對稱構造法解決極值點偏移問題

顧冬梅

【摘 要】 本文是看到近幾年高考以及模擬測試中常出現的極值點偏移問題，筆者主要利用對稱構造法解決極值點偏移問題，總結了對稱法構造解決問題的三步驟，從而感悟化歸與轉化思想.

【關鍵詞】 構造函數;極值點偏移

極值點偏移問題主要考查導數及其綜合應用，涉及函數與方程、化歸與轉化等數學思想中的難點，這類問題新穎多變，難度較大，綜合性強，能較好地考查學生的邏輯推理、數據處理等綜合能力，是高考中的熱點問題.如2010天津理數21題、2011遼寧理數21題、2013湖南文數21題、2016年新課標Ι卷理數21題、2020、2021年高考中又考查了極值點偏移問題.極值點偏移再次引起人們的關注和討論，各地的模擬題卷中與極值點偏移相關的問題更是層出不窮.

首先我們來了解一下極值點偏移的概念：對于只有一個極值點的函數，當函數左右兩側圖像的增減速度相同時，則函數具有一條對稱軸，即函數y=f（x）與y=c交于兩點A，B， A，B兩點的中點x1+x22，c，函數y=f（x）在x=x0處取得極值，若函數y=f（x）的極值點x0=x1+x22時，如圖1所示，則函數不偏移;若函數y=f（x）的極值點x0≠x1+x22時，如圖2、3、4、5所示，則函數發生了偏移;若x0>x1+x22，則函數y=f（x），則稱為極值點右偏如圖2、3;若x0<x1+x22，則函數y=f（x），則稱為極值點右偏如圖4、5;解決極值點偏移的方法無固定模式，如有比值構造法、對稱構造法、利用三階導的正負、利用對數均值不等式研究極值點偏移等，在這些方法中而對稱構造法是更常用，更能讓學生接受一種方法，下面本人就用對稱構造法解決以下兩個問題：