高中數學數列試題解題三步曲

曹黎星

【摘 要】 數列是高中數學才有的新內容，是高中數學學習的重點也是難點.因此在教學中教師要提升學生的數列解題能力，以促進他們在數列上的邏輯推理和運算能力.

【關鍵詞】 高中數學;解題能力;邏輯推理

數列解題的規律首先要能理解概念與公式，其次就是要能運用公式;在運用的時候，能注重基礎能力的提升就可能了.運用時的基礎能力，一是計算能力，二是分類討論能力，三是逐步推理的能力.

1 充分理解公式，運用公式解題

數列這一章節的學習，學生需要掌握的基本公式就是等差數列求和公式與等比數列求和公式.因此教師首先要讓學生理解公式，進而再運用公式.兩個常用的公式，一個是1+2+3+…+n=12n（n+1）;另外一個是12+22+…+n2=16n（n+1）×（2n+1），13+23+33+…+n3=[n（n+1）2]2.

例1 等比數列{an}的前n 項和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數列.求{an}的公比q;求a1-a3=3，求Sn.學生依據題目的意思就能得出，a1+（a1+a1q）=2（a1+a1q+a1q2）;再由 a1≠0，故2q2+q=0 又q≠0，進而得出q=-12.對于第二問學生由已知可得a1-a1（-12）2=3，進而 推出a1=4.從而Sn=4（1-（-12）n）1-（-12）=83（1-（-12）n） .解決這題的關鍵就是要先理解公式，再將公式化為數學素養.教師可另設一題，進一步提升他們運用公式的能力.題目為，甲？厲 乙兩人分別從相距315m的兩處同時相向行走，甲第一分鐘走20m，以后每分鐘比前1分鐘多走2m;乙第一分鐘走30m，以后每分鐘比前1分鐘少走1m，問甲？厲 乙開始行走后，經過幾分鐘相遇.對于這樣的題目，學生要能從“以后每分鐘比前1分鐘多走2m”、“以后每分鐘比前1分鐘少走1m”看出這是數列問題，進而找尋相應的公式.學生發現可利用等差數列求和公式分別表示出甲、乙走的路程，再由Sn+Tn≥315可得到關于n的不等式，最后結合n∈N進而求得結果.有了這樣的分析之后，學生先是依據題目的表述，將相關的信息以數列的語言展現出來.他們設甲第n分鐘走的路程為an，則an是以20為首項，2為公差的等差數列，則其前n項和Sn=20n+nn-12×2=n2+19n.接著教師指定班上的一個學生問，那么乙怎么設，學生想到設乙第n分鐘走的路程為bn，則bn是以30為首項，-1為公差的等差數列，其前n項和Tn=30n-nn-12=-n22+612n.“從相距315m的兩處同時相向行走”得出，Sn+Tn=12n2+992n≥315，即n2+99n-630≥0;n≤-105或n≥6，又n∈N，所以經過6分鐘他們相遇.

2 ?規范解題過程，關注計算步驟和轉化依據

規范解題過程就是讓學生的思考遵循一定的程序，關注計算步驟能讓學生在復核時更容易糾正問題，進而提升反思能力;關注轉化依據就是培養學生嚴謹的學習態度，進而也促進他們解題能力的發展.

例2 已知函數fn=n-1+n-2+n-3+…+n-20，其中n是自然數.分別計算f1，f5，f20的值;當n為何值時，fn取得最小值？最小值是多少.

對于第一問，教師可指導學生分別將n=1，n=5，n=20代入fn中即可得到結果;

n=1時，f1=0+1+2+…+19=20×0+192=190;

n=5時，f5=4+3+2+1+0+1+2+3+…+15=10+15×1+152=130;

n=20，f20=19+18+17+…+0=f1=190.對于第二問，學生需要分別在0≤n≤20和n>20兩種情況下整理得到fn，也就是說，學生要有具體的步驟，要有最大值、最小值形成的轉化依據.教師引導他們結合二次函數和一次函數單調性可確定最小值..當0≤n≤20且n∈N時，fn=n-1+n-2+…+2+1+0+1+2+…+20-n=n-1n-1+12+20-n1+20-n2=n2-21n+210=n-2122+3994，因為n∈N，當n=10或11時，fn取得最小值100.接著他們討論當n>20且n∈N時的情況：fn=n-1+n-2+…+n-20=20n-20×1+202=20n-210≥20×21-210=210.所以當n=10或11時，fn取得最小值100.同樣地，教師可設這題，已知等差數列{an}滿足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n項和為Sn.求an及Sn;令bn=1a2n-1 （n∈N*），求數列{bn}的前n項和Tn.通過這題進一步地提升學生規范解題的能力，提升計算能力、轉化問題的能力.

對于第一問，學生首先要規范化地將題目表述轉化，即，設等差數列{an}的首項為a1，公差為d.其次要規范計算過程，他們由a3=7，a5+a7=26，進而推得a1+2d=7，2a1+10d=26;解得a1=3，d=2;最終得，an=2n+1，Sn=n（n+2）.對于最后一問，他們要規范轉化，他們由第一問，轉化出這樣的式子：bn=14n（n+1）=141n-1n+1，接著他們用利用裂項相消求和法可求得結果.

3 ?逐步提升邏輯推理能力

在數列學習的過程中，教師需要進一步地提升學生的推理能力，培養學生從已知條件一步步地推理出結論的能力.推理能力是重要的數學能力，是高階思維的一種，教學中教師要強化學生這方面的能力，也提升他們的思維品質.

例3 已知數列an的前n項和Sn=n2+n2，數列bn滿足bn=1an，若bn，bn+2，bn+k（k∈N，k>2）成等差數列，則k的值不可能是4、6、8還是10？這題學生需要進行這樣的推理，他們先是要利用an與Sn的關系，推理出an，進而再推理出bn，然后根據bn，bn+2，bn+k（k∈N，k>2）成等差數列，展示出n與k的關系.具體地，一學生是這樣推理的，當n=1時，a1=S1=22=1;當n≥2an=Sn-Sn-1=n2+n2-n-12+n+12 ，故an=n（n∈N），bn=1an=1n（n∈N）.因為bn，bn+2，bn+k（k∈N，k>2）成等差數列，所以2bn+2=bn+bn+k，即2n+2=1n+1n+k，所以k=4nn-2=4+8n-2，（k>2，k∈N）.學生的推理很嚴謹，他將n分成不同的情況，進而得出n-2的取值為1，2，4，8，則對應的k的值為12，8，6，5，所以他們推理出k的值不可能是4，10.

提升學生的推理能力就是將能力的發展放在重要的位置.強化計算能力就是讓學生不但知道為什么出發，還要知道為什么出發，即，從回到原點，提升學生學科素養.

參考文獻：

[1]高考中關聯數表的數列問題的研究與創新[J]. 劉胡良，宋寶和.數學通報. 2019（11）

[2]2020年高考全國Ⅰ卷數列試題分析及備考建議[J]. 鄭勝文.中學數學研究（華南師范大學版）. 2020（17）