例析原理法解決二項式定理有關問題

孫書剛

【摘 要】 關于二項式定理的高考題的原解析大都用的是二項展開式的通項，機械套用多，思維水平低，解析步驟多，運算量大，出錯率高;用原理法來解決關于二項式定理的問題，高階思維多，化簡運算少，解答時間短，正答率高，體現了數學是思維的體操，落實了邏輯推理和數學運算兩大核心素養.

【關鍵詞】 高階思維;數學運算;邏輯推理

1 原理法解讀

根據初中冪的定義[1]，（a+b）n表示n個（a+b）因子相乘（其中的n是正整數，以下同），按照分類加法和分步乘法計數原理[3]，（a+b）n展開式的每一項均來自這n個因子（a+b），要么取因子（a+b）的a，要么取因子（a+b）的b，如果取了r個b，（r可以取0，1，2，…，n），那么一定取了n-r個a，而且是從n個（a+b）因子中隨機取了r個因子（a+b），由于乘積跟順序無關，所以其系數屬于組合數問題.另外，由于可以全部取a（此時不取b），或者全部取b（此時不取a），由此按照a的次數的從高到低、從n到0的順序（此時b的次數是從低到高、從0到n）可以得到二項式定理[3].

由于這種辦法源自冪的定義，用的是分類加法原理和分步乘法計數原理[3]，所以稱這種方法為原理法.筆者在教學實踐中發現，關于二項式定理的高考題原解析過程大都用的是二項展開式的通項，機械套用多，思維水平低，解析步驟多，運算量大，出錯率高;用原理法來解決關于二項式定理的問題，高階思維多，化簡運算少，解答時間短，正答率高，體現了數學是思維的體操，落實了邏輯推理和數學運算[2]兩大核心素養.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部審定.義務教育教科書.七年級數學上冊.北京：人民教育出版社，2012，41-44.

[2]中華人民共和國教育部制定.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）.北京：人民教育出版社，4-7.

[3]中華人民共和國教育部審定.人教版高中數學選修2-3.北京：人民教育出版社，5-36.

[4]曲一線.5年高考3年模擬.2022版.北京：首都師范大學出版社，126-159.