峰也會變得尖銳而明晰，但是零能附近不再出現邊緣態電導峰，如圖3(c)所示.這與2.2 節的分析一致，因為在強耦合極限下，電導峰反映的是去掉首尾兩個原子的有限SSH 晶格的束縛態能量本征值，而不是原來包含N個完整原胞的SSH 晶格;由于tv?tw對調，新的有限SSH 晶格沒有零能附近的邊緣態.

作為對比，圖3(d)—(f)分別給出了tv=1，tw=0.7，即tv ＞tw情形的計算結果.此時由N=10 個原胞構成的有限SSH 晶格沒有邊緣態，但是去掉首尾兩個格點后，實現了tv?tw對調，由N -1=9個原胞構成的新的有限SSH 晶格擁有一對零能附近的邊緣態.

圖3 完整原胞數 N=10 時有限SSH 晶格的電導譜(a)—(c)躍遷能 t v=0.7，t w=1 ，τ=1，0.3，3 ;(d)—(f)躍遷能 t v=1，t w=0.7，τ=1，0.3，3.Fig.3.Conductance spectrum of the finite SSH lattice with the number of cells N=10 :(a) —(c) t v=0.7，tw=1，τ=1，0.3，3 ;(d)—(f) t v=1，tw=0.7，τ=1，0.3，3. .

由2.2 節的解析討論可知，在τ→0 弱耦合極限或者τ→∞強耦合極限下，有限晶格的電導峰才會變得非常尖銳，并反映相應有限SSH 晶格的體態和邊緣態的能級結構.實驗和數值模擬當然不會取τ→0 或τ→∞極限，但只要耦合強度足夠弱，例如τ=0.01，或足夠強，例如τ=15，電導譜的尖峰結構已經與其理想極限相差無幾，如圖4 所示.

圖4 弱耦合與強耦合極限下，N=10 時有限SSH 晶格的電導譜 (a)(b) t v=0.7，tw=1 ;(c) (d) tv=1，tw=0.7Fig.4.Conductance spectrum of the finite SSH lattice under the weak coupling limit and strong coupling limit with N=10 :(a) (b) t v=0.7，tw=1 ;(c)(d) t v=1，tw=0.7 .

電導峰對耦合強度變化的不同響應還是甄別體態和邊緣態的重要途徑.圖5 專門展示了耦合強度對特定體態和邊緣態電導峰形狀、大小和位置的不同調控過程.圖5(a)和(b)展示了包含N=10個原胞且躍遷能tv=0.7，tw=1 的SSH 晶格中能量本征值E=0.4344 的一個體態電導峰隨耦合強度的演變.當τ=0.01 時，尖銳的電導峰精確地與此能量對應;耦合強度增大到τ=0.5，這一尖峰變寬但中心位置仍然可以標示出能量本征值;耦合強度達到常規值τ=1，電導峰已經變得很寬并且明顯偏離能量本征值;耦合強度繼續增大到τ=2，電導峰已經再次收窄并偏移到E=0.3717，這是不包含兩端原子的新孤立系統的能量本征值;當τ增大到25 時，電導峰已經變得非常尖銳并十分精確地標示出這一新的能量本征值，如圖5(b)所示.

圖5 有限SSH 晶格電導峰隨耦合強度的變化，原胞數 N=10 (a)(b) t v=0.7，t w=1 晶格的體態電導峰從弱耦合到強耦合τ=0.01，0.5，1，2，25 的變遷;(c) t v=0.7，t w=1 晶格在 弱耦合情形 τ=0.01，0.11，0.21，0.31 下的邊 緣態電導峰;(d) t v=1，tw=0.7 晶格在強耦合情形 τ=3，5，10，50 下的邊緣態電導峰Fig.5.The conductance peaks of the finite SSH lattice varies with the coupling strength for N=10 :(a)(b) t v=0.7，tw=1，τ=0.01，0.5，1，2，25，the conductance peaks of the bulk states varies with the coupling strength from weak coupling to strong coupling;(c) t v=0.7，t w=1 τ=0.01，0.11，0.21，0.31，the conductance peaks of the edge states varies with the coupling strength under the weak coupling limit;(d) t v=1，t w=0.7，τ=3，5，10，50，the conductance peaks of the edge states varies with the coupling strength under the strong coupling limit.

圖5(c)和(d)分別展示了拓撲和拓撲平庸的兩個有限SSH 晶格在弱耦合極限和強耦合極限下邊緣態電導峰隨耦合強度的變化.如所周知[16，17]，tv ＜tw的SSH 晶格具有一對零能附近的邊緣態，而tv ＞tw的SSH 晶格沒有邊緣態.圖5(c)展示了弱耦合情形τ=0.01，0.11，0.21，0.31 下，tv=0.7，tw=1的有限SSH 晶格中一對能量本征值E=±0.0145的邊緣態電導峰逐步變寬、變低、逐漸消失的過程.由于能量本征值是偶函數，所以電導峰也是關于零能位置對稱分布的，兩個邊緣態對應的電導峰位置十分接近并且位于零能位置的兩側，由于耦合強度的增大，兩個電導峰逐漸靠近并展寬，電導峰的位置逐漸重疊，當位置重疊時，兩個電導峰就會逐漸合并以致出現雙峰結構，隨著耦合強度進一步變大雙峰逐漸合并成一個峰，然后逐漸變低，最后消失.相反地，圖5(d)展示了強耦合情形τ=3，5，10，50下，原本沒有邊緣態的tv=1，tw=0.7 的有限SSH晶格電導譜中如何逐漸涌現出一對能量本征值E=±0.0207 的邊緣態電導峰的過程.根據前面的分析，這不是錯誤的電導峰信號，但它們屬于去掉首尾兩個原子后的新SSH 晶格.相對于包含N個原胞的樣品，剩下只有N-1 個完整原胞的SSH 晶格已經對調了原胞內和原胞間的躍遷能，的確擁有這樣一對邊緣態，并在強耦合極限下顯示出自己各自的電導峰.

4 結論

本文研究了引線-樣品耦合強度對有限晶格電導譜的調控，求解了有限SSH 晶格電導和束縛態能量本征值的解析表達式，確認了電導峰與能量本征值的對應關系.雖然在理想引線直接連接樣品的常規操作下，電導峰與孤立系統束縛態能量本征值的關系是模糊不精確的，但在弱耦合極限下，電導峰可以顯示孤立系統全部體態和邊緣態，電導峰與能量本征值精確地一一對應;在強耦合極限下，電導峰再次變得尖銳并清晰地展示不包含兩端原子的有限SSH 晶格的全部能量本征態.通過觀察電導峰大小、形狀和位置對耦合強度變化的不同響應可以判斷有限SSH 晶格邊緣態的存在，并且對體態和邊緣態做出甄別.

猜測有關結論可以推廣到其他不同類型的有限晶格系統，甚至通過調節樣品-引線的耦合強度可以更好地探測超導-半導體異質納米線體系中Majorana 零模的電導峰信號.