三步到位學好二元一次方程組的解法

宋萬民

【摘要】 二元一次方程組是初中數學“數與代數”中的重要內容之一，握其解法是學好本部分的基礎.解二元一次方程組的基本思想是“消元”——化“二元”為“一元”，化“未知（學）”為“已知（學）”.常用方法有兩種：一是代入消元法，一是加減消元法.

【關鍵詞】 代入消元法：直接代入，轉化代入，整體代入

加減消元法：直接加減，倍數加減，公倍數加減

正文：二元一次方程組是初中數學“數與代數”中的重要內容之一，掌握其解法是學好本部分的基礎。解二元一次方程組的基本思想是“消元”——化“二元”為“一元”，化“未知（學）”為“已知（學）”.常用具體方法有兩種：一是代入消元法，一是加減消元法.

1 代入消元法

方法回顧：代入消元法是解二元一次方程組的基本方法之一，從兩個方程中選擇一個系數比較簡單的方程，將它轉換成用含有一個未知數的代數式表示另一個未知數的形式，然后代入另一個方程，求出這個未知數的值，最后將這個未知數的值代入已變形的那個方程，求出另一個未知數的值.

1.1 直接代入

例1 解方程組：3x+2y=14，x=y+3.①②

分析 方程②已經是用含y的代數式表示x的形式，可直接將②代入①消去x.

解 將②代入①，得

3（y+3）+2y=14.

解得y=1.

把y=1代入②，得x=4.

所以原方程組的解為x=4，y=1.

1.2 轉化代入

例2 解方程組：x+y=8，5x+3y=34.①②

分析 方程①的系數簡單，易于變形，方程②中y的系數比x的系數小，故將方程①變形為y=8-x，代入方程②.

解 由①得 y=8-x，③

將③代入②，得 5x+3（8-x）=34.

解得x=5.

把x=5代入③，得 y=3.

所以原方程組的解為x=5，y=3.

1.3 整體代入

例3 解方程組：3x+5y=21，2x-5y=-11.①②

分析 方程①和②中y的系數都是5，可把5y當做整體進行變形.

解 由②得 5y=2x+11，③

將③代入①，得 3x+（2x+11）=21，

解得x=2.

把x=2代入③，得y=3.

所以方程組的解為x=2，y=3.

步驟總結：代入消元法解方程組的步驟：

第一步：在已知方程組的兩個方程中選擇一個適當的方程，將它的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來.

第二步：把此代數式代入沒有變形的另一個方程中，可得一個一元一次方程.

第三步：解這個一元一次方程，得到一個未知數的值.

第四步：把求得的未知數的值代回到原方程組中的任意一個方程或變形后的方程（一般代入變形后的方程），求得另一個未知數的值.

第五步：把方程組的解表示出來.

第六步：檢驗（口算或筆算在草稿紙上進行），即把求得的解代入每一個方程看是否成立.

2 加減消元法

方法回顧：加減消元法也是解二元一次方程組的基本方法之一，它要求兩個方程中必須有某一個未知數的系數的絕對值相等（或利用等式的基本性質在方程兩邊同時乘以一個適當的不為0的數，使兩個方程中某一個未知數的系數的絕對值相等），然后利用等式的基本性質在方程兩邊同時相加或相減消元.

2.1 直接加減

例4 解方程組：

（1）2x-5y=7，2x+3y=-1.①②

（2）10x+3y=17，8x-3y=1.①②

分析 觀察到方程組（1）中方程①、②中未知數x的系數相等，可以利用兩個方程相減消去未知數x;而方程組（2）中方程①、②中未知數y的系數互為相反數，可以利用兩個方程相加消去未知數y.

解 （1）②-①，得8y=-8，

解得y=-1，

把y=-1代入①，得2x+5=7，

解得x=1，

所以方程組的解為x=1，y=-1.

（2）①+②，得18x=18，

解得x=1，

把x=1代入①，得10+3y=17，

解得y=73，

所以方程組的解為x=1，y=73.

2.2 倍數加減

例5 解方程組：5x+2y=25，3x+4y=15.①②

分析 因為上述方程組中x，y的系數既不相同也不是相反數，沒有辦法直接用加減消元法. 但仔細觀察卻發現方程②中y的系數是方程①中y的系數的兩倍，所以只要將方程①中的各個系數同時乘以2就可以轉化為y的系數相同的情形，從而就可以用減法消去y.

解 5x+2y=25，3x+4y=15.①②

①×2，得10x+4y=50，③

③-②，得7x=35，

解得x=5.

把x=5代入①得 25+2y=25，

解得y=0.

所以原方程組的解為x=5，y=0.

2.3 公倍數加減

例6 解方程組：2x+3y=12，3x+4y=17.①②

分析 上述方程組中x，y的系數既不相同也不是相反數，沒有辦法直接用加減消元法;也無法用倍數加減法，否則就會出現分數反而增加計算的難度.對于上述方程組我們可以找x的系數2和3的最小公倍數6，在方程①兩邊同乘以3，在方程②兩邊同乘以2，再用加減法消元.

解 ①×3，得6x+9y=36，③

②×2，得6x+8y=34，④

③-④，得y=2.

將y=2代入①，得x=3.

所以原方程組的解是x=3，y=2.

步驟總結：我們遇到的往往就是例6這樣的方程組，要想比較簡捷地把它解出來，就需要轉化為同一個未知數系數相同或相反的情形，從而用加減消元法，達到消元的目的.用加減法解二元一次方程組的一般步驟是：

①變形——找出兩個方程中同一個未知數系數的絕對值的最小公倍數，然后分別在兩個方程的兩邊乘以適當的數，使所找的未知數的系數相等或互為相反數.

②加減消元，得到一個一元一次方程.

③解一元一次方程.

④把求出的未知數的解代入原方程組中的任一方程，求出另一個未知數的值，從而得方程組的解.

練習

1.解方程組：2x+3y=16，x+4y=13.

2.解方程組：

（1）2x+3y=14，2x-2y=4;（2）u+v=10，3u-2v=5;

（3）3x-2y=6，2x+3y=17.

答案

1.x=5，y=2.

2.（1）x=4，y=2;（2）u=5，v=5;（3）x=4，y=3.