數形結合在高中數學中的應用

王繼輝

【摘 要】 數形結合是指數學問題已知中代數條件較為抽象或者圖形信息不夠精確難以解題，采用數與形相結合的思想對已知條件進行深度挖掘與升華，抓住數與形之間的本質聯系，進一步找準數學解題關鍵，實現高效解題.本文將以實際數學問題為例，通過演示詳細的解題過程，闡述數形結合思維方法在集合、函數、不等式以及幾何等問題中的應用.

【關鍵詞】 數形結合;思維方法;數學解題

1 數形結合在集合解題中的應用

例1 如圖1所示是表示集合關系的韋恩圖.已知全集U，集合A={-2，-1，0，1，2}和集合B={x|-2≤x≤0}，則圖中陰影部分可以表示為（? ）

A.{1，2} ??????B.{0，1，2}

C.{-2，1，2} D.{-2，0，1，2}

分析 結合集合元素定義與韋恩圖特征，易知圖中陰影部分表示除去與集合B共有的元素之外集合A剩下的元素，即A∩CUB的值.

解 全集為U，集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|-2≤x≤0}，則圖中陰影部分表示的元素為A∩CUB={1，2}，所以由韋恩圖可知圖中陰影部分表示為{1，2}，A選項符合題意.

2 數形結合在函數解題中的應用

例2 如圖2所示是關于x的二次函數一部分圖像，已知該函數圖像通過點A（-3，0）函數圖像的對稱軸為x=-1.判斷以下四個結論正確的有?? .

①b2>4a;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a

分析 根據一元二次函數圖像性質，開口方向反應a的正負，再依據圖像對稱軸的橫坐標位置可以判斷b值的正負，再依據題目所給已知條件點A的坐標值即可進一步判斷c值.

解 已知關于x的二次函數圖像通過點A（-3，0），此函數圖像的對稱軸為x=-1，函數圖像開口向下，由此可判斷a<0，又b2a=1，所以b=2a，所以b2=4a2>4a成立，結論①正確;2a-b=2a-2a=0，結論②錯誤;b=2a>5a，結論④正確;將點A（-3，0）坐標值代入函數代數式y=ax2+bx+c中，得9a-3b+c=0，所以有3a+c=0，c=-3a，則a-b+c=a-2a-3a=-4a>0，結論③錯誤.

注 函數章節所包含內容較為豐富，函數表達式及未知數關系等知識點相對較為抽象.教師在教學過程中要充分利用函數圖像性質，引導學生掌握函數圖像的特征及其與函數表達式本身、未知數之間的數值關系之間的聯系.

3 數形結合在不等式解題中的應用

例3 若已知（12）x1=（2）x2=（13）x3=（3）x4=32，求x1、x2、x3、x4的大小關系為（? ）

A.x2>x4>x3>x1

B.x2>x4>x1>x3

C.x4>x2>x3>x1

D.x4>x2>x1>x3

分析 本題解題核心是依據函數值大小判斷函數代數式中未知數的大小關系.觀察題目已知條件發現，題目中所涉及的函數均為指數函數，由此本題的解題核心是在指數函數圖形特征的基礎上判斷相關位置上的數值大小.

解 分別將函數C1∶y=（12）x、C2∶y=（13）x、C3∶y=（3）x、C4∶y=（2）x以及y=32的函數圖形畫在同一個直角坐標系中，如下圖3所示

直線y=32與四個指數函數圖像的交點橫坐標分別對應值x2、x4、x3、x1，依據圖形易判斷四者大小關系為x2>x4>x3>x1，A選項符合題意.

注 ?數形結合思維方法在不等式解題中的應用，可以通過函數圖形、集合圖形與代數值之間的轉化，將不等式關系體現得更為直觀、明了，在一定程度上能夠減小解題計算量，提高解題速度與準確率.

4 數形結合在幾何解題中的應用

例4 ?已知空間幾何體ABCD-A1B1C1D1的形狀如圖4所示，連接此幾何體表面的某兩點，得到空間直線.將該幾何體沿著得到的直線旋轉，旋轉角度為α（0°<α<360°），得到的幾何體與原幾何體重合，則稱此直線為該幾何體的旋轉軸.則正方體的旋轉軸有（? ）條.

A.7? B.9? C.13? D.14

分析 根據題目所給出的幾何體對稱軸定義，結合題目所畫的正方體示意圖討論正方體的對稱軸個數.此題屬于簡單題，但需要注意的是情況較多，容易混淆和遺漏，是個易錯題，而在解答此題目是需要注意的是分情況討論，將所有情況考慮全面.

解 結合題中所給正方體ABCD-A1B1C1D1示意圖5，由幾何體對稱軸的定義，將從以下三大類進行討論：

（1）連接正方體兩個對立面的中心，得到連線如上圖4EF所示，正方體圍繞此直線旋轉，最小旋轉90°即可與自身重合.由于正方體對立面有三組，故此類情況下共有3條直線;

（2）連接正方體對角的兩點，得到正方體體對角線如下圖6BD1所示，正方體圍繞此直線旋轉，最小旋轉120°即可與自身重合.由于正方體體對角線共有4條，故此類情況下共有4條直線;

（3）連接正方體對棱的中點，得到正方體體對棱中線如下圖6MN所示，正方體圍繞此直線旋轉，最小旋轉180°即可與自身重合.由于正方體中相對應的棱線共有6組，故此類情況下共有6條直線;

綜上，正方體體對稱軸共有3+4+6=13條，C選項符合題意.

注 在處理立體幾何問題過程中，由于空間立體幾何對學生的空間想象思維較強，單純依靠圖形解題難度較大，為突破空間立體幾何教學難關，可以將空間幾何圖形與代數數值相結合，使圖形描述更加精準，圖形中的數學條件更加清晰.