一題多解提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

謝潔丹 韋才敏

【摘 要】 解析幾何是高考的一個(gè)必考內(nèi)容，其中三角形的面積問(wèn)題是解析幾何的一個(gè)重要方面，學(xué)生在解題時(shí)往往采取常規(guī)的解題方法，但往往計(jì)算量大，沒(méi)有一定的運(yùn)算技巧甚至難于解答.教師可通過(guò)一題多解，幫助學(xué)生從不同角度切入，通過(guò)優(yōu)化計(jì)算方案和滲透運(yùn)算技巧，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 一題多解;運(yùn)算技巧;運(yùn)算素養(yǎng)

1 例題引入

例題 如圖1，過(guò)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，自M、N向準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為M1、N1 記△FMM1、△FM1N1、△FN N1的面積分別為S1、S2、S3，試判斷S22=4S1S3是否成立，并證明你的結(jié) 論.

2 例題思路分析

2.1 利用圖形表象特征，常規(guī)思路分析

這是一個(gè)拋物線中關(guān)于三角形面積的證明問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于：如何求出S1、S2、S3的表達(dá)式.于是，我提出問(wèn)題：如何求解三角形的面積？學(xué)生們會(huì)不約而同地回答出以下兩個(gè)公式：SΔ=12×底×高=12absinC.我再次提出問(wèn)題：通過(guò)觀察圖2，你們會(huì)選擇哪個(gè)公式來(lái)求解？學(xué)生們異口同聲：SΔ=12×底×高.因?yàn)槲覀冎灰O(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為F1，即可得到S2=12M1N1FF1，而S1=12MM1F1M1，S3=12|MN1||F1N1|，于是我順著學(xué)生的思路，那么這里面各線段長(zhǎng)度，應(yīng)該如何表示呢？不難發(fā)現(xiàn)，我們只要假設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），便可得到以下三個(gè)表達(dá)式：

S1=12·|MM1|·|F1M1|=12（x1+p2）|y1|，

S2=12·|M1N1|·|FF1|=12p|y1-y2|，

S3=12·|NN1|·|F1N1|=12（x2+p2）|y2|，

所以S22=14p2（y21-2y1y2+y22），S1S3=14（x1x2+p2（x1+x2）+p24）y1y2.

到了這里，學(xué)生們幾乎都想到了韋達(dá)定理，通過(guò)聯(lián)立直線MN的方程和拋物線方程消元.于是，考慮到直線經(jīng)過(guò)F（p2，0），可設(shè)斜率為k，得到直線MN的方程為y=k（x-p2），由y=k（x-p2）y2=2px消去y得到：k2x2-p（k2+2）x+k2p24=0，

所以x1+x2=p（k2+2）k2，x1x2=p24.

結(jié)果中顯然還有y21+y22，y1y2的值需要表示，怎么辦呢？可否轉(zhuǎn)化為x1+x2，x1x2來(lái)表示？如何表示？一連串的疑問(wèn)，學(xué)生能夠聯(lián)系到利用①y1=k（x1-p2）y2=k（x2-p2），或者利用②y21=4px1y22=4px2應(yīng)該可以解決問(wèn)題，那么選擇①還是②呢？求解成為了擺在學(xué)生面前的兩條不同的路，于是，我將學(xué)生分成兩組，讓他們分別用①、②來(lái)完成這個(gè)問(wèn)題.

結(jié)果發(fā)現(xiàn)選擇①的同學(xué)在計(jì)算y21+y22=k2（x21+x22）-pk（x1+x2）+p2k22時(shí)，表達(dá)式有點(diǎn)繁瑣，他們幾乎有點(diǎn)想要放棄了，我及時(shí)提醒他們考慮回到原來(lái)y1-y22形式，很多學(xué)生馬上恢復(fù)了活力，得到了：y1-y22=k2（x1-x2）2=k2（x1+x2）2-4x1x2，而y1y2=

k2（x1x2-p2（x1+x2）+p24）

最后我們將x1+x2=p（k2+2）k2，x1x2=p24代入到S1、S2、S3中，可得S22=4S1S3.

