遇角平分線及其垂線構造等腰三角形

楊再發

【摘要】 在求證線段的兩倍關系或是線段和差后的兩倍關系的問題，如果條件中有角平分線又有這條角平分線的垂線，一般考慮構造等腰三角形，用等腰三角形的性質來解，本文舉例說明.

【關鍵詞】角平分線;垂線;構造等腰三角形

1 證明某線段與三角形兩邊之差的二分之一的關系

例1 圖1

已知，如圖1，在△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC，BE⊥AD，交AD的延長線于點E，M是BC的中點，求證：EM=12（AB-AC）.

證明 分別延長AC，BE交于點F，

因為AD平分∠BAC，

所以∠BAE=∠EAF，

因為BE⊥AD于點E，

所以∠AEB=∠AEF=90°，

因為AE=AE，

所以△ABE≌△AFE（ASA），

所以AB=AC，BE=FE，

因為M是BC的中點，

所以EM=12CF，

因為CF=AF-AC，

即CF=AB-AC，

所以EM=12（AB-AC）.

2 證明線段兩倍的關系

例2

已知，如圖2，在△ABC中，AC=BC， ∠ACB=90°，BD平分∠ABC，AE⊥BD，交BD的延長線于點E，求證：BD=2AE.

證明 分別延長AE，BC交于點F，

因為AE⊥BD于點E，

所以∠AEB=∠FEB=90°，

因為BD平分∠ABC，

所以∠ABE=∠FBE，

因為BE=BE，

所以△ABE≌△FBE（ASA），圖2

所以AE=EF，

則AF=2AE，

因為∠ACB=90°，

所以∠ACF=∠ACB=90°，

則∠CDB+∠CBD=90°，

因為∠EAD+∠EDA=90°，

因為∠EDA=∠CDB，

所以∠CBD=∠EAD，

因為AC=BC，

所以△CBD≌△CAF（ASA），

所以BD=AF，

即BD=2AE.

3 探究某線段與三角形三條邊和差的二分之一的關系

例3 圖3

已知，如圖3，在△ABC中，BP，CQ分別是∠ABC，∠ACB的平分線，且AP⊥BP于點P，AQ⊥CQ于點Q，求證：QP=12（AB+AC-BC）.

證明 延長AQ交BC于點D，延長AP交BC于點E，

因為BP是∠ABC的平分線，

所以∠ABP=∠EBP，

因為AP⊥BP，

所以∠APB=∠EPB=90°，

因為BP=BP，

所以△ABP≌△EBP（ASA），

即AB=BE，

AP=EP，

因為CQ是∠ACB的平分線，

所以∠ACQ=∠DCQ，

因為CQ⊥AQ，

所以∠AQC=∠DQC=90°，

因為CQ=CQ，

所以△ACQ≌△DCQ（ASA），

即AC=DC，

AQ=DQ，

所以QP是△ADE的中位線，

即QP=12DE，

因為DE=BE-BD=AB-（BC-CD）

=AB-（BC-AC）

=AB+AC-BC，

所以QP=12（AB+AC-BC）.

例4 已知，如圖4，在△ABC中，BD，CE分別是外角的平分線，過點A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F，G，連接FG，求證：FG=12（AB+BC+AC）.

證明 分別延長AF，AG交直線BC于點M，N，

因為BD平分∠ABM，

所以∠ABF=∠MBF，

因為BF=BF，

因為AF⊥BD，

所以∠BFA=∠BFM=90°，

所以△ABF≌△MBF，

即AF=MF，AB=BM，

同理可得△ACG≌△NCG，

所以AG=NG，AC=CN，

因為AF=MF，AG=NG，

所以FG是△AMN的中位線，

所以FG=12MN=12（BM+BC+CN）

=12（AB+BC+AC）.

例5 已知，如圖5，在△ABC中，BD是△ABC的內角的平分線，CE是△ABC的外角的平分線，過點A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F，G，連接FG，求證：FG=12（AB+BC-AC）.

證明 分別延長AF，AG交直線BC于M，N，

因為BD平分∠ABM，

所以∠ABD=∠CBD，

因為BF=BF，

因為AF⊥BD，

所以∠BFA=∠BFM=90°，

所以△ABF≌△MBF，

即AF=MF，AB=BM，

同理可得△ACG≌△NCG，

即AG=NG，AC=CN，

因為AF=MF，AG=NG，

所以FG是△AMN的中位線，

所以FG=12MN，

因為MN=CM+CN=AC+（BC-BM）

=AC+BC-AB，

所以FG=12（AB+BC-AC）.

4 求三角形面積與原三角形的面積之間的關系

例6 圖6

如圖6，△ABC的面積是10，AP垂直∠ABC的平分線BP于點P，求S△PBC.

解 延長AP交BC于點D，

因為AP⊥BP于點P，

所以∠BPA=∠BPD=90°，

因為BP平分∠ABC，

所以∠ABP=∠DBP，

因為BP=BP，

所以△ABP≌△DBP（ASA），

所以S△APB=S△DBP，

AP=DP，

即S△DBP=12S△ABD，S△PDC=12S△ADC，

因為△ABC的面積是10，

所以S△ABD+S△ADC=S△ABC=10，

因為S△BPC=S△DBP+S△PDC，

所以 S△BPC=12S△ABD+12S△ADC=12S△ABC=5.

例7 如圖7，已知△ABC的面積為26cm2，BD為△ABC的角平分線，AE⊥BD交BD的延長線于點E，連接CE，求△EBC的面積.

解 分別延長AE，BC交于點F，

因為AE⊥BD交BD的延長線于點E，

所以∠AEB=∠FEB=90°，

因為BD是△ABC的角平分線，

所以∠ABE=∠FBE，

因為BE=BE，

所以△ABE≌△FBE（ASA），

所以S△ABE=S△FBE，

AE=EF，

即S△ACE=S△FCE，

因為△ABC的面積為26cm2，

所以S△ABF=S△ABC+S△ACE+S△FCE

=26+2S△FCE，

即S△ABE=S△FBE=13+S△FCE，

因為S△EBC=S△FBE-S△FCE，

所以S△EBC=13+S△FCE-S△FCE=13.