我們?cè)倩剡^(guò)頭來(lái)，看看選擇②的同學(xué)，比起選擇①的同學(xué)，他們很快得到y(tǒng)21+y22=2p（x1+x2），y21y22=4p2x1x2，考慮到直線MN過(guò)焦點(diǎn)，故y1，y2異號(hào)，所以y1y2=-2px1x2，代入即可整理出S22=4S1S3.

2.2 發(fā)掘圖形內(nèi)在特征，非常規(guī)解題思路的分析

解析幾何中，我們強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，也強(qiáng)調(diào)回歸定義.我引導(dǎo)學(xué)生：如果這個(gè)例題我們回到拋物線的定義中來(lái)，可以得到什么結(jié)論？學(xué)生們馬上注意到焦點(diǎn)弦MF，NF，且有MF=MM1，NF=NN1，那么我們可以得到ΔM1MF，ΔN1NF為等腰三角形，此時(shí)我拋出問(wèn)題：利用MM1//FF//1NN1，能夠得到ΔM1FN1是否為特殊的三角形？

學(xué)生通過(guò)利用平行線的性質(zhì)，得到了∠F1FM1=∠MM1F，∠F1FN1=∠NN1F而∠F1FM1+∠MFM1+∠F1FN1+∠N1FN=1800即所以∠F1FM1+∠F1FN1=900故FM1⊥FN1

所以ΔM1FN1為直角三角形.

利用圖形特征，我引導(dǎo)學(xué)生得到了三角形ΔM1MF，ΔN1NF，ΔM1FN1為特殊的三角形，那么，如何引入恰當(dāng)?shù)膮?shù)，結(jié)合公式SΔ=12absinC來(lái)表示他們的面積呢？首先要明確的是，該公式須知三角形的兩條邊和它們的夾角，那么對(duì)于三角形ΔM1MF，ΔN1NF，為了減少變量，我們可以引入哪些參數(shù)呢？

學(xué)生們馬上想到了MF=MM1，NF=NN1，而夾角∠M1MF和∠N1NF滿足∠M1MF+∠N1NF=π，為了書(shū)寫得方便，他們?cè)O(shè)MF=r1，NF=r2∠M1MF=α，

則∠N1NF=π-α于是S1=12r21sinα，S3=12r22sin（π-α）=12r22sinα借助了變量r1，r2，α學(xué)生們得到了S1，S3.

而對(duì)于S2，有些同學(xué)感覺(jué)到有點(diǎn)棘手，似乎想回到我們（一）中的常規(guī)方法中來(lái)，如果是這樣的話，問(wèn)題就會(huì)變得復(fù)雜了，我及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生，應(yīng)該利用引入的r1，r2，α來(lái)表示S2，這個(gè)時(shí)候，估計(jì)學(xué)生們可能還會(huì)茫然，于是我再加強(qiáng)條件：ΔM1FN1為直角三角形，是否可以考慮S△M1FN1=12|M1F|·|N1F|？學(xué)生恍然大悟，想到了余弦定理來(lái)表示M1F，N1F，得到了：

|FM1|2=2r21-2r21cosα=2r21（1-cosα），|FN1|2=2r22+2r22cosα=2r22（1+cosα），

所以S22=14|FM1|2·|FN1|2=14·4r21·r22·（1-cosα）（1+cosα）=r21r22sin2α=4S1S3.

3 例題反思

3.1 重視引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合

在該例題中，我們看到了圖形特征在解題策略中所占據(jù)的重要作用，它會(huì)影響我們對(duì)面積公式的選擇，也直接造成了不同程度的計(jì)算量.因此，我在教學(xué)中，重視引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合.

3.2 回歸定義

定義、定理是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的概括和內(nèi)在規(guī)律的揭示，所以在該例題中我引導(dǎo)學(xué)生注意拋物線的定義和幾何特征.

3.3 一題多解，培養(yǎng)學(xué)生三“多”

在高三的教學(xué)中，我注重培養(yǎng)學(xué)生：多觀察，多總結(jié)，多嘗試.通過(guò)三“多”，讓學(xué)生參與到探索新知中來(lái)，充分鍛煉了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.

【本文受汕頭市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃項(xiàng)目（2021GHB034）資助